陳美華

摘要：數(shù)學是思維的體操，發(fā)展思維可以說是數(shù)學教學的核心任務。學生參與知識的形成與發(fā)展的過程及解決問題的過程，即為學生的思維活躍流動的過程?；跀?shù)學課堂生活方式的變革與創(chuàng)新研究，以數(shù)學實驗課程建設為抓手，依托數(shù)學實驗教學，從問、做、寫、辨、理等方面入手，讓思維可視化，能更好地分享學習主體思維的流動過程。

關鍵詞：數(shù)學實驗;思維過程;共同分享

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）11A-0070-04

小學階段正是具體形象思維向抽象思維過渡的階段，學生需要充分的感性體驗與積累，由此形成表象，逐步提升抽象水平。如宋代詩人陸游所言“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，兒童的認知規(guī)律要求教師為學生創(chuàng)設“做數(shù)學”的實驗平臺。經一年多的實踐研究，我們發(fā)現(xiàn)適時適度地推進數(shù)學實驗教學，讓學生在“做數(shù)學”中親歷知識的形成與發(fā)展過程，更利于化無形為有形，分享學生思維的動態(tài)過程，促進學生獲得深刻的數(shù)學理解。

一、問一問，問題質疑引領思維方向

問題是思維的核心，孔子說“不憤不啟，不悱不發(fā)”，杜威先生也說，教學生的法子，先要使他發(fā)生疑問[1]。數(shù)學實驗的展開是有一定目標的，而目標直接體現(xiàn)于課堂的方式便是問題。因此引領學生在巧妙創(chuàng)設的問題情境下或在自主進行問題質疑的過程中展開數(shù)學實驗活動，是良好課堂開端的重要一步，能準確引領學生的思維方向。

如在進行“平行四邊形面積的計算”教學時，教師以化歸即轉化思想為靈魂，巧設了兩次引發(fā)學生問題質疑的契機，從而激發(fā)了兩個層次的實驗研究活動。

第一層次，在看圖口答長、正方形面積并回顧復習了兩圖面積計算方法后，教師引發(fā)學生質疑思考：我們還學過哪些平面圖形，想想今天可能會研究哪個平面圖形的面積計算方法，研究前你會思考哪些問題。經過開放交流與問題聚焦，教師發(fā)現(xiàn)很多學生會選擇平行四邊形，同時他們提出了自己的問題質疑：既然長方形面積的大小與長、寬兩條件有關，那么決定平行四邊形面積大小的會是哪些條件？平行四邊形面積的大小與這些條件有什么關系呢？是不是也可以像長方形一樣用數(shù)方格的方法來研究？我們圍繞學生自主提出的問題，很自然就啟動了學生四人小組合作的第一次實驗活動：①自己在方格圖上畫一個平行四邊形，數(shù)數(shù)平行四邊形的面積以及它的底與高的長度，它們有關系嗎？②平行四邊形的面積與它的底與高到底有怎樣的關系呢？學生用數(shù)格子法初步發(fā)現(xiàn)這些特殊平行四邊形的面積計算方法：平行四邊形的面積=長×寬。

第二層次，由初步發(fā)現(xiàn)啟發(fā)質疑，研究這幾個特殊平行四邊形得到的計算方法一定正確嗎？引發(fā)學生再次思考質疑：不一定吧，還應研究更多的更一般的圖形，看看它們的面積大小是否也是由底與高決定的，是不是也可以這樣計算？由此讓學生將研究若干特殊圖形的發(fā)現(xiàn)作為一種猜想，順利進入第二層的實驗活動：①平行四邊形可轉化成已學過面積公式的哪個圖形？②轉化后的圖形與原來平行四邊形有什么關系？③由上面的關系，你發(fā)現(xiàn)剛才的猜想正確嗎？

上述過程可見，教師對教材的編排做了適當?shù)淖兏飫?chuàng)新，在激活學生已有知識基礎上，為學生創(chuàng)設了自主質疑的空間，以舊知長方形面積的聯(lián)想類比激發(fā)學生展開第一層實驗：用數(shù)方格方法進行特殊圖形的關系與計算方法研究，以轉化思想方法的運用鼓勵學生展開第二層實驗活動：用割補方法進行一般圖形的關系與計算方法的推理研究。層層遞進的問題質疑與方法猜想，不僅激發(fā)了學生參與實驗活動的內驅力與情感，也有效引領著思維的方向。

二、做一做，行動探究體驗思維脈搏

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾反復強調：“學習數(shù)學的惟一正確方法是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生。”[2]數(shù)學實驗追求的更重要的東西就是讓學生自己去充分探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，并由此享受解決問題的思維樂趣。因此實驗活動要提供充分的時間與空間，讓學生行動起來，通過做一做，來體驗思維脈搏，推動思維進程。

