黃 剛

摘? 要：教學(xué)需要不斷地改革，將數(shù)學(xué)建模的思想方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)之中，挖掘高等數(shù)學(xué)在建模方面的案例，通過(guò)案例教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;案例;滲透

一、數(shù)學(xué)建模思想方法

采用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物就稱(chēng)之為數(shù)學(xué)模型。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述各種現(xiàn)象，會(huì)使所描述的實(shí)際現(xiàn)象更具有科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性。用抽象的數(shù)學(xué)模型替代實(shí)際物體的實(shí)驗(yàn)，也是實(shí)際操作的理論模式替代。數(shù)學(xué)建模思想方法是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)的方式反映或者近似地刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化描述。數(shù)學(xué)建模屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)，其過(guò)程是要將實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)分析、簡(jiǎn)化及轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，之后用數(shù)學(xué)的方法解決，或得到更多地結(jié)果，再經(jīng)過(guò)實(shí)際問(wèn)題的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段，它可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解實(shí)際材料、獲取有用信息、建立數(shù)學(xué)模型、得出數(shù)學(xué)結(jié)論、進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題的能力。高等數(shù)學(xué)課程中就有很多這類(lèi)好的案例，通過(guò)案例教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

案例教學(xué)要經(jīng)過(guò)課前周密的策劃和準(zhǔn)備，通過(guò)分析、比較，研究各種各樣的成功的和失敗的管理經(jīng)驗(yàn)，從中抽象出某些一般性的管理結(jié)論或管理原理來(lái)豐富自己的知識(shí)。用特定的案例并指導(dǎo)學(xué)生提前閱讀，組織學(xué)生開(kāi)展討論或爭(zhēng)論，形成反復(fù)的互動(dòng)與交流，案例教學(xué)一般要結(jié)合一定理論，通過(guò)各種信息、知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、觀點(diǎn)的碰撞來(lái)達(dá)到啟示理論和啟迪思維的目的。

導(dǎo)數(shù)理論體系的建立及應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中很好的一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例。

（一）導(dǎo)數(shù)的原型和概念。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它有其物理原型和數(shù)學(xué)原型，是通過(guò)解決物理的速度和加速度以及曲線切線的幾何問(wèn)題而抽象出來(lái)的，是特殊的極限，物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度是平均速度的極限V■=■V■=■■=■■，割線PQ的斜率k′的極限k就應(yīng)是曲線過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k=■■=■■，兩者的實(shí)際意義完全不同，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，它們數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同，都是函數(shù)增量與自變量增量比值■的極限（當(dāng)△x→0），是函數(shù)變化快慢程度的反映，其定義為：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)定義，且當(dāng)自變量x在x0取得增量△x時(shí)。若極限■■==■■存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），稱(chēng)極限值為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)（或微商），記為f′（x0）或????????????? 若極限■■==■■不存在，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)與微分的理論體系。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)構(gòu)造性的定義，它是連續(xù)的充分而不必要條件，由定義得到導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的法則、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到6個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決了初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。以上理論主要用來(lái)討論函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的計(jì)算問(wèn)題。

微分的理論有：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的充分必要條件是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處可微，建立了函數(shù)改變量與導(dǎo)數(shù)（微分）的近似關(guān)系，微分的洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式，建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的公式關(guān)系，或是將函數(shù)近似表系數(shù)為各階導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，借用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題。

（三）導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決的問(wèn)題是廣泛的，基本應(yīng)用是解決函數(shù)曲線問(wèn)題，利用微分理論將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)給予解決，很多問(wèn)題只需用到一、二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)就能解決，導(dǎo)數(shù)不僅在數(shù)學(xué)上，而且在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，也是開(kāi)展科學(xué)研究必不可少的工具。

（四）案例教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的處理。教學(xué)中不僅要有過(guò)程的知識(shí)性教學(xué)，從實(shí)例抽象出概念及理論體系的建立再到數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用，更要有建構(gòu)知識(shí)體系的數(shù)學(xué)思想方法提升，有意識(shí)有目的滲透數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和思想方法;教學(xué)中不僅是教師的系統(tǒng)講授和思想滲透，更要促使學(xué)生去領(lǐng)悟和掌握，有整體把握也有細(xì)微處理，學(xué)習(xí)和實(shí)踐，會(huì)應(yīng)用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提高教學(xué)質(zhì)量，更是促使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，通過(guò)案例滲透數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模思想方法是一種有效的做法。