楊鵬　劉琦　王獻(xiàn)鋒

摘 要 研究了均值-方差準(zhǔn)則下，帶交易費用和負(fù)債的投資組合選擇問題.研究目標(biāo)是，在終值財富的均值等于d的限制下，使終值財富的方差最小，即均值-方差組合選擇問題.通過使用線性二次控制的理論解決了該問題，獲得了最優(yōu)的投資策略和有效邊界的顯式解.并通過對所得結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析及實例，在經(jīng)濟(jì)上給出了合理的解釋.通過本文的研究，可以指導(dǎo)投資者在具有負(fù)債時選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略，使自身獲得一定的財富而面臨的風(fēng)險最小.

關(guān)鍵詞 均值-方差準(zhǔn)則； 線性二次控制；交易費用；最優(yōu)策略；有效邊界

中圖分類號 F830，O211.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2014）06-0073-06

Abstract Investment portfolio selection problem with transaction costs and liability is considered under mean-variance criterion. The main goal is to minimize the variance of the terminal wealth under the constraint that terminal wealth is equivalent to d， namely， the mean-variance portfolio selection problem. Applying linear-quadratic theory， optimal investment strategies as well as the mean-variance valid frontier are then analytically derived. Meanwhile， according to the further analysis and practical example， an explanation in economy is given. This research could be adopted by investors with liability to select the appropriate investment strategy for more wealth while minimizing the risk.

Key words mean-variance criterion； linear-quadratic control； transaction costs； optimal strategies； efficient frontier

自從文獻(xiàn)[1]對于單時期均值-方差的有效投資組合開展研究以來，許多學(xué)者都研究了該問題.均值-方差問題的目標(biāo)是，在終值財富的均值給定時使其方差最小.近年來，由于人們對經(jīng)濟(jì)問題的持續(xù)關(guān)注，均值-方差投資組合選擇問題已成為數(shù)理金融研究的熱點問題.文獻(xiàn)[2]研究了動態(tài)多個時代的均值-方差組合問題， 文獻(xiàn)[3]在隨機(jī)LQ的框架下研究了連續(xù)時間均值-方差組合問題，通過隨機(jī)LQ得到了最優(yōu)策略和有效邊界.文獻(xiàn)[4]研究了馬爾可夫調(diào)制市場上具有資產(chǎn)負(fù)債的均值-方差組合問題，獲得了最優(yōu)策略和有效邊界.文獻(xiàn)[5]研究了基于養(yǎng)老金的最優(yōu)投資的均值-方差問題，應(yīng)用隨機(jī)控制理論求得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解.類似的文獻(xiàn)[6]也應(yīng)用隨機(jī)控制論研究了養(yǎng)老金投資問題.另外，隨機(jī)控制理論也被廣泛用來研究最優(yōu)投資問題[7-11].

我們知道交易是需要費用的，尤其是頻繁交易時，交易費用更大.因此在風(fēng)險投資時，應(yīng)考慮交易費用，考慮交易費用才更符合實際情況.文獻(xiàn)[12]在保險市場上進(jìn)行投資時，假設(shè)交易時帶有交易費用.他們通過使用文獻(xiàn)[13]中的結(jié)論，使用HJB方程的方法把問題適當(dāng)轉(zhuǎn)化，得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解.

基于上述文獻(xiàn)的工作，本文致力于研究具有交易費用的均值-方差投資組合選擇問題.本文考慮交易費用的形式和文獻(xiàn)[12]一樣，但是得到最優(yōu)投資策略的方法不再使用HJB方程的方法，而是使用了線性二次控制，這一解決均值-方差組合選擇問題的通用方法.另外，在研究中本文還考慮了投資者具有負(fù)債，最終得到了最優(yōu)的投資策略和有效邊界的顯式解，并通過對所得結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析及實例，在經(jīng)濟(jì)上給出了合理的解釋.同時分析了負(fù)債對最優(yōu)投資策略和有效邊界的影響.通過本文的研究，可以指導(dǎo)投資者在具有負(fù)債時選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略，使自身獲得一定的財富而面臨的風(fēng)險最小.

1 模型和均值-方差組合選擇問題

1.1 模型

為了使數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)格，假設(shè)所有的隨機(jī)過程和隨機(jī)變量都定義在完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，并且有一滿足通常條件的σ-流{Ft，t≥0}，即Ft右連續(xù)且P完備.考慮一個金融市場，由n+1個金融資產(chǎn)組成，其中一個是無風(fēng)險資產(chǎn)（債券），時刻t的價格{Bt，t≥0}滿足下面的方程

4 數(shù)值計算及經(jīng)濟(jì)分析

為了解釋本文所得結(jié)論，本節(jié)給出一個數(shù)值計算的實例計算上一節(jié)得到的最優(yōu)投資策略和有效邊界，并分析負(fù)債對最優(yōu)投資策略和有效邊界影響.

實例 假設(shè)現(xiàn)有一投資者初始時刻有資金x0=10元，此人欲投資于一個無風(fēng)險資產(chǎn)和兩種股票，期限T=2年.假設(shè)無風(fēng)險利率r=0.05，兩種股票的利率為r1=0.09，r2=0.12，波動率矩陣為D=1001，買股票的交易費用為θb1=0.02，θb2=0.04，賣股票的交易費用為θs1=0.1，θs2=0.11，t=1年時該投資者的財富x=10元.投資過程中存在負(fù)債與股票價格的相關(guān)系數(shù)為ρ1=12，ρ2=13，終值財富X*2 的均值EX*2=12.2.把上述數(shù)值代入（13）、（14）、（15）式，分下面兩種情況計算最優(yōu)投資策略和有效邊界.

結(jié)果分析：從表1 可以看出，最優(yōu)投資策略π*b，π*s是關(guān)于參數(shù)u的單調(diào)遞增函數(shù)；有效邊界Var X*T是關(guān)于參數(shù)u的單調(diào)遞增函數(shù).

從表2可以看出，最優(yōu)投資策略π*b，π*s是關(guān)于參數(shù)v的單調(diào)遞減函數(shù)；有效邊界Var X*T是關(guān)于參數(shù)v的單調(diào)遞減函數(shù).

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（編輯 胡文杰）