何繼剛

【摘 要】“函數(shù)零點存在性定理”是函數(shù)的一個核心定理，它蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想和思維方式，揭示了函數(shù)與方程的基本關(guān)系和轉(zhuǎn)化的路徑，是進(jìn)一步研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)，是判定函數(shù)零點、溝通方程與函數(shù)的重要工具。因此，對該定理的理解和應(yīng)用的教學(xué)過程，不應(yīng)是知識積累的線性過程，而應(yīng)是數(shù)學(xué)思維方式和能力的“孕育”過程。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)零點 存在性

數(shù)學(xué)理解有三種方式，即記憶性理解、解釋性理解和探究性理解。其中，記憶性理解的教學(xué)只要求學(xué)生記住事實材料，通過機(jī)械記憶、模仿與簡單套用，反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生的記憶能力。解釋性理解的教學(xué)通過教師對原理、理論的系統(tǒng)講解發(fā)展學(xué)生的理解能力，但學(xué)生得到的仍是教師傳授的內(nèi)容，而不是學(xué)生自己的領(lǐng)悟。探究性理解的教學(xué)則是以問題為中心，引起學(xué)生對重要問題產(chǎn)生困惑，通過對話和交流引導(dǎo)學(xué)生獨立探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)知識的意義。

“函數(shù)零點存在性定理”是“函數(shù)與方程”單元的核心定理，該定理的教學(xué)常采用基于記憶性理解、解釋性理解的方式教學(xué)，這樣的教學(xué)缺乏對定理條件的賞析，顯得對該定理的教育價值挖掘不夠。筆者嘗試綜合運(yùn)用三種數(shù)學(xué)理解，力求讓學(xué)生達(dá)到探究性理解的水準(zhǔn)。

一、資源分析

1.教學(xué)目標(biāo)。

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)審視定理條件的科學(xué)方法。使學(xué)生理解函數(shù)零點的概念，能結(jié)合具體問題，理解方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與軸的交點三者之間的關(guān)系。從而讓學(xué)生初步應(yīng)用函數(shù)零點存在性定理，解決方程根的存在性問題，悟出求近似解的方法。

2.教學(xué)重點。

了解函數(shù)零點的概念，通過函數(shù)圖象直觀感知函數(shù)零點存在性定理，初步了解應(yīng)用定理估算方程根的范圍的方法。

3.教學(xué)難點。

對函數(shù)零點存在性定理的條件的探究性理解和定理的應(yīng)用。

二、教學(xué)過程

1.通過展示與追問，引導(dǎo)學(xué)生深度參與探究性學(xué)習(xí)定理的過程。

為了探究性理解函數(shù)零點存在性定理，筆者安排了如下例題，讓學(xué)生板演展示，引發(fā)追問和思考。

判斷函數(shù)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間（2，3）上是否存在零點。

設(shè)計意圖：通過對以上問題的探討，生成“函數(shù)零點存在性定理”的表象，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生尋找判定零點存在的動機(jī)，將函數(shù)零點存在的條件顯性化。

方法一：由x2-2x-1=0

得x1=1+■，x2=1-■，

∵2<1+■<3

∴函數(shù)f（x）=x2-2x-1在（2，3）上有零點。

方法二：∵f（2）=4-4-1=-1<0，f（3）=9-6-1=2>0

又∵y=f（x）在（2，3）上的圖象為不間斷的曲線。

∴y=f（x）在（2，3）上存在零點。

師：這兩種解法各有特色，方法一基于方程的求解運(yùn)算，方法二基于函數(shù)思想，試問哪種方法更值得推廣？

生：許多方程難解，因此方法二值得推廣。

師：能否從上述方法二的思想中抽象出一般結(jié)論呢？

順理成章，引出如下問題。

函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）上是否一定存在零點？請舉例說明。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過舉反例，說明以上條件還不能確定函數(shù)y=f（x）在（a，b）上一定存在零點。

面對問題，很快就有學(xué)生舉出反例。

生：f（x）=■在區(qū)間（-1，1）上有f（-1）·f（1）<0，但是f（x）=0在（-1，1）上沒有實數(shù)根。

師：如何彌補(bǔ)條件的不足？

生：只要函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的圖象連續(xù)不斷就可以了。

于是，題目可以往更深層次地進(jìn)行派生。

函數(shù)y=f（x）在（a，b）上有f（a）·f（b）<0，且在（a，b）上的圖象不間斷，問y=f（x）在（a，b）上一定有零點嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生舉反例，說明以上條件還不能確定函數(shù)y=f（x）在（a，b）上一定存在零點。

面對這一問題，學(xué)生很難找到思維的切入點，根據(jù)提示，學(xué)生很快對區(qū)間（a，b）產(chǎn)生了質(zhì)疑，但區(qū)間對結(jié)論會產(chǎn)生什么影響呢？

