席國金

摘 要： 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的套路一般如下：知識梳理—基礎(chǔ)自測—典型例題—變式訓(xùn)練——課堂小結(jié)。通過對“知識梳理”這個環(huán)節(jié)的教學(xué)方式的嘗試，作者認(rèn)為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點(diǎn)的特點(diǎn)，尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數(shù)學(xué)整體的高度，引領(lǐng)學(xué)生對主干、核心知識進(jìn)行梳理整合、歸納總結(jié)、挖掘拓展，這樣才能保持教學(xué)持久的新鮮感和學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞： 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課 知識梳理 核心知識 問題

引言

近幾年，我一直在高三教學(xué)，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的套路一般如下：知識梳理—基礎(chǔ)自測—典型例題—變式訓(xùn)練—課堂小結(jié)。有個問題一直困惑著我，那就是如何更有效地開展“知識梳理”這個環(huán)節(jié)？以前大多數(shù)老師在黑板上羅列知識點(diǎn)、知識結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)在有些教輔資料編寫以填空的形式進(jìn)行知識梳理，可以省去在黑板上板書的時間。我一直在思考這些問題，這樣進(jìn)行知識梳理學(xué)生需要嗎？對學(xué)生解題有幫助嗎？為此，我在學(xué)生中做了個簡單的問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生認(rèn)為需要進(jìn)行知識梳理，但老師的梳理方式對他們來講就像放了一場電影，沒留下太深的印象，在解題中似乎沒起到多少作用。由此可見“知識梳理”這環(huán)節(jié)非常重要，但如何提高它的有效性呢？我在實(shí)際教學(xué)做了嘗試，現(xiàn)與同行分享。

1.以問題為中心，在探究中加深對知識的理解

在高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，有不少核心概念復(fù)習(xí)課。教師如果對核心概念的教學(xué)理解不深，就很難對內(nèi)容進(jìn)行解析，學(xué)生如果未能真正理解概念、掌握公式，當(dāng)他獨(dú)自面對問題時，常常不知道何時用、如何用此概念，從而影響學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。我對于核心概念課做了這樣的嘗試：提出一個簡單的問題，解答后讓學(xué)生反思這個問題，在學(xué)生的反思中尋找知識點(diǎn)，形成知識結(jié)構(gòu)，并在學(xué)生的反思中提煉思想方法。這樣做能有效避免教師枯燥地復(fù)述概念，當(dāng)然，最關(guān)鍵是如何設(shè)置一個既能復(fù)習(xí)知識點(diǎn)又能緊扣本節(jié)課中心的問題。

案例1：向量的數(shù)量積

問題1：已知向量■與向量■的夾角為θ，分別在下列條件下求■·■

（1）θ=135°？搖？搖（2）■∥■？搖？搖（3）■⊥■

這是書上的一道例題，用它作為問題1有以下意圖：

1.多角度認(rèn)識公式，引導(dǎo)學(xué)生對概念本質(zhì)的理解；

2.從公式角度看，向量的數(shù)量積是實(shí)現(xiàn)由向量到數(shù)量的重要工具；

3.全面理解兩向量夾角的范圍。

問題2：已知向量■=（1，2），■=（2，-1）

（1）求|■+■|和|■-■|

（2）k為何值時，向量k■-■與向量■+■垂直？

（3）k為何值時，向量k■-■與向量■+■平行？

（4）k為何值時，向量k■-■與向量■+■夾角為60°？

（5）k為何值時，向量k■-■與向量■+■夾角為鈍角？

這是由書上的一道習(xí)題改編的，主要用來讓學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)量積的向量公式與坐標(biāo)形式，進(jìn)行向量的模的求解，垂直、平行位置關(guān)系的判斷，夾角公式的應(yīng)用。其中（4）（5）兩問是難點(diǎn)，如何攻克，不是以老師灌的方式實(shí)現(xiàn)的，而是學(xué)生板演—發(fā)現(xiàn)漏洞—共同探討—問題解決這樣一個流程，大大提高了學(xué)生課堂參與度，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、表達(dá)能力和思維能力。

