張坤 張昆

（①淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；②安徽省阜南縣新村鎮(zhèn)天棚中學(xué)）

三角形內(nèi)角和教學(xué)設(shè)計的新視角

張坤①②張昆①

（①淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；②安徽省阜南縣新村鎮(zhèn)天棚中學(xué)）

一、 教學(xué)設(shè)計背景

滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第十三章第一節(jié)的內(nèi)容提到：在小學(xué)，我們曾用折疊、剪拼或用量角器度量的方法研究過三角形的內(nèi)角和，并得到其為180°，第二節(jié)證明了三角形的內(nèi)角和等于180°，在課本中是直接利用平行線的性質(zhì)通過平移角的方法來證明的.對初中生來說添加輔助線是很難的，因為這是他們第一次通過添加輔助線來證明題目.為了不讓初中生對添加輔助線產(chǎn)生畏懼，教師一定要引導(dǎo)、設(shè)計好這一課例，筆者在反復(fù)思考、分析學(xué)生心理活動環(huán)節(jié)與研究教材的基礎(chǔ)上對這節(jié)課的教學(xué)進行了嘗試性探究，在教學(xué)實踐中進行了如下設(shè)計.

二、 教學(xué)設(shè)計過程

1.出具實物，提示學(xué)生回憶

師：在小學(xué)里同學(xué)們通過折疊、剪拼、對開、分割或度量等方式，已經(jīng)從經(jīng)驗觀察中知道了三角形的內(nèi)角和為180°，大家看老師手中的三角板（如圖1），你知道它的每一個角都是多少度嗎？

圖1

圖2

圖3

生1：一個為30°，一個為60°，一個為90°，它們的和為180°.

師：很好！這是一個特殊的直角三角形，如果是一個一般的直角三角形（如圖2），這個三角形的內(nèi)角和是否依然為180°呢？

生2：在這個三角形中我們已經(jīng)知道∠C=90°，只需要再證明∠A+∠B=90°就可以了.但是，……

生3：我們所學(xué)過的知識中只有垂直才能得到90°，我想在直角△ABC上作個垂線進行試探.

師：很好！作垂線其實就是我們中學(xué)教學(xué)中所講的添加輔助線.輔助線的添加有很多不同的方法，下面就請同學(xué)們討論一下如何作這條垂線呢？

2.課例討論

生4：我作的垂線如圖3所示，在AB上任意取一點D，過D點作DE⊥AB，就得到∠EDB和∠EDA都是90°.

師：很好！生4成功得到兩個90°的角，即∠EDB和∠EDA，但是，這兩個直角與∠A和∠B有聯(lián)系嗎？很顯然聯(lián)系不上，我們不能用∠EDB和∠EDA兩個直角中的任何一個，這種輔助線對我們解此題沒有任何幫助，故此垂線的作法不可取，還有其他的方法嗎？

圖4

圖5

圖6

生5：我是這樣作垂線的，如圖4，在BC上任取一點D，過D點作DE⊥BC，交AB于E點，因為DE⊥BC，所以∠EDC=90°，又因為∠C=90°，所以∠C+∠EDC=180°，還可以得到ED∥AC，∠A=∠BED.

師：很好！生5雖然得到180°，達到我們的目標，但是與∠A和∠B聯(lián)系不上，不能求出∠A+∠B=90°，這種作垂線的方法仍不可取.

生6：我的想法與生4一樣作垂線，但這個垂線不能任意作，由生5的作法可知，我們既要作垂線得到垂直，又要利用垂直得到平行，把∠A+∠B=90°求出來（如圖5）.過B點作BD⊥BC，得到∠DBC=∠C=90°，即∠DBC=∠DBA+∠ABC.

生7：由生5和生6的作法知∠DBC=∠C=90°，所以DB∥AC，所以∠A=∠DBA，所以∠DBC=∠ABC+∠A= 90°，即∠A+∠B=90°，所以得到∠A+∠B+∠C=180°.