師：是否存在函數(shù)y=f（x）在[a，b]上有f（a）·f（b）<0且在（a，b）上的圖象不間斷，但y=f（x）在（a，b）上沒有零點呢？

請一名認(rèn)為“確定存在”的學(xué)生在黑板上作出圖示，如圖。

師：不難發(fā)現(xiàn)，圖中的函數(shù)在[a，b]上的圖象是間斷的，而在（a，b）上不間斷，它導(dǎo)致函數(shù)y=f（x）在（a，b）上沒有零點。為了深化理解，師生互動又構(gòu)造了如下圖所示的反例。

至此，該設(shè)計成功引導(dǎo)學(xué)生歸納出了如下“函數(shù)零點存在性定理”：

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點。

針對函數(shù)y=f（x）在（a，b）上零點的個數(shù)，可將題目繼續(xù)派生。

函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的曲線不間斷，且f（a）·f（b）<0，問y=f（x）在（a，b）上是否有且只有一個零點？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過作圖舉例進(jìn)行探究性理解，感知零點個數(shù)的不確定性。

經(jīng)過師生互動，作出如圖所示的有5個零點和有無數(shù)個零點（圖象含有一線段在軸上）的實例。

問：在什么條件下，函數(shù)y=f（x）在（a，b）上有且只有一個零點？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)y=f（x）在（a，b）上有且只有一個零點的條件進(jìn)行探究性理解。

基于以上的探究性理解，學(xué)生很快得到如下結(jié)論：

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，其圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上有且只有一個零點。

2.通過問題解決，引導(dǎo)學(xué)生深度感知定理的應(yīng)用。

問題解決是基于探究性理解的教學(xué)的深化點，它能使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，實現(xiàn)知識和方法的有效遷移。為此，本課安排如下的練習(xí)。

函數(shù)f（x）=lg x-3+x的零點有幾個？它所在大致區(qū)間是什么？

設(shè)f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有幾個解■函數(shù)f（x）=lg x-3+x有幾個零點。

至此，將學(xué)生帶入應(yīng)用“函數(shù)零點存在性定理”解決問題的深度思考狀態(tài)，這讓學(xué)生經(jīng)歷了“提出問題——分析問題——尋求理論依據(jù)——問題解決”的認(rèn)知過程。

在經(jīng)歷了探究性教學(xué)、解釋性教學(xué)后，我引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，將預(yù)設(shè)與生成進(jìn)行有機(jī)整合，發(fā)展學(xué)生調(diào)控自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的反思能力。本課捕捉了如下反思點，進(jìn)行解釋性和記憶性的教學(xué)。

（1）知識與技能：①函數(shù)零點的概念；②函數(shù)零點的存在性定理。

（2）數(shù)學(xué)思想：①函數(shù)與方程的思想；②數(shù)形結(jié)合思想；③轉(zhuǎn)化思想；④構(gòu)造的思想。

（3）幾個典型反例。

3.通過“做”與“診”，引導(dǎo)學(xué)生深度診斷對定理的理解。

“做”與“診”是相輔相成的，這兩個環(huán)節(jié)要完成兩項任務(wù)。其一，通過鞏固性作業(yè)，診斷和拓展對“函數(shù)零點存在性定理”的理解；其二，完成預(yù)習(xí)性作業(yè)，目的是為了下一課深入學(xué)習(xí)“函數(shù)零點存在性定理”的應(yīng)用。

三、教學(xué)反思

1.用問題鏈深度引領(lǐng)學(xué)生開展對定理條件的理解性活動。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)活動的過程，是數(shù)學(xué)思維活動的過程。讓學(xué)生動起來是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維活動的關(guān)鍵，而學(xué)生活動的驅(qū)動力來源于問題。因此，設(shè)計有思維價值的問題鏈來深度引領(lǐng)學(xué)生開展對定理條件的理解性活動，是實施探究性理解教學(xué)的關(guān)鍵。

2.用問題鏈構(gòu)建基于探究性理解的教學(xué)。

用問題鏈構(gòu)建基于探究性理解的教學(xué)，促進(jìn)知識有效生成。

（1）“導(dǎo)與學(xué)”中設(shè)計問題鏈的目的是深度引領(lǐng)，是為了激發(fā)學(xué)生探求“函數(shù)零點存在性定理”的欲望，讓學(xué)生對這些問題進(jìn)行討論，參與尋找存在函數(shù)零點條件的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像，直觀感知、理性思考零點存在的條件，由此形成對定理的理解性活動，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)審視定理的方法、教師進(jìn)行深度教學(xué)創(chuàng)造條件。

（2）“展與評”過程是引導(dǎo)學(xué)生深度參與問題探究的過程，通過舉反例，學(xué)生能直觀感知定理條件，學(xué)會一種學(xué)習(xí)定理的套路，體會函數(shù)“集形與數(shù)于一身”的特征的理論根源，這一互動過程使學(xué)習(xí)重點得到深化，形成互動式的多維度的深度學(xué)習(xí)過程。