在一輪復(fù)習(xí)中，我們可以充分利用課本的例題和習(xí)題對概念充分挖掘，使學(xué)生由“懂”到“會”，由“會”到“熟”，由“熟”到“活”。如果公式認(rèn)識不到位，學(xué)生就用不到位。

2.在概念易混易錯處有效變式，加深對知識的理解

對于有些難以理解、易混易出錯的概念，不能就概念講概念，要針對概念的內(nèi)涵與外延設(shè)計辨析型問題，通過對這些問題的討論與解決，達(dá)到明確概念本質(zhì)、深化概念理解的目的。有一次，我復(fù)習(xí)完映射的概念，強(qiáng)調(diào)了“任一性”與“唯一性”，并讓學(xué)生分析了映射與函數(shù)的異同點(diǎn)。我自以為講得很深刻，后來我在書本課后習(xí)題中找了一道題目來練手，才發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這個概念理解的根本不透徹。我思考了很久，決定設(shè)計兩個問題，通過變式訓(xùn)練再一次強(qiáng)化映射的概念。

案例2：映射的概念

問題1：若A={a，b}，B={1，2}，

則（1）A到B的映射可能有多少種？

（2）A到B的一一映射可能有多少種？

由問題1引導(dǎo)歸納：對于映射，A中無閑元，B中允許有閑元；可以“一對一”“多對一”，但不可“一對多”。

問題2：若B={-1，3，5}，試找出一個集合A，使得f：x→2x-1是

（1）A到B的映射。（這就是我讓學(xué)生做的書本上的一道課后習(xí)題，當(dāng)時所有的學(xué)生答案都是一樣的，即A={0，2，3}，后來在師生的探討下，得出本題有七個不同的答案。）

（2）B到A的映射。

變式1：已知f：A→B，f：x→2x-1，B={-1，3，5}，按照該映射，寫出一個以x為自變量，B為值域的函數(shù)是？搖？搖？搖？搖？搖。

變式2：已知f：A→B，f：x→2x-1，B={-1，3，5}，按照該映射，寫出一個以x為自變量的函數(shù)是？搖？搖？搖？搖？搖。

通過這件事，我意識到要引導(dǎo)學(xué)生注意概念的關(guān)鍵點(diǎn)，辨析易混淆的知識點(diǎn)，老師要動腦圍繞重點(diǎn)設(shè)計變式題，幫助學(xué)生深刻理解概念。

3.利用結(jié)構(gòu)相似構(gòu)造類比，加深對概念、性質(zhì)、公式的理解

類比思想是指根據(jù)兩個對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們在其他方面可能相似或相同的思想。等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩種最常見的而又是最基本的重要數(shù)列，教學(xué)中若能根據(jù)它們的異同點(diǎn)，抓住基本特征運(yùn)用類比思想去處理，則十分有益。

案例3：根據(jù)等差數(shù)列的定義易得到等差數(shù)列有如下性質(zhì)：

（1）a■+a■=a■+a■=a■+a■=…endprint

（2）a■=a■+（n-m）d

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■+a■=a■+a■

（4）若等差數(shù)列共有3n項，且前n項和為A，次n項和為B，末n項和為C，則A+C=2B，即A、B、C成等差數(shù)列。

在等比數(shù)列的性質(zhì)復(fù)習(xí)中，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主利用等比數(shù)列定義及等差數(shù)列的區(qū)別，運(yùn)用類比思想不難得出等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì)：

（1）a■a■=a■a■=a■a■…

（2）a■=a■q■

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■a■=a■a■

（4）若等比數(shù)列共有3n項，且前n項積為A，次n項積為B，末n項積為C，則AC=B■，即A、B、C成等比數(shù)列。

通過類比教學(xué)，學(xué)生在思維得到訓(xùn)練的同時，也品嘗到了發(fā)現(xiàn)知識的樂趣，并且知識得到了牢固記憶和掌握。在高中數(shù)學(xué)中，可以應(yīng)用這樣的類比思想進(jìn)行教學(xué)的知識點(diǎn)比較多，如指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、橢圓雙與曲線等。

