吳楚芬

摘 要 緒論課是課程建設(shè)中的重要一環(huán)，具有基礎(chǔ)性和導(dǎo)向性。通過緒論課的有效引導(dǎo)，使學(xué)生順利地進(jìn)入新學(xué)科的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步使學(xué)生了解本課程將要學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容。本文通過介紹數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展史，研究?jī)?nèi)容和意義，闡述如何上好緒論課，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)物理方程 緒論課 教學(xué)探討

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ??DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.04.047

Teaching of "Mathematical Physics Equations" Introduction Course

WU Chufen

（Department of Information Science and Mathematics， Foshan University， Foshan， Guangdong 528000）

Abstract Introduction lesson course construction is an important part， with basic and oriented. By effectively guide introduction class， students smoothly into the new discipline of study， and further enable students to understand this course will learn the basic （content article through the history of introduction "mathematical physics equations"， content and meaning to explain how the good introduction class to stimulate students' interest in learning.

Key words mathematical physics equations; introduction course; teaching discussion

數(shù)學(xué)物理方程是佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，該課程的開設(shè)不僅為后續(xù)的偏微分方程專業(yè)課程奠定了必要的基礎(chǔ)，更為研究生階段的課題研究?jī)?chǔ)備了必需的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。這門課程有兩大突出特點(diǎn)：其一是所需要的基礎(chǔ)知識(shí)多，它涉及到數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程、實(shí)變函數(shù)與泛函分析、復(fù)變函數(shù)和普通物理等課程。因此講授起來具有一定的難度，學(xué)生學(xué)習(xí)效果普遍不佳。如何深入淺出地講好這門課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一直是我深思的問題。其二是這門課與現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域的諸多問題有密切的交叉聯(lián)系， 如何在學(xué)生已有認(rèn)知下，將有關(guān)前沿問題的訊息傳授給學(xué)生，擴(kuò)大他們的視野，培養(yǎng)他們的科研能力，也是我醞釀已久的問題。

緒論課是數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)之始的關(guān)鍵點(diǎn)，具有基礎(chǔ)性和導(dǎo)向性。通過緒論課使學(xué)生對(duì)這門課程的整體框架建立一個(gè)初步感觀，了解學(xué)習(xí)內(nèi)容、明確學(xué)習(xí)方向、掌握學(xué)習(xí)方法、認(rèn)識(shí)課程的前沿動(dòng)態(tài)，進(jìn)一步解決“為何學(xué)”、“學(xué)什么”和“如何學(xué)” 三個(gè)問題，從而充分調(diào)動(dòng)他們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)該課程的積極性。以前，筆者在教學(xué)中對(duì)緒論課的重要性認(rèn)識(shí)不足，基本上照本宣科，復(fù)述課程的緒論內(nèi)容，另一方面，限于課時(shí)少的因素，對(duì)于該課程的發(fā)展歷史等精彩部分常省略不講，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)該課程的認(rèn)識(shí)不深，越聽越煩，沒有發(fā)揮緒論課的引導(dǎo)性作用。經(jīng)過一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐與思考，筆者認(rèn)為必須盡快轉(zhuǎn)變“緒論可有可無，浪費(fèi)課時(shí)”的錯(cuò)誤想法，樹立“緒論既是教材的重點(diǎn)，也是教材的難點(diǎn)”的正確觀念。其實(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，最感興趣的莫過于數(shù)學(xué)理論、方法對(duì)社會(huì)發(fā)展所起的重要作用。通過講解數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展簡(jiǎn)史及其在社會(huì)發(fā)展中所發(fā)揮的作用，可以引起學(xué)生的共鳴，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。近幾年，筆者通過對(duì)緒論課內(nèi)容的不斷更新完善，以及對(duì)多媒體課件的精心設(shè)計(jì)，使學(xué)生及時(shí)認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的必要性和重要性，取得了良好的教學(xué)效果。現(xiàn)就緒論課的教學(xué)實(shí)踐做四點(diǎn)總結(jié)。

1 簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展史

數(shù)學(xué)物理方程主要指從物理學(xué)及其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生的偏微分方程（包括積分方程、微分積分方程等），它們反映未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的相互制約關(guān)系.