（3）“練與思”是引導(dǎo)學(xué)生深度思考定理條件的過程，它是預(yù)設(shè)與生成結(jié)合的過程，借助這一過程可以展示一個應(yīng)用定理，使學(xué)生學(xué)會函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生認(rèn)識到“函數(shù)零點存在性定理”是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，具有溝通函數(shù)與方程的作用。

（4）“做與診”的過程是深度拓展的過程，是課后練習(xí)鞏固的過程，這一過程使學(xué)生對“函數(shù)零點存在性定理”的理解得到深化，使學(xué)生在定理應(yīng)用中產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)的愿望。

【參考文獻(xiàn)】

徐彥輝，數(shù)學(xué)理解三種方式及其課堂教學(xué)特征[J].中國教育學(xué)刊，2012（1）.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)）

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，其圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上有且只有一個零點。

2.通過問題解決，引導(dǎo)學(xué)生深度感知定理的應(yīng)用。

問題解決是基于探究性理解的教學(xué)的深化點，它能使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，實現(xiàn)知識和方法的有效遷移。為此，本課安排如下的練習(xí)。

函數(shù)f（x）=lg x-3+x的零點有幾個？它所在大致區(qū)間是什么？

設(shè)f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有幾個解■函數(shù)f（x）=lg x-3+x有幾個零點。

至此，將學(xué)生帶入應(yīng)用“函數(shù)零點存在性定理”解決問題的深度思考狀態(tài)，這讓學(xué)生經(jīng)歷了“提出問題——分析問題——尋求理論依據(jù)——問題解決”的認(rèn)知過程。

在經(jīng)歷了探究性教學(xué)、解釋性教學(xué)后，我引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，將預(yù)設(shè)與生成進(jìn)行有機(jī)整合，發(fā)展學(xué)生調(diào)控自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的反思能力。本課捕捉了如下反思點，進(jìn)行解釋性和記憶性的教學(xué)。

（1）知識與技能：①函數(shù)零點的概念；②函數(shù)零點的存在性定理。

（2）數(shù)學(xué)思想：①函數(shù)與方程的思想；②數(shù)形結(jié)合思想；③轉(zhuǎn)化思想；④構(gòu)造的思想。

（3）幾個典型反例。

3.通過“做”與“診”，引導(dǎo)學(xué)生深度診斷對定理的理解。

“做”與“診”是相輔相成的，這兩個環(huán)節(jié)要完成兩項任務(wù)。其一，通過鞏固性作業(yè)，診斷和拓展對“函數(shù)零點存在性定理”的理解；其二，完成預(yù)習(xí)性作業(yè)，目的是為了下一課深入學(xué)習(xí)“函數(shù)零點存在性定理”的應(yīng)用。

三、教學(xué)反思

1.用問題鏈深度引領(lǐng)學(xué)生開展對定理條件的理解性活動。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)活動的過程，是數(shù)學(xué)思維活動的過程。讓學(xué)生動起來是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維活動的關(guān)鍵，而學(xué)生活動的驅(qū)動力來源于問題。因此，設(shè)計有思維價值的問題鏈來深度引領(lǐng)學(xué)生開展對定理條件的理解性活動，是實施探究性理解教學(xué)的關(guān)鍵。

2.用問題鏈構(gòu)建基于探究性理解的教學(xué)。

用問題鏈構(gòu)建基于探究性理解的教學(xué)，促進(jìn)知識有效生成。

（1）“導(dǎo)與學(xué)”中設(shè)計問題鏈的目的是深度引領(lǐng)，是為了激發(fā)學(xué)生探求“函數(shù)零點存在性定理”的欲望，讓學(xué)生對這些問題進(jìn)行討論，參與尋找存在函數(shù)零點條件的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像，直觀感知、理性思考零點存在的條件，由此形成對定理的理解性活動，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)審視定理的方法、教師進(jìn)行深度教學(xué)創(chuàng)造條件。

（2）“展與評”過程是引導(dǎo)學(xué)生深度參與問題探究的過程，通過舉反例，學(xué)生能直觀感知定理條件，學(xué)會一種學(xué)習(xí)定理的套路，體會函數(shù)“集形與數(shù)于一身”的特征的理論根源，這一互動過程使學(xué)習(xí)重點得到深化，形成互動式的多維度的深度學(xué)習(xí)過程。

（3）“練與思”是引導(dǎo)學(xué)生深度思考定理條件的過程，它是預(yù)設(shè)與生成結(jié)合的過程，借助這一過程可以展示一個應(yīng)用定理，使學(xué)生學(xué)會函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生認(rèn)識到“函數(shù)零點存在性定理”是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，具有溝通函數(shù)與方程的作用。