4.充分利用學(xué)案，盤點(diǎn)瑣碎知識點(diǎn)

對于較瑣碎的知識點(diǎn)，可以以填空題的形式給出，穿插小題練習(xí)。我們可以利用學(xué)案的形式，梳理知識要點(diǎn)，配上一些填空，量稍微多一些，內(nèi)容簡單一些，幫助學(xué)生進(jìn)行課本復(fù)習(xí)是一種很有效的方法。但是知識梳理不能長篇大論，要小巧精干，一節(jié)課有一節(jié)課重點(diǎn)掌握的知識點(diǎn)，本節(jié)課沒涉及的知識點(diǎn)不編入知識梳理，因為知識梳理太長的話學(xué)生會有厭煩心理，那么歸納得再詳細(xì)也都成了一紙空文，沒有任何意義。如復(fù)習(xí)平面向量的概念這部分時，向量的定義、表示、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等內(nèi)容較碎，可逐一用小題鞏固每個概念，讓學(xué)生先激活這部分的記憶，再通過一些典型例題深化對每個知識點(diǎn)的理解，達(dá)到強(qiáng)化鞏固的目的。

5.上好章節(jié)復(fù)習(xí)課，闡明知識系統(tǒng)，掌握內(nèi)在聯(lián)系

以前老師喜歡在一章節(jié)的起始課就把本章的知識結(jié)構(gòu)告知學(xué)生，使學(xué)生對接下來要學(xué)習(xí)的東西做到心中有數(shù)?，F(xiàn)在我在每個章節(jié)結(jié)束時，要求學(xué)生再看一遍課本，對基礎(chǔ)知識、基本技能進(jìn)行梳理，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，使之達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、完整化，然后在課堂上交流，分析哪些是本章必須掌握的知識要點(diǎn)和重點(diǎn)，對涉及的公式、定理的來龍去脈，對知識要點(diǎn)的內(nèi)涵和外延的理解由學(xué)生互相探討，并且交流為落實(shí)知識要點(diǎn)的精選例題，然后由老師加以點(diǎn)評補(bǔ)充。只有這樣，學(xué)生對概念和定理的理解才是深刻的、全面的，記憶才是鮮明的、牢固的，應(yīng)用起來才是靈活的、廣泛的。

結(jié)語

如今的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，老師們非常重視解題教學(xué)，對這方面的研究比較深刻，而對于知識梳理方式?jīng)]有做過多的研究。通常對知識進(jìn)行表象化，回憶性地解讀幾點(diǎn)，淺層次、再現(xiàn)式地歸納幾條，讓學(xué)生記住。這種教學(xué)方法使學(xué)生的記憶力發(fā)揮到了極致，但很難讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生激情和熱情。這幾年我一直教學(xué)高三，通過對“知識梳理”這個環(huán)節(jié)的教學(xué)方式的嘗試，認(rèn)為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點(diǎn)的特點(diǎn)尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數(shù)學(xué)整體的高度引領(lǐng)學(xué)生對主干、核心知識進(jìn)行梳理整合、歸納總結(jié)、挖掘拓展，這樣才能保持教學(xué)持久的新鮮感和學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉海珍.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)，讓經(jīng)典課堂釋放無窮魅力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，7.

[2]羅增儒.高考復(fù)習(xí)20問.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，5.endprint

（2）a■=a■+（n-m）d

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■+a■=a■+a■

（4）若等差數(shù)列共有3n項，且前n項和為A，次n項和為B，末n項和為C，則A+C=2B，即A、B、C成等差數(shù)列。

在等比數(shù)列的性質(zhì)復(fù)習(xí)中，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主利用等比數(shù)列定義及等差數(shù)列的區(qū)別，運(yùn)用類比思想不難得出等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì)：

