張兆遠(yuǎn)

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧835000)

眾所周知，集合中元素的個(gè)數(shù)是大于或等于零的，元素個(gè)數(shù)為零的集合稱為空集.那么，集合中元素的個(gè)數(shù)是否可以小于零?如果存在元素個(gè)數(shù)小于零的集合，會(huì)對(duì)集合論公理體系產(chǎn)生什么樣的影響?帶著這些問(wèn)題我們進(jìn)行如下論述.

1 引入新公理

在ZF公理系統(tǒng)基礎(chǔ)上引入一個(gè)新的公理，即負(fù)集存在公理.它允許集合中的元素個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù).

負(fù)集存在公理 構(gòu)造一個(gè)集合，使它含有負(fù)元素.所謂負(fù)元素就是這個(gè)集合欠著的元素.符號(hào)化為(-B)(-x)∈B)，其中，槇x∈B表示x欠于B，B欠著x.稱x是正元素，槇x是負(fù)元素;x與槇x為一對(duì)互反的元素，即x的負(fù)元素是，槇x的負(fù)元素是x.

一個(gè)集合中可以同時(shí)含有一對(duì)互反的元素.我們舉一個(gè)形象的例子來(lái)說(shuō)明，甲身無(wú)分文，可為了生存他借了9萬(wàn)元錢(qián)做生意.這時(shí)他擁有9萬(wàn)元，同時(shí)又欠別人9萬(wàn)元.即9∈甲且槇9∈甲，其中槇9表示他欠債9萬(wàn)元.

定義1 含有負(fù)元素的集合叫做負(fù)集合.

定義2 只含負(fù)元素的集合叫做純負(fù)集合，反之叫純正集合.

規(guī)定用正整數(shù)表示正元素的個(gè)數(shù)，用負(fù)整數(shù)表示負(fù)元素的個(gè)數(shù).

定義3 一個(gè)集合的負(fù)元素個(gè)數(shù)與正元素個(gè)數(shù)之和叫做這個(gè)集合的絕對(duì)元素個(gè)數(shù)，記作CardA;負(fù)元素個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與正元素個(gè)數(shù)之和叫做這個(gè)集合的相對(duì)元素個(gè)數(shù)，記作∣CardA∣.

例2A={槇1，2，槇3，4，5}的CardA=1，∣CardA∣=5.

例3A={槇1，2，4}含有兩個(gè)正元素和兩個(gè)負(fù)元素，它的絕對(duì)元素個(gè)數(shù)是2+(－2)=0.

2 與原有空集存在公理的矛盾及解決策略

我們知道，空集的元素個(gè)數(shù)為零，即空集不含任何元素，并且空集是唯一的.例3與此產(chǎn)生了矛盾，因?yàn)锳是一個(gè)含有元素的空集，并且不唯一.為了解決這個(gè)矛盾下面給出一個(gè)新的空集存在公理.

空集存在公理存在元素個(gè)數(shù)為零的集合.符號(hào)化為(-B)(槇x)(y)(槇x∈B y∈B)，其中x，y為正元素.

下面我們重新定義空集.

定義4 把元素個(gè)數(shù)為零的集合叫做空集.

定義5 把不含任何元素的集合叫做純空集合，記為Φ.

顯然，空集不是唯一的.但是，純空集是唯一的.

3 應(yīng)用

在新公理體系下，重新給出集合間的加減法運(yùn)算法則和整數(shù)的定義.

3.1 集合間的加減法

定義6 A，B是集合，函數(shù)

則A+B={z|z=x∨z=y(x)(y)(x∈A∧y∈B∧φ(x，y))}，A+B讀作A加B.

這樣，我們就定義了集合之間的加法運(yùn)算，那么A－B就可以看作A+．把A－B讀作A減去B．這樣就定義了集合之間的減法．顯然，減法是加法的逆運(yùn)算．

3.2 定義整數(shù)

我們利用后續(xù)運(yùn)算定義自然數(shù)

0= Φ，1= Φ+=0+，2=1+= Φ++，3=2+= Φ+++，…

利用后續(xù)運(yùn)算結(jié)合負(fù)集公理來(lái)定義負(fù)整數(shù).

－1= Φ－，－2=－1－= Φ－－，－3=－2－= Φ－－－，…

…－3= Φ－－－，－2= Φ－－，－ 1= Φ－，0= Φ，1= Φ+，2= Φ++，3= Φ+++，…

定義7設(shè)集合A，若A滿足:(1)Φ∈A，Φ槇∈A，(2)如果a∈A，則a+∈A，則稱A為歸納集.

例如A={…Φ－－，Φ－，Φ，Φ+，Φ++，…}為歸納集，B={…b－－，b－，b，b+，b++，…}，當(dāng)b≠Φ或b≠Φ時(shí)不是歸納集，因?yàn)棣礏.

定義8 一個(gè)整數(shù)是屬于每一個(gè)歸納集的集合.

有了以上定義，我們可以將全體整數(shù)集合ω定義成:

x∈ωx是一個(gè)整數(shù)x屬于每一個(gè)歸納集。

引進(jìn)記號(hào)D={v|v是歸納集}，(D不是集合，而是真類)，進(jìn)行如下定義.

定義9 ω=∩D=∩{v|v是歸納集}.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，我們?cè)诩险摰腪F公理系統(tǒng)中添入了負(fù)集存在公理，又給出了新的空集存在公理，把原來(lái)的空集存在公理更名為純空集存在公理.這樣我們就得到了一個(gè)新的ZF公理系統(tǒng).在新公理體系下必然會(huì)產(chǎn)生新的性質(zhì)，在后續(xù)的論文中將繼續(xù)研究.

［1］耿素云，屈婉玲.集合論導(dǎo)引［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1990.

［2］P.W.齊納，R.L.約翰遜.集合論初步［M］.北京:科學(xué)出版社，1986.

［3］王子興.數(shù)學(xué)方法論——問(wèn)題解決的理論［M］.2版.長(zhǎng)沙:中南大學(xué)出版社，2002.