如“分數(shù)除以分數(shù)”是分數(shù)四則運算的教學難點，在基于學生“可能是與分數(shù)除以整數(shù)或整數(shù)除以分數(shù)一樣，也可以轉化為乘法計算”這一猜想基礎上，教師設計了讓學生“做數(shù)學”的數(shù)學實驗活動：①想一想：自己想辦法驗證你們的猜想。②說一說：把你們的方法在小組里交流分享。讓學生在開放的時空中展開充分的探究，形成學生個性化、多樣化的體驗與認知，再通過小組交流分享不同個體的智慧。從教師巡視觀察到的學生原生態(tài)、多樣化的驗證方法中（如圖1、圖2），我們可以感受到他們親歷探究過程的思維脈搏：化小數(shù)計算、畫圖思考、用分數(shù)單位組成來思考、用想乘法推理逆運算除法結果、用商不變的規(guī)律將分數(shù)除法轉變?yōu)檎麛?shù)除法計算。

原生態(tài)的“做數(shù)學”過程，不由讓人想到美國華盛頓圖書館大門口的幾句話“聽見了就忘記了、看到了就記住了、做過了就理解了?！币灿∽C了陶行知先生“行是知之始，知是行之成”的要義。確實，只有親自做過了，實踐過了，抽象的數(shù)學理解才會變得豐富而生動。

三、寫一寫，撰寫報告留下思維軌跡

數(shù)學實驗研究的過程，有時是動手操作成分居多，如圖形與幾何或綜合與實踐等領域，有時是靜思默想居多，如數(shù)與代數(shù)領域等。不管哪一種都是伴隨著數(shù)學思維的動態(tài)進程，數(shù)學家G.波利亞曾說“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見摸得著”[3]。而思維的內容僅憑腦子記憶是有限的，因此大部分的數(shù)學實驗，需要實驗方案或是涵蓋方案的整合性實驗報告作為實驗支撐，通過學生寫一寫，記錄下思維流動的軌跡。

如“和與積的奇偶性”一課是新增的“找規(guī)律”內容?；趦热荨把芯績蓚€非0自然數(shù)和的奇偶性”（如圖3）、“研究多個非0自然數(shù)和的奇偶性”（如圖4）、“研究若干個非0自然數(shù)的積的奇偶性”（如圖5），教師進行了逐步遞進的數(shù)學實驗設計，并且以三個不同層級的實驗報告記錄學生的思維軌跡。

由圖可見三份實驗報告結構類似，都有四個層次。但三個實驗中舉例的設計與結論的表達，從設定格式到半開放再到完全開放，讓學生經歷了實驗研究方法類比遷移的過程，體現(xiàn)了教者“教結構用結構”的前瞻理念。而從“他組織”走向“自組織”的學生書面表達更是化無形為有形，真實刻畫了學生思維軌跡。這樣的記錄無論正誤，都成為后續(xù)小組、組際乃至全班交流思辨的鮮活靈動的差異性資源。

四、辨一辯：分享成果激發(fā)思維碰撞

實驗活動之后有個重要環(huán)節(jié)，即交流分享實驗活動的成果或收獲。因個體認知水平、個性特點的不同，研究成果也會有層次、有差異。因此實驗之后教師要創(chuàng)設民主平等的交流氛圍，促進思維軌跡的展示與成果的全面分享，更要抓住契機，激發(fā)學生的思維碰撞，鼓勵學生主動求異創(chuàng)新。

如“認識長方體與正方體”一課，教師先引導學生通過長方體形狀實物的觸摸，整體感知長方體面、棱、頂點的概念與數(shù)量特點。然后適時出示四棱臺的模型（如圖6）引發(fā)學生自主提問質疑：是不是所有具有6個面、12條棱、8個頂點的立體圖形都是長方體呢？為什么？此刻，學生只有一些短時淺層、點狀零散的發(fā)現(xiàn)：有的面不是長方形;有的棱長度不相等;有的角不是直角……于是他們便躍躍欲試地進入了圖形精細化特征的實驗研究環(huán)節(jié)：①長方體的面到底有哪些特點？棱又有哪些特點？②你是怎么研究發(fā)現(xiàn)的？③小組交流分享你們的發(fā)現(xiàn)與研究方法。

在學生親歷研究過程得出面與棱的一般特征之后，反饋思辨四棱臺是否長方體的頭腦風暴尤為激烈。他們有的能如教材呈現(xiàn)的基本特征一般，從面的形狀與大小關系、棱的長短關系闡述四棱臺不符合的理由;還有的能融通教材，從棱的位置關系闡述理由，如長方體相對的四條棱互相平行，或是相交于一個頂點的三條棱兩兩互相垂直;更有一些學生能超越教材，將棱的位置關系遷移到面的位置關系，如長方體相對的面也是互相平行的，相交的面是互相垂直的……進而推斷四棱臺不是長方體。交流思辨中所分享的不僅有立體化建構的學科知識，還有多樣的方法與研究品質，如他們不只是停留于表面的觀察想象（我看出來……），還有嚴謹?shù)臏y量求證（我測量了……發(fā)現(xiàn)……），更有高層次的推理論證（光是看還不太科學，測量也會有誤差，我是依據(jù)……，推理出……）。

