浙江新昌縣南明小學（312500） 毛裕浩

萬以內數的加減法是整數計算教學中的核心內容，它以20以內數的加法、減法為基礎，尤其是進位加法和退位減法，這些加減法計算的正確率和熟練程度直接影響萬以內數加、減法的正確率和熟練程度，而萬以內數的加減法又是后續(xù)學習的小數加、減法，多位數乘兩位數，小數乘除法等內容的基礎，足見這一內容的重要性。

一、分析教材學情，統(tǒng)計錯誤現象

從計算的角度思考，萬以內數的加法、減法的算法可以分為三個步驟：一是相同數位上的數字相加減；二是從個位算起；三是分為兩種情況：加法是哪一位上的數字相加滿十，就向前一位進1，減法是哪一位上的數字不夠減，就向前一位退一做十，相加后再減。這三個步驟學生口頭表達已非常清晰，但具體運用第三個時卻是差強人意。

從教材呈現的內容分析，萬以內數的加減法可以分為加法和減法兩大塊。加法可以細分為：A．三位數加三位數出現一次進位（可以是任何數位相加滿十）；B．三位數加三位數出現兩次進位（可以是任意的兩個數位相加滿十）；C．三位數加三位數出現三次進位。減法可以細分為：a．三位數減兩位數或者三位數，個位不夠減出現一次退位；b．三位數減兩位數或者三位數，個位、十位不夠減，出現兩次退位，被減數中間、末尾都沒有0；c．三位數減兩位數或者三位數，個位、十位不夠減，出現兩次退位，被減數中間、末尾都有0；d．三位數減兩位數或者三位數，個位、十位不夠減，出現兩次退位，被減數中間有0，末尾沒有0。

根據這些分類對學生的計算易錯題進行調查統(tǒng)計，結果如下。

加法分類 錯誤率 減法分類 錯誤率A 2．7% a 4．5%B 4．6% b 7．2%C 2．1% c 15．9%d 21．4%

二、分析統(tǒng)計數據，聚焦錯誤本源

總體分析：根據以上的統(tǒng)計數據我們發(fā)現，學生的計算易錯題總體上歸類為：①減法計算錯誤率高于加法計算錯誤率（尤其退位減法比進位加法錯誤率要高）。②十位、百位計算錯誤率要高于個位計算錯誤率。③計算習慣不好的學生的錯誤率要高于計算習慣好的學生的錯誤率。如常有學生忘加進上來的1，忘減退位的1。

階段性分析：在加法計算中，第一階段的一次進位學生不太會出現錯誤，而遇到連續(xù)進位后學生出錯的情況明顯增多，主要是對20以內數的進位加法和十幾加1的加法不夠熟練造成的。在減法計算中，學生對于第一階段的一次退位容易記住要減掉退位的1，而遇到連續(xù)退位，尤其是“被減數中間有0的情況，個位不夠減，向十位退1，十位不能退1，先要向百位退1，再從十位退1”的情況學生較難理解，尤其是一些學困生。

三、分析典型易錯題，尋找改進對策

學生在數學學習的過程中經常出現錯誤，錯誤并不可怕，它是學生經歷了分析、對比、理解、調整等學習方式后對問題的一種反饋。那么，萬以內加減法中的哪些計算題是學生難以掌握、容易犯錯的呢？我搜集了大量的學生作業(yè)，對學生的錯誤進行了調查、訪談與思考，歸納整理出了以下幾種錯誤類型。

類型一：個位倒著減

◆典型錯題

◆錯因分析

這兩道計算題都出錯在個位。針對這樣的錯誤，我對學生進行了訪談。

【訪談一】

師：你能說說412－269得數的個位是怎么算出7的？

生：我是先從個位算起，個位的2－9不能減，那我就倒過來變成9－2了。

師：2－9是不能減還是不夠減？

生：我聽同學說是不能減。

師：9－2 夠減嗎？

生：夠。

師：那2－9夠減嗎？

生：不夠減。

師：2－9不夠減怎么辦？

生：向十位借1再減。

……

【訪談二】

師：你能說說803－320得數的個位怎么算出是7的？

生：不好意思！老師，我看錯了，應該是3。

……

從學生的訪談中，我找到了錯誤的原因：

1．學生在平常的減法計算中接觸最多的是被減數比減數大或者被減數和減數相等，也就是夠減的情況，因此碰到被減數比減數小即“不夠減”的式子，學生的第一反應是認為沒有這樣的減法式子，是“不能減”的，即做不了，“不能減”那就倒回來減，兩種減法的結果是一樣的，這和加法式子將兩個加數交換位置后再加結果不變是一樣的。