師：很好！這幾位同學(xué)利用我們以前所學(xué)過的有關(guān)垂直、平行的知識，嘗試添加不同的輔助線，構(gòu)造出垂直、平行，驗證了直角三角形的內(nèi)角和為180°.在初中利用添加輔助線的思想來證明題目是今后同學(xué)們經(jīng)常用到的，怎樣合理有效地添加輔助線就成為我們今后解題的關(guān)鍵.

生8：這種利用垂線證明直角三角形內(nèi)角和為180°的方法是否可以推廣運用到一般三角形中呢？

師：生8提出的問題很好，我們是否可以把這種證明方法從特殊的直角三角形推廣到一般三角形呢？

生9：我想是可以的，受生6和生7添輔助線的啟發(fā)，我先把任意三角形分為銳角三角形和鈍角三角形，我添加兩條垂線（如圖6，三角形為銳角三角形）.過A點作AD⊥BC，交BC于點D，過C點作EC⊥BC，因為AD⊥BC，EC⊥BC，由平行線判定定理可得AD∥EC，所以∠1=∠2，又因為∠2+∠ACD=90°，所以∠1+∠ACD=90°，在直角△ABD中，我們在前面已經(jīng)證明∠3+∠B=90°，所以∠1+∠3+∠ACD+∠B=180°，又因為∠1+∠3=∠A，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形為鈍角三角形時，同樣的證法如圖7）.

圖7

圖8

圖9

生10：太復(fù)雜了，我把生9的兩條輔助線合為一條，把添加垂直輔助線變成直接添加平行線（如圖8）.過A點作DE∥BC，所以∠1=∠B，∠2=∠C，所以∠1+∠2+∠BAC=180°，即∠A+∠B+∠C=180°.

師：非常好！生10的想法是最簡單有效可行的方法，利用平行線把三角形的內(nèi)角和等于180°證明出來了，這種想法回歸到我們課本的證明方法.如圖9，延長BC到點D，以點C為頂點，CD為一邊作∠2=∠B，則CE∥BA，所以∠A=∠1，因為B、C、D在同一條直線上，所以∠1+∠2+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB= 180°.

師：同學(xué)們由上述內(nèi)容可見，要想完成此定理的證明，關(guān)鍵在于輔助線的發(fā)現(xiàn)和添加.而我們在小學(xué)只是通過具體事例的學(xué)習(xí)，知道三角形內(nèi)角和為定值，并通過撕拆拼圖或度量驗證了三角形內(nèi)角和為180°，認識水平還未能達到運用平行線移角的想法來添加輔助線完成定理證明的高度，所以此定理證明的完成對我們來說難度不小，但它是我們自己在已有知識、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，自主探究、自主總結(jié)得出的.這樣的方法要想一蹴而就，必須長期堅持練習(xí)、思考、總結(jié)、歸納，才能達到順利解決問題的目標.

3.如此教學(xué)設(shè)計的進一步思考

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》明確提出：“第一，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探究與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.第二，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認識發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.第三，教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”.［1］因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不是由教師向?qū)W生進行知識的直接傳遞，而是在教師的輔助下，學(xué)生自己獨立地探索知識的過程.

在本節(jié)課的設(shè)計中，筆者圍繞著：為什么要添加輔助線？怎樣添加輔助線？添加輔助線后，圖形的性質(zhì)發(fā)生了怎樣的變化？圖形變化產(chǎn)生新的性質(zhì)對解決問題有哪些幫助這四個問題讓學(xué)生展開討論，有效地指導(dǎo)學(xué)生解決了三角形內(nèi)角和問題，因此教師在平時教學(xué)中要勤于思考，要勤于發(fā)現(xiàn)，要開發(fā)好課堂，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生、探索、獲取的過程，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、論證能力、創(chuàng)新能力、發(fā)散思維能力.

筆者翻閱了北師大版、浙江教育版、人教版、魯教版、青島版、湘教版、冀教版、江蘇科技版八個版本的教材，八個版本在證明三角形內(nèi)角和為180°的定理時所運用的思想方法是一樣的，都是由小學(xué)里的折紙、拼剪活動，或用量角器度量的方法談起這個問題的，然后再拼接，通過拼接后留下的痕跡作平行線移角的方式來證明三角形內(nèi)角和.而滬科版教材是通過作角，運用平行線的判定定理得到平行，然后再利用平行線移角.