顯然上述交流分享、思維碰撞的過程，也凸顯了社會建構主義的學習觀，雖然知識是個體主動建構的，但也不是任意建構，而是需要與他人磋商并達成一致來不斷加以調整和修正[4]。所以開展數(shù)學實驗活動，教師不僅通過①②兩個研究問題導引個體與物理環(huán)境的相互作用，更設置活動要求③通過學習共同體的合作互動來修正完善學生的意義建構，即通過學習者主動、積極、互助地共同參與實現(xiàn)智慧共享。

五、理一理，整體建構促進思維提升

義務教育數(shù)學課程標準的學科教學內容已從學科本位的“雙基”拓展至綜合素養(yǎng)培養(yǎng)的“四基”，即增加了基本的數(shù)學思想與方法和基本的數(shù)學活動經驗[5]。在當前社會，這兩基的強化更能凸顯數(shù)學實驗對于培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力的重要性。江蘇省教研室王林老師在教材修訂培訓會上特別指出：幫助學生積累數(shù)學活動經驗是教材修訂的重要任務，數(shù)學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在不斷經歷、體驗各種數(shù)學學習活動的過程中逐步積累。因此教材很明顯的變化就是在核心教學內容之后增加了反思環(huán)節(jié)，如“回顧解決問題的過程，你有什么體會？”“回顧發(fā)現(xiàn)……的過程，你有哪些收獲？”等。而課本預設或希冀的答案，有知識層面的，有方法層面的，也有數(shù)學思想層面的。

如“認識長方形和正方形”，教師立足教結構用結構，設計了兩個層次的實驗活動與反思跟進。

第一層次研究長方形特征。學生在教師適時引領下充分經歷“提出猜想—進行驗證—得出結論”的探究過程，隨后進行第一層反思：剛才你們是從哪幾方面研究長方形特征的？是怎么研究驗證的？你們經歷了怎樣的學習過程？學生很自然地從邊與角著眼的知識結構、折一折量一量比一比的方法結構、經歷“提出猜想—進行驗證—得出結論”的過程結構進行了梳理反思，并由研究多個大小不一的長方形提煉出特征，體驗數(shù)學歸納的思想方法。

第二層次研究正方形特征。上述實驗活動的反思，很自然促進了學生后續(xù)實驗活動的靈活遷移：也能像剛才那樣去研究正方形的特征嗎？讓學生自主經歷“提出猜想—進行驗證—得出結論”的探究過程。之后教師又請學生基于頭腦建構的表象思考比較：閉上眼在腦中想象長方形和正方形，它們的特征有什么相同的地方和不同的地方？正方形具有長方形的所有特征嗎？在比較梳理中溝通圖形內在聯(lián)系，并以韋恩圖整體建構長方形與正方形概念，初步體會集合的數(shù)學思想。

鼓勵實驗活動之后的反思梳理，能促使學生形成對數(shù)學中一類知識的整體認知，促進學習策略與思想方法等的深刻內化，實現(xiàn)思維方式、思維品質的整體提升，養(yǎng)成愿傾聽、敢質疑、善合作、樂表達的品行，并遷移于后續(xù)學習活動，更好體現(xiàn)“教是為了達到不需要教”[6]的長遠效應。

參考文獻：

[1]方明.陶行知教育名篇[M].北京：教育科學出版社，2005：8.

[2]張吉紅.小學數(shù)學教學的幾點探索[J].學周刊，2011（16）.

[3]董林偉.初中數(shù)學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013：序3.

[4]王文靜.社會建構主義研究[J].全球教育展望，2001（10）.

[5]義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：3.

[6]葉圣陶.如果我當老師[M].北京：教育科學出版社，2012：75.

責任編輯：石萍

Experimental Field and Students' Mathematics Thinking Development

CHEN Mei-hua

（Changzhou Experimental Primary School， Changzhou 213003， China）

Abstract： Mathematics is the thinking gymnastics and thinking development is the core task of mathematics instruction. Students should be involved in formation and development of knowledge and problem solving， which is also the process of their thinking dynamism. Based on research into reform and innovation of mathematics classroom life styles， teachers should construct experimental courses and carry out experimental teaching from the aspects of asking， doing， writing， debating and reasoning so that thinking could be visualized for a better sharing of thinking dynamism by students.

Key words： mathematics experiment; thinking process; sharing