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        從一個(gè)案例看高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透

        2014-12-16 14:20:06
        企業(yè)導(dǎo)報(bào) 2014年22期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模高等數(shù)學(xué)滲透

        黃 剛

        摘? 要:教學(xué)需要不斷地改革,將數(shù)學(xué)建模的思想方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)之中,挖掘高等數(shù)學(xué)在建模方面的案例,通過(guò)案例教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。

        關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;案例;滲透

        一、數(shù)學(xué)建模思想方法

        采用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物就稱(chēng)之為數(shù)學(xué)模型。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述各種現(xiàn)象,會(huì)使所描述的實(shí)際現(xiàn)象更具有科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性。用抽象的數(shù)學(xué)模型替代實(shí)際物體的實(shí)驗(yàn),也是實(shí)際操作的理論模式替代。數(shù)學(xué)建模思想方法是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行抽象概括,用數(shù)學(xué)的方式反映或者近似地刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題,得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化描述。數(shù)學(xué)建模屬于應(yīng)用數(shù)學(xué),其過(guò)程是要將實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)分析、簡(jiǎn)化及轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,之后用數(shù)學(xué)的方法解決,或得到更多地結(jié)果,再經(jīng)過(guò)實(shí)際問(wèn)題的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段,它可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解實(shí)際材料、獲取有用信息、建立數(shù)學(xué)模型、得出數(shù)學(xué)結(jié)論、進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題的能力。高等數(shù)學(xué)課程中就有很多這類(lèi)好的案例,通過(guò)案例教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法。

        二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

        案例教學(xué)要經(jīng)過(guò)課前周密的策劃和準(zhǔn)備,通過(guò)分析、比較,研究各種各樣的成功的和失敗的管理經(jīng)驗(yàn),從中抽象出某些一般性的管理結(jié)論或管理原理來(lái)豐富自己的知識(shí)。用特定的案例并指導(dǎo)學(xué)生提前閱讀,組織學(xué)生開(kāi)展討論或爭(zhēng)論,形成反復(fù)的互動(dòng)與交流,案例教學(xué)一般要結(jié)合一定理論,通過(guò)各種信息、知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、觀點(diǎn)的碰撞來(lái)達(dá)到啟示理論和啟迪思維的目的。

        導(dǎo)數(shù)理論體系的建立及應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中很好的一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例。

        (一)導(dǎo)數(shù)的原型和概念。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一,它有其物理原型和數(shù)學(xué)原型,是通過(guò)解決物理的速度和加速度以及曲線切線的幾何問(wèn)題而抽象出來(lái)的,是特殊的極限,物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度是平均速度的極限V■=■V■=■■=■■,割線PQ的斜率k′的極限k就應(yīng)是曲線過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k=■■=■■,兩者的實(shí)際意義完全不同,從數(shù)學(xué)角度來(lái)看,它們數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同,都是函數(shù)增量與自變量增量比值■的極限(當(dāng)△x→0),是函數(shù)變化快慢程度的反映,其定義為:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)定義,且當(dāng)自變量x在x0取得增量△x時(shí)。若極限■■==■■存在,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)(或存在導(dǎo)數(shù)),稱(chēng)極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)(或微商),記為f′(x0)或????????????? 若極限■■==■■不存在,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

        (二)導(dǎo)數(shù)與微分的理論體系。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)構(gòu)造性的定義,它是連續(xù)的充分而不必要條件,由定義得到導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的法則、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),從而得到6個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),進(jìn)而解決了初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。以上理論主要用來(lái)討論函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的計(jì)算問(wèn)題。

        微分的理論有:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處可微,建立了函數(shù)改變量與導(dǎo)數(shù)(微分)的近似關(guān)系,微分的洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式,建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的公式關(guān)系,或是將函數(shù)近似表系數(shù)為各階導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式,借用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題。

        (三)導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決的問(wèn)題是廣泛的,基本應(yīng)用是解決函數(shù)曲線問(wèn)題,利用微分理論將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)給予解決,很多問(wèn)題只需用到一、二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)就能解決,導(dǎo)數(shù)不僅在數(shù)學(xué)上,而且在物理學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,也是開(kāi)展科學(xué)研究必不可少的工具。

        (四)案例教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的處理。教學(xué)中不僅要有過(guò)程的知識(shí)性教學(xué),從實(shí)例抽象出概念及理論體系的建立再到數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用,更要有建構(gòu)知識(shí)體系的數(shù)學(xué)思想方法提升,有意識(shí)有目的滲透數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和思想方法;教學(xué)中不僅是教師的系統(tǒng)講授和思想滲透,更要促使學(xué)生去領(lǐng)悟和掌握,有整體把握也有細(xì)微處理,學(xué)習(xí)和實(shí)踐,會(huì)應(yīng)用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

        高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提高教學(xué)質(zhì)量,更是促使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升,通過(guò)案例滲透數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模思想方法是一種有效的做法。

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