18世紀(jì)初期，Jacob Bernoulli， Johann Bernoulli， Daniel Bernoulli， Brook Taylor， Euler等學(xué)者對(duì)彈性物體的變形和流體的運(yùn)動(dòng)等物理問題的廣泛研究導(dǎo)致了數(shù)學(xué)物理方程的誕生。但在1740年以前均沒有找到描述這類問題的一般偏微分方程，第一個(gè)力學(xué)上的一般偏微分方程，即重鏈在其鉛垂的平衡位置附近振動(dòng)的方程，是由DAlembert在1743年提出的。1746年，DAlember以小提琴弦為典型的弦振動(dòng)問題導(dǎo)出了著名的弦振動(dòng)方程。從那以后，陸續(xù)誕生了聲音傳播的波動(dòng)方程，膜的振動(dòng)方程，桿的振動(dòng)方程等一系列數(shù)學(xué)物理方程。1750年，DAlembert提出了利用分離變量法的思想求解弦振動(dòng)方程。為了得到泛定方程滿足定解條件的解，Daniel Bernoulli于1753年提出將解疊加的思想。但得到了同時(shí)代流體熱學(xué)專家Euler， Lagrange等人的反對(duì)。19世紀(jì)，F(xiàn)ourier在研究熱傳導(dǎo)問題時(shí)，碰到了和他的前輩們?cè)谘芯肯艺駝?dòng)方程時(shí)同樣的難題，即是否任意函數(shù)都可以表示成三角級(jí)數(shù)？Fourier對(duì)這一問題持肯定態(tài)度并將其發(fā)展，后人稱為Fourier方法或駐波法。但Fourie的論證不嚴(yán)密，歷史上第一次給出函數(shù)可以展成三角級(jí)數(shù)的充分性條件是Dirichlet. 1782年，Laplace在研究位勢(shì)函數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了Laplace方程。19世紀(jì)中葉，從個(gè)別方程的深入研究逐漸形成了偏微分方程的一般理論，如方程的分類、特征理論等。Cauchy是討論數(shù)學(xué)物理方程解的存在性的第一人，1848年，他在一系列論文中論述了如何將任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程組，然后討論偏微分方程組解的存在性并提出證明存在性的強(qiáng)函數(shù)方法。數(shù)學(xué)物理方程的求解促使數(shù)學(xué)其他分支如泛函分析、變分法、復(fù)變函數(shù)、數(shù)值計(jì)算、代數(shù)、微分幾何等各個(gè)學(xué)科的快速發(fā)展。到了20世紀(jì)，隨著電子計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)其他分支的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)物理方程的研究也取得了前所未有的發(fā)展，這些發(fā)展呈現(xiàn)如下特點(diǎn)：（1）出現(xiàn)更多的非線性偏微分方程（組）;（2）定解條件由傳統(tǒng)的線性、逐點(diǎn)表示發(fā)展為非線性、非局部;（3）與計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)其他分支的關(guān)系更為密切。

2 介紹數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)物理方程的授課學(xué)時(shí)僅有32學(xué)時(shí)，學(xué)生的大學(xué)數(shù)學(xué)、普通物理的基礎(chǔ)知識(shí)比較薄弱，因此教學(xué)任務(wù)集中，難而繁的定理證明或模型推導(dǎo)只講思想不講過程。課程的教授內(nèi)容主要是講授三類典型方程：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程和四種典型方法：分離變量法、行波法、積分變換法和Green函數(shù)法。進(jìn)一步，指出這三類方程的推導(dǎo)是利用兩大物理定律——守恒律和變分原理以及兩個(gè)數(shù)學(xué)基本方法——微元法和Fubini交換積分次序定理;而四種方法也是圍繞這三類經(jīng)典方程在不同定解條件下展開的。具體而言，對(duì)于弦振動(dòng)方程，主要學(xué)習(xí)弦振動(dòng)方程初值問題的特征線法和行波法、弦振動(dòng)方程半無界問題的對(duì)稱延拓法、弦振動(dòng)方程混合問題的分離變量法。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，主要學(xué)習(xí)一維熱傳導(dǎo)方程初值問題的Fourier變換方法、一維熱傳導(dǎo)方程半無界問題的對(duì)稱延拓法、一維熱傳導(dǎo)方程混合問題的分離變量法。對(duì)于位勢(shì)方程，主要學(xué)習(xí)基本解和Green函數(shù)法。通過數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要達(dá)到以下三點(diǎn)要求：第一，從實(shí)際問題中抽象出來的數(shù)學(xué)物理方程的建模及相應(yīng)的求解方法;第二，理解數(shù)學(xué)物理方程中的系數(shù)或邊界條件所描述的物理背景以及利用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋物理現(xiàn)象;第三，利用Matlab的工具箱畫圖，輔助分析解的性態(tài)。