（1）a■a■=a■a■=a■a■…

（2）a■=a■q■

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■a■=a■a■

（4）若等比數(shù)列共有3n項，且前n項積為A，次n項積為B，末n項積為C，則AC=B■，即A、B、C成等比數(shù)列。

通過類比教學(xué)，學(xué)生在思維得到訓(xùn)練的同時，也品嘗到了發(fā)現(xiàn)知識的樂趣，并且知識得到了牢固記憶和掌握。在高中數(shù)學(xué)中，可以應(yīng)用這樣的類比思想進(jìn)行教學(xué)的知識點(diǎn)比較多，如指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、橢圓雙與曲線等。

4.充分利用學(xué)案，盤點(diǎn)瑣碎知識點(diǎn)

對于較瑣碎的知識點(diǎn)，可以以填空題的形式給出，穿插小題練習(xí)。我們可以利用學(xué)案的形式，梳理知識要點(diǎn)，配上一些填空，量稍微多一些，內(nèi)容簡單一些，幫助學(xué)生進(jìn)行課本復(fù)習(xí)是一種很有效的方法。但是知識梳理不能長篇大論，要小巧精干，一節(jié)課有一節(jié)課重點(diǎn)掌握的知識點(diǎn)，本節(jié)課沒涉及的知識點(diǎn)不編入知識梳理，因為知識梳理太長的話學(xué)生會有厭煩心理，那么歸納得再詳細(xì)也都成了一紙空文，沒有任何意義。如復(fù)習(xí)平面向量的概念這部分時，向量的定義、表示、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等內(nèi)容較碎，可逐一用小題鞏固每個概念，讓學(xué)生先激活這部分的記憶，再通過一些典型例題深化對每個知識點(diǎn)的理解，達(dá)到強(qiáng)化鞏固的目的。

5.上好章節(jié)復(fù)習(xí)課，闡明知識系統(tǒng)，掌握內(nèi)在聯(lián)系

以前老師喜歡在一章節(jié)的起始課就把本章的知識結(jié)構(gòu)告知學(xué)生，使學(xué)生對接下來要學(xué)習(xí)的東西做到心中有數(shù)?，F(xiàn)在我在每個章節(jié)結(jié)束時，要求學(xué)生再看一遍課本，對基礎(chǔ)知識、基本技能進(jìn)行梳理，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，使之達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、完整化，然后在課堂上交流，分析哪些是本章必須掌握的知識要點(diǎn)和重點(diǎn)，對涉及的公式、定理的來龍去脈，對知識要點(diǎn)的內(nèi)涵和外延的理解由學(xué)生互相探討，并且交流為落實(shí)知識要點(diǎn)的精選例題，然后由老師加以點(diǎn)評補(bǔ)充。只有這樣，學(xué)生對概念和定理的理解才是深刻的、全面的，記憶才是鮮明的、牢固的，應(yīng)用起來才是靈活的、廣泛的。

結(jié)語

如今的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，老師們非常重視解題教學(xué)，對這方面的研究比較深刻，而對于知識梳理方式?jīng)]有做過多的研究。通常對知識進(jìn)行表象化，回憶性地解讀幾點(diǎn)，淺層次、再現(xiàn)式地歸納幾條，讓學(xué)生記住。這種教學(xué)方法使學(xué)生的記憶力發(fā)揮到了極致，但很難讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生激情和熱情。這幾年我一直教學(xué)高三，通過對“知識梳理”這個環(huán)節(jié)的教學(xué)方式的嘗試，認(rèn)為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點(diǎn)的特點(diǎn)尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數(shù)學(xué)整體的高度引領(lǐng)學(xué)生對主干、核心知識進(jìn)行梳理整合、歸納總結(jié)、挖掘拓展，這樣才能保持教學(xué)持久的新鮮感和學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉海珍.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)，讓經(jīng)典課堂釋放無窮魅力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，7.