2．萬以內數的減法主要是學習“不夠減需要退位”的減法，經過大量具體式子的練習，學生頭腦中浮現“不夠減”的減法已蓋過了以前所學“夠減”的減法，受頭腦中“不夠減”的強勢影響，把“夠減的”也當成“不夠減”的了。

3．加法交換率的負遷移。在加法計算中如2＋9和9＋2的結果是一樣的，學生認為減法9－2和2－9的結果也是一樣的。

◆改進策略

1．規(guī)范數學語言?！安荒軠p”和“不夠減”雖一字之差，但意思差別很大?！安荒軠p”是減法中的兩個數字不能參與減法計算，不存在減法式子，而“不夠減”是被減數比減數要小。根據學生的學習心理和接受新事物的特點，學生（尤其是學困生）對“不夠減”的減法式子外觀上還不能很快接受，覺得很別扭。為此，在教學中，應先從心理上讓學生盡快接受這樣的減法式子，讓學生清楚這樣的減法式子屬于“不夠減”，不是“不能減”，在這之前碰到的減法都屬于“夠減”。特別注意的是，在做這樣的減法時要規(guī)范使用“不夠減”這一數學語言。

2．加強對比練習。個位倒著減中，錯誤最多的是類似“0－3”這樣的減法，很多學生看到后都會不假思索直接寫出答案“3”。為此在基本的口算練習中設計一組對比口算題：3－0，0－3，10－3，讓學生在計算中比較“3－0，0－3”這兩題的區(qū)別，比較“0－3，10－3”這兩題的關系。在比較中發(fā)現前兩題的被減數和減數交換了位置，結果是不相等的，這和“3＋0，0＋3”是有區(qū)別的；而后兩題是第一題不夠減了要退位后再減（變成第二題了）的關系。在多次比較計算中學生就能夠明白“夠減”可以直接減，“不夠減”需要退1后再減，從而理解減法計算的基本算理。

類型二：個位計算正確，十位或百位計算錯誤

◆典型錯題

◆錯因分析

這些錯誤中個位都計算正確，而十位或百位都出現計算錯誤，歸納起來有以下幾種：（1）加法。①個位數字相加未滿10，卻向十位進1；②十位相加滿10，卻未向百位進1。（2）減法。①個位不夠減向十位借1，沒點退位點，十位忘了退1；②個位不夠減，向十位借1，標有退位點，卻沒有退1。歸結這些錯誤原因，主要有：①算理不清。相加滿10沒有進1，進1了卻沒有加上去；不夠減沒有退1，退1了卻沒有減掉。從學生的豎式計算看，沒有進1標記和退位點標記的比有此類標記的錯誤率更高。②數字顯性和隱性的影響。個位上的數字計算相對其他數位是顯性的，可以直接進行加減，而其他數位上的數字相加減還存在著一些隱性因素，如進上來的1，退1后的數字已經不是原來的數字了，但變化后的數字沒有直接呈現在學生眼前，需要學生有很強的辨別能力，并時刻注意數字的變化，為此相對于個位，其他數位計算錯誤較多。