不同版本的教材具體操作方法不同，但它們都有一個共同點，即通過添加輔助線得到平行，再利用平行線的性質(zhì)移角來證明三角形內(nèi)角和定理的，此定理的證明用添加平行線移角是最佳方法，其實它也是今后我們解決其他幾何問題的常用方法之一.輔助線在幾何證明中起著橋梁和化難為易的作用，合理恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，可以幫助學(xué)生擴展視野，開闊思路，把隱性條件明顯化，也就是說，添加輔助線解決有關(guān)幾何證明的問題，就像我們代數(shù)中設(shè)未知數(shù)一樣，把未學(xué)過的、不會的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的、會的知識，這就是我們數(shù)學(xué)當(dāng)中經(jīng)常提到和用到的解決問題的思想方法——化歸思想.

用什么方法能直觀地、沒有誤差地讓學(xué)生理解并接受：“三角形內(nèi)角和是180°”這個定理，這就很自然地過渡到數(shù)學(xué)上的證明，證明是通過合情推理、論證、探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運用演繹推理加以說明的過程.教師運用好課堂，啟發(fā)學(xué)生自己動腦，動手去探索，這種體驗式教學(xué)對學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性，肯定會遇到很多困難，教師一定要鍛煉學(xué)生克服學(xué)習(xí)新知識所遇到困難的意志.學(xué)生之間也會存在差異，教師一定要尊重學(xué)生之間的差異，幫助學(xué)生分析、解決、探討問題，然后通過比較和方法優(yōu)化的過程提升學(xué)生的思維品質(zhì)，當(dāng)然學(xué)生完成問題后也會有一種說不出的愉悅感和滿足感.這樣也會激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和參與學(xué)習(xí)的積極性，從而有效推動教學(xué)的開展.因此，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)時也需要教師經(jīng)常地進行啟發(fā)、引導(dǎo)和及時地點撥.

學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)是靠感性認識解決問題，而到了初中，隨著知識難度的提升和學(xué)生認知能力及知識擁有量的提高，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也要從原來的靠感性認識轉(zhuǎn)化為理性的邏輯思維.因此教師要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、發(fā)散思維能力、空間想象能力及抽象思維能力，力求使學(xué)生能夠主動探究知識，勇于質(zhì)疑問難，最終掌握科學(xué)的方法解決學(xué)習(xí)中的問題.

我們由上述課例中眾多同學(xué)的發(fā)言不難得出，新事物的產(chǎn)生往往成為學(xué)生思維過程中的障礙，正如弗賴登塔爾所說：“數(shù)學(xué)在其發(fā)展過程中，走過漫長而曲折的道路，它不斷修正過自己的進程，避開過彎路，繞過死胡同，重新明確前進的方向.”［2］學(xué)生的思維過程也是如此，當(dāng)學(xué)生思維受到阻礙，教師必須幫助尋找突破口，精心設(shè)計課堂活動，為學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造搭建平臺.根據(jù)皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)觀點，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上主動建構(gòu)的過程，在建構(gòu)的過程中一定會遇到困難，但只要能達到最終學(xué)習(xí)目標，教師都應(yīng)及時指導(dǎo)、支持學(xué)生，并給予適當(dāng)?shù)膸椭?，讓學(xué)生自己動手解決問題，因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)給學(xué)生搭建自主探究的平臺.

學(xué)生從圖3一步步優(yōu)化輔助線到圖5是一個突破，是學(xué)生自己幾乎出于一種本能完成這條輔助線的添加.由圖6優(yōu)化討論到圖8又是一個飛躍，達到了這節(jié)課的高潮.對于八年級上學(xué)期的學(xué)生來講，他們剛剛接受過平面幾何證明的學(xué)習(xí)，還不知道怎樣去用數(shù)學(xué)語言與學(xué)過的定理、公理去證明題目，更不可能直接就添加出圖8中的直線DE，學(xué)生之間必然有思考、討論、探索、合作交流、判斷與選擇的過程，在此過程中要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的嚴謹性、縝密性、邏輯推理論證性，在問題的探索中，讓學(xué)生自主探究，合作交流，感受分類討論思想、整體探索思想、從特殊到一般思想，要讓學(xué)生學(xué)會從直觀感受中探尋數(shù)學(xué)規(guī)律.