[2]羅增儒.高考復(fù)習(xí)20問.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，5.endprint

（2）a■=a■+（n-m）d

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■+a■=a■+a■

（4）若等差數(shù)列共有3n項，且前n項和為A，次n項和為B，末n項和為C，則A+C=2B，即A、B、C成等差數(shù)列。

在等比數(shù)列的性質(zhì)復(fù)習(xí)中，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主利用等比數(shù)列定義及等差數(shù)列的區(qū)別，運(yùn)用類比思想不難得出等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì)：

（1）a■a■=a■a■=a■a■…

（2）a■=a■q■

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■a■=a■a■

（4）若等比數(shù)列共有3n項，且前n項積為A，次n項積為B，末n項積為C，則AC=B■，即A、B、C成等比數(shù)列。

通過類比教學(xué)，學(xué)生在思維得到訓(xùn)練的同時，也品嘗到了發(fā)現(xiàn)知識的樂趣，并且知識得到了牢固記憶和掌握。在高中數(shù)學(xué)中，可以應(yīng)用這樣的類比思想進(jìn)行教學(xué)的知識點(diǎn)比較多，如指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、橢圓雙與曲線等。

4.充分利用學(xué)案，盤點(diǎn)瑣碎知識點(diǎn)

對于較瑣碎的知識點(diǎn)，可以以填空題的形式給出，穿插小題練習(xí)。我們可以利用學(xué)案的形式，梳理知識要點(diǎn)，配上一些填空，量稍微多一些，內(nèi)容簡單一些，幫助學(xué)生進(jìn)行課本復(fù)習(xí)是一種很有效的方法。但是知識梳理不能長篇大論，要小巧精干，一節(jié)課有一節(jié)課重點(diǎn)掌握的知識點(diǎn)，本節(jié)課沒涉及的知識點(diǎn)不編入知識梳理，因為知識梳理太長的話學(xué)生會有厭煩心理，那么歸納得再詳細(xì)也都成了一紙空文，沒有任何意義。如復(fù)習(xí)平面向量的概念這部分時，向量的定義、表示、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等內(nèi)容較碎，可逐一用小題鞏固每個概念，讓學(xué)生先激活這部分的記憶，再通過一些典型例題深化對每個知識點(diǎn)的理解，達(dá)到強(qiáng)化鞏固的目的。

5.上好章節(jié)復(fù)習(xí)課，闡明知識系統(tǒng)，掌握內(nèi)在聯(lián)系

以前老師喜歡在一章節(jié)的起始課就把本章的知識結(jié)構(gòu)告知學(xué)生，使學(xué)生對接下來要學(xué)習(xí)的東西做到心中有數(shù)。現(xiàn)在我在每個章節(jié)結(jié)束時，要求學(xué)生再看一遍課本，對基礎(chǔ)知識、基本技能進(jìn)行梳理，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，使之達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、完整化，然后在課堂上交流，分析哪些是本章必須掌握的知識要點(diǎn)和重點(diǎn)，對涉及的公式、定理的來龍去脈，對知識要點(diǎn)的內(nèi)涵和外延的理解由學(xué)生互相探討，并且交流為落實(shí)知識要點(diǎn)的精選例題，然后由老師加以點(diǎn)評補(bǔ)充。只有這樣，學(xué)生對概念和定理的理解才是深刻的、全面的，記憶才是鮮明的、牢固的，應(yīng)用起來才是靈活的、廣泛的。

結(jié)語

如今的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，老師們非常重視解題教學(xué)，對這方面的研究比較深刻，而對于知識梳理方式?jīng)]有做過多的研究。通常對知識進(jìn)行表象化，回憶性地解讀幾點(diǎn)，淺層次、再現(xiàn)式地歸納幾條，讓學(xué)生記住。這種教學(xué)方法使學(xué)生的記憶力發(fā)揮到了極致，但很難讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生激情和熱情。這幾年我一直教學(xué)高三，通過對“知識梳理”這個環(huán)節(jié)的教學(xué)方式的嘗試，認(rèn)為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點(diǎn)的特點(diǎn)尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數(shù)學(xué)整體的高度引領(lǐng)學(xué)生對主干、核心知識進(jìn)行梳理整合、歸納總結(jié)、挖掘拓展，這樣才能保持教學(xué)持久的新鮮感和學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉海珍.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)，讓經(jīng)典課堂釋放無窮魅力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，7.

[2]羅增儒.高考復(fù)習(xí)20問.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，5.endprint