◆改進策略

1．注重加減法算法的指導。隨便找一個學生讓他說萬以內加減法的計算算理，他會說得很清楚，但會說不一定會應用。尤其是相加滿10要向前一位進1時，總是把進上來的1漏加；遇到不夠減向前一位退1時，總是忘了退1。這類現象看似簡單，其實是學生不清楚算理。學生只看到了豎式中顯性的數字，對顯性的數字會直接相加減，而隱性的數字變化卻未能及時發(fā)現并讓其參與計算。為此，在豎式計算的初期要求學生說出每一步的計算過程，尤其是遇到相加滿10進1和不夠減退1的情況，將這一計算算理熟練化，以達到熟練計算的技能目標。如計算“689＋346”時，引導學生說出“9＋6 等于 15，寫 5 進 1，8＋4 等于 12，12＋1 等于 13，寫 3 進 1，6＋3 等于9，9＋1等于10，直接寫10（這一步不要再寫0進1了，防止出現類似“931＋785＝716，百位相加滿10向千位進1的 1沒有寫下來的錯誤”）”。計算“412－269”時，要求學生說出：“2－9不夠減，向十位退1，并在十位的數字上點上退位點，12－9＝3，0－6 不夠減向百位退 1，在百位數字上點上退位點，10－6＝4，3－2＝1?！痹诳谒銜r也要求學生把這些計算步驟說完整。

2．關注加減法計算的習慣。學生在計算加法時，知道相加滿十了，向前一位進1的1往往不寫，記在腦子中再計算；做減法時需要退1的數字不做退位標記，憑記憶去計算。從學生錯誤情況分析，有“進1”和退位標記的學生比沒有做標記的學生的錯誤率要低。從刺激學生注意的角度思考，所做的標記能給計算起到提醒的作用，不做標記則要對學生的注意力有要求，要求能夠把不存在的數字清晰地存在腦子中并參與運算。為此，要求學生計算進位加法和退位減法時標出“進1”和退位標記，并使之成為一種做題習慣。

類型三：同一豎式加減混淆

◆典型錯題

◆錯因分析

錯誤的原因是個位上的數字用加法計算，其他數位上的數字用減法計算，在同一個豎式中出現了兩種運算。若題目中個位出現6和8，學生算錯的可能性較大。我結合學生的訪談和自己的思考，歸納出以下原因：①學生的日常生活經驗影響。中國的傳統(tǒng)習慣認為6和8是代表吉祥的數字，在商品價格、車輛牌照、吉日選擇等方面盡可能用上6和8這兩個數，這樣學生在生活中接觸較多的也是6和8這兩個數。②計算出現的順序影響。在計算教學的教材編排中，首先出現的是加法，如先有6＋8＝14，再有相關的減法出現，學生對第一次出現的事物接受和存儲迅速且記憶長久。③隱藏數字未及時顯現的影響。個位6＋8是顯性的加法，直接計算出和即可，而個位的6－8，被減數隱藏著變化情況16，其實是16－8，相比較直接計算6＋8，難度加大了。

◆改進策略

1．積極驗算核對。驗算是檢驗計算結果正確與否的一種有效方式，前提是參與計算的數字和符號要抄正確。在平時的驗算中可以根據需要寫出完整的驗算過程，一般情況下，加法可以用減法驗算，減法可以用加法驗算，也可以驗算結果的個位，這是一種快速檢驗計算結果正確與否的方式，通過驗算個位正確與否來判定整個計算是否正確，從而去發(fā)現、糾正原先的計算錯誤。

2．強化對比練習。如同時出現546－168和546＋168這樣兩道題，先讓學生觀察相同點和不同點，在計算的不同中真正體會到同樣的數字用不同的運算得出的結果是不同的，而在同一個豎式中一種運算一直到底，不會加減摻雜其中。讓學生也編寫一些類似的計算題進行練習，在強化對比中進一步體會計算的不同。

心理學家桑代克認為：“嘗試與錯誤是學習的基本形式。”的確，在數學學習的過程中，學生犯錯是一種學習的積累與挑戰(zhàn)，教師要允許學生犯錯，錯誤是一種很好的教學資源，但關鍵是如何引導學生認識到自己的錯誤，找到自己數學學習上的紕漏，并能吸取教訓使自己下次不再犯錯或少犯錯誤。計算教學的實踐與思考還有很多路要走，在實踐中還會面對學生各種各樣的錯誤，但錯誤有錯誤的精彩與價值，讓我們聚焦錯誤的本源，尋找有效的改進策略。