作為教師要經(jīng)常運用課堂教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅固的基石，所以教師在教學(xué)中要留出足夠的空間，引領(lǐng)學(xué)生探索、論證，親身體驗知識產(chǎn)生的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)其實就是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式，去提高他們分析問題與解決問題的能力.很多時候教師可以把學(xué)生在生活中最感興趣的問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，把很多社會的熱點問題和數(shù)學(xué)問題融合起來，從學(xué)生的天性出發(fā)，把數(shù)學(xué)思想附注在學(xué)生感興趣的問題里，讓學(xué)生去思考、討論、交流，這樣既達到了傳授數(shù)學(xué)知識的目的，又能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在生活中處處存在，這才是我們教育的真正目的所在——教會學(xué)生如何去用數(shù)學(xué)思維分析、解決現(xiàn)實社會中遇到的問題.在學(xué)生的大腦里種下：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是對我們的生活沒有用，數(shù)學(xué)時刻在改變我們的生活這種想法，更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維對人類的影響.

學(xué)生的思維隨著同學(xué)們的熱烈討論在層層遞進，本例描摹了學(xué)生產(chǎn)生這條合適的輔助線的心理過程，影響這種心理過程遞進緩慢的因素是他們已有知識的儲備量還不夠，產(chǎn)生新知識的能力還比較弱，正如奧蘇貝爾所說：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，根據(jù)此進行相應(yīng)的教學(xué).”［3］正是由于學(xué)生知識的淺薄，導(dǎo)致此輔助線不能很快速合理地添加.因此無論自主探究教學(xué)如何好，策略如何優(yōu)化，教師的課堂設(shè)計都必須建立在學(xué)生已有知識水平的基礎(chǔ)上，所以作為任課教師在設(shè)計課堂教學(xué)之前，必須真實有效地進行學(xué)情分析.

三、結(jié)束語

“教育是一份謹慎的工作，于編纂教材，于教學(xué)設(shè)計都應(yīng)環(huán)顧他幫，博采眾家之長，甚而謹小慎微.”［4］作為中學(xué)教師針對每一節(jié)課都應(yīng)有一個適合自己學(xué)生的教學(xué)設(shè)計，每一個教學(xué)設(shè)計都盡量使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維來思考每一問題；用數(shù)學(xué)公理、定理來證明每一個結(jié)論；用數(shù)學(xué)語言來表述自己的觀點，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)所要追求的最高境界，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)要求.

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的知識相對固定（其最低限度已經(jīng)寫入課程標準）.但是，通過何種方式來傳授這種已經(jīng)設(shè)定了的知識，卻隨著教師的教學(xué)理念不同，預(yù)設(shè)的教學(xué)目標不同，持有的教學(xué)觀念不同，獲得的教學(xué)經(jīng)驗不同，理解特定數(shù)學(xué)知識性質(zhì)不同，揣摩發(fā)生特定知識的學(xué)生認知方式不同，估計發(fā)生知識時學(xué)生現(xiàn)場心理活動意向不同，存在多種選擇余地.不同的教學(xué)設(shè)計對發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教育價值，促進學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果大相徑庭、迥然有別.對此，我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計時要思之再思，慎之又慎！

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.［荷］弗賴登塔爾，著.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，等，編譯.上海：上海教育出版社，1995.

3.［美］奧蘇貝爾.教育心理學(xué)——認識觀點［M］.北京：人民教育出版社，1994.

4.趙興珍，祁樂珍.關(guān)于“三角形內(nèi)角和定理的證明”教學(xué)設(shè)計的調(diào)整與思考［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（4）.