（4）“做與診”的過程是深度拓展的過程，是課后練習(xí)鞏固的過程，這一過程使學(xué)生對“函數(shù)零點存在性定理”的理解得到深化，使學(xué)生在定理應(yīng)用中產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)的愿望。

【參考文獻(xiàn)】

徐彥輝，數(shù)學(xué)理解三種方式及其課堂教學(xué)特征[J].中國教育學(xué)刊，2012（1）.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)）

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，其圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上有且只有一個零點。

2.通過問題解決，引導(dǎo)學(xué)生深度感知定理的應(yīng)用。

問題解決是基于探究性理解的教學(xué)的深化點，它能使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，實現(xiàn)知識和方法的有效遷移。為此，本課安排如下的練習(xí)。

函數(shù)f（x）=lg x-3+x的零點有幾個？它所在大致區(qū)間是什么？

設(shè)f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有幾個解■函數(shù)f（x）=lg x-3+x有幾個零點。

至此，將學(xué)生帶入應(yīng)用“函數(shù)零點存在性定理”解決問題的深度思考狀態(tài)，這讓學(xué)生經(jīng)歷了“提出問題——分析問題——尋求理論依據(jù)——問題解決”的認(rèn)知過程。

在經(jīng)歷了探究性教學(xué)、解釋性教學(xué)后，我引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，將預(yù)設(shè)與生成進(jìn)行有機(jī)整合，發(fā)展學(xué)生調(diào)控自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的反思能力。本課捕捉了如下反思點，進(jìn)行解釋性和記憶性的教學(xué)。

（1）知識與技能：①函數(shù)零點的概念；②函數(shù)零點的存在性定理。

（2）數(shù)學(xué)思想：①函數(shù)與方程的思想；②數(shù)形結(jié)合思想；③轉(zhuǎn)化思想；④構(gòu)造的思想。

（3）幾個典型反例。

3.通過“做”與“診”，引導(dǎo)學(xué)生深度診斷對定理的理解。

“做”與“診”是相輔相成的，這兩個環(huán)節(jié)要完成兩項任務(wù)。其一，通過鞏固性作業(yè)，診斷和拓展對“函數(shù)零點存在性定理”的理解；其二，完成預(yù)習(xí)性作業(yè)，目的是為了下一課深入學(xué)習(xí)“函數(shù)零點存在性定理”的應(yīng)用。

三、教學(xué)反思

1.用問題鏈深度引領(lǐng)學(xué)生開展對定理條件的理解性活動。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)活動的過程，是數(shù)學(xué)思維活動的過程。讓學(xué)生動起來是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維活動的關(guān)鍵，而學(xué)生活動的驅(qū)動力來源于問題。因此，設(shè)計有思維價值的問題鏈來深度引領(lǐng)學(xué)生開展對定理條件的理解性活動，是實施探究性理解教學(xué)的關(guān)鍵。

2.用問題鏈構(gòu)建基于探究性理解的教學(xué)。

用問題鏈構(gòu)建基于探究性理解的教學(xué)，促進(jìn)知識有效生成。

（1）“導(dǎo)與學(xué)”中設(shè)計問題鏈的目的是深度引領(lǐng)，是為了激發(fā)學(xué)生探求“函數(shù)零點存在性定理”的欲望，讓學(xué)生對這些問題進(jìn)行討論，參與尋找存在函數(shù)零點條件的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像，直觀感知、理性思考零點存在的條件，由此形成對定理的理解性活動，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)審視定理的方法、教師進(jìn)行深度教學(xué)創(chuàng)造條件。

（2）“展與評”過程是引導(dǎo)學(xué)生深度參與問題探究的過程，通過舉反例，學(xué)生能直觀感知定理條件，學(xué)會一種學(xué)習(xí)定理的套路，體會函數(shù)“集形與數(shù)于一身”的特征的理論根源，這一互動過程使學(xué)習(xí)重點得到深化，形成互動式的多維度的深度學(xué)習(xí)過程。

（3）“練與思”是引導(dǎo)學(xué)生深度思考定理條件的過程，它是預(yù)設(shè)與生成結(jié)合的過程，借助這一過程可以展示一個應(yīng)用定理，使學(xué)生學(xué)會函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生認(rèn)識到“函數(shù)零點存在性定理”是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，具有溝通函數(shù)與方程的作用。

（4）“做與診”的過程是深度拓展的過程，是課后練習(xí)鞏固的過程，這一過程使學(xué)生對“函數(shù)零點存在性定理”的理解得到深化，使學(xué)生在定理應(yīng)用中產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)的愿望。

【參考文獻(xiàn)】

徐彥輝，數(shù)學(xué)理解三種方式及其課堂教學(xué)特征[J].中國教育學(xué)刊，2012（1）.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)）