3 研究數(shù)學(xué)物理方程的意義

數(shù)學(xué)物理方程廣泛應(yīng)用于人口問題、流行病動(dòng)力學(xué)、種群生態(tài)學(xué)、高速飛行、石油開發(fā)、城市交通等各個(gè)領(lǐng)域，以三大經(jīng)典方程為例，熱傳導(dǎo)方程可以應(yīng)用于金融數(shù)學(xué)中的期權(quán)模型，Laplace方程常應(yīng)用于電磁場(chǎng)，借助波動(dòng)方程可以判斷煤層是否能安全生產(chǎn)。有時(shí)，單個(gè)數(shù)學(xué)物理方程不足以刻畫物理現(xiàn)象或規(guī)律，而需要多個(gè)方程耦合而成，例如，油田試井中描述滲流過程的數(shù)學(xué)物理方程一般由以下四個(gè)方程融合而成：第一，反映滲流過程中物質(zhì)平衡的連續(xù)方程;第二，描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)行為特征的運(yùn)動(dòng)方程;第三，反映滲流過程中流體及介質(zhì)狀態(tài)變化的狀態(tài)方程;第四，表征滲流過程中產(chǎn)生的一些特殊的物理化學(xué)過程的特征方程。針對(duì)這個(gè)問題，我們可以假設(shè)均質(zhì)有界地層，外邊界定壓，初始?jí)毫鶆蚍植?，流體為單相可微壓縮等條件，在合理假設(shè)條件下，省略一些因素，構(gòu)建相應(yīng)的泛定方程和定解條件，從而就構(gòu)成一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程的定解問題， 對(duì)方程進(jìn)行分類，化簡(jiǎn)，選取合適的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，利用求解結(jié)果解釋物理規(guī)律。

4 多媒體課件與Matlab軟件包模擬綜合運(yùn)用，改善教學(xué)效果

為吸引學(xué)生的注意力，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，在課堂教學(xué)中，筆者綜合運(yùn)用多種教學(xué)手段提高教學(xué)質(zhì)量，改善教學(xué)效果。首先是充分發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。多媒體課件可以綜合多種教學(xué)藝術(shù)效果，根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程緒論課的特點(diǎn)，通過精心設(shè)計(jì)，恰當(dāng)?shù)厥褂脠D片、文字、聲音、動(dòng)畫等形式，充分發(fā)揮多媒體形象、直觀、交互性強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)造生動(dòng)的教學(xué)氛圍。其次，Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖形可視化的功能，因此在數(shù)學(xué)物理方程這種理論性強(qiáng)的課程教學(xué)中，適當(dāng)?shù)匾隡atlab的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，使許多抽象問題的求解過程被直接地演示，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，繁雜的計(jì)算過程直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，使學(xué)生對(duì)相應(yīng)的算法有直接的認(rèn)識(shí)，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的興趣，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力。

通過緒論課的有效引導(dǎo)，使學(xué)生快速地明白數(shù)學(xué)物理方程的主旨和篇章結(jié)構(gòu)，熟悉教材的知識(shí)系統(tǒng)，發(fā)揮主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的積極性，初步了解握數(shù)學(xué)物理方程的一般理論和研究方法，啟發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，建立整體概念，為達(dá)到理論與實(shí)踐相結(jié)合的新型應(yīng)用性人才的培養(yǎng)目標(biāo)，起個(gè)好開端。另一方面，通過愉悅地學(xué)習(xí)緒論，達(dá)到師生之間的感情交流，使學(xué)生對(duì)老師的敬佩之情轉(zhuǎn)化為對(duì)該課程的喜愛，從而建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的良好心理環(huán)境。

基金項(xiàng)目：佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院教改項(xiàng)目“理論與建模相結(jié)合的《常微分方程》實(shí)踐教學(xué)”

參考文獻(xiàn)

[1] 谷超豪，李大潛.數(shù)學(xué)物理方程（2版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 李漢龍，繆淑賢.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：國防工業(yè)出版社，2009.

[3] 李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4] 趙忠奎，鄭慧軍.數(shù)學(xué)物理方程案例教學(xué)與研究[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2014.23（4）：184-187.