應(yīng)求上

(上海師范大學(xué) 教育學(xué)院，上海200235)

中美小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”內(nèi)容比較
——以數(shù)學(xué)教材上海版與美國加州版為例

應(yīng)求上

(上海師范大學(xué) 教育學(xué)院，上海200235)

以小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圖形與幾何”為切入點(diǎn)，對中美兩地教材比較典型的上海版和美國加利福尼亞州版，從內(nèi)容的廣度、難度以及課程呈現(xiàn)方式三方面作比較分析，并就如何借鑒、完善上海小學(xué)數(shù)學(xué)教材提出建議，即在調(diào)整數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)和完善課程呈現(xiàn)方式上要更注重學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展，更注重學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，更注重學(xué)生實(shí)踐技能的訓(xùn)練，更重視生活實(shí)際的聯(lián)系，更重視與時(shí)代步伐的合拍，更重視教材趣味性的設(shè)計(jì).

中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材；圖形與幾何；比較

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著基礎(chǔ)性的作用，小學(xué)階段應(yīng)讓學(xué)生學(xué)什么，達(dá)到什么標(biāo)準(zhǔn)，怎樣評價(jià)等，值得我們思考研究.由于教材直接體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)，直接影響學(xué)生認(rèn)知過程，教材的研究就顯得至關(guān)重要.國際教育成就評價(jià)協(xié)會研究發(fā)現(xiàn)，教材的內(nèi)容和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績之間存在巨大聯(lián)系.為此，選擇中美兩地典型的小學(xué)數(shù)學(xué)教材并以“圖形與幾何”為切入點(diǎn)加以比較研究.

1 上海版和加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較研究的可行性

本次研究的教材是指狹義層面的教材，即教科書[1].選擇上海版和加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“圖形與幾何”作為比較研究的對象，是綜合以下因素確定的.

1.1小學(xué)數(shù)學(xué)教材具有可比性

各國的文化背景不一，學(xué)制存在差距，如果選擇初高中教材或者語言類教材進(jìn)行比較，則有可能由于起點(diǎn)不同導(dǎo)致研究結(jié)果的誤差.而選擇學(xué)生初始階段(小學(xué)階段)的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較，則可最大限度地避免其他因素的干擾，使研究結(jié)果更具科學(xué)性.

1.2兩地的學(xué)段設(shè)置具有對等性

上海和美國加利福尼亞州均為經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的城市，教育質(zhì)量在本國處于領(lǐng)先地位，而且兩地的學(xué)段相對應(yīng)，比較匹配.我國的義務(wù)教育年限12年，上海設(shè)置小學(xué)5年(其中1-2年級為第一學(xué)段，3-5年級為第二學(xué)段)，初中4年，而加州的基礎(chǔ)教育也是12個(gè)年級.兩地基礎(chǔ)教育學(xué)制在整體上是一致的，美國1-2年級與上海的第一學(xué)段一致，美國3-5年級與上海的第二學(xué)段一致.

1.3 “圖形與幾何”部分具有代表性

《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識分為“數(shù)與運(yùn)算”“方程與代數(shù)”“圖形與幾何”“函數(shù)與分析”“數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計(jì)”五部分.每部分形成系列，又相互聯(lián)系，組成一個(gè)有機(jī)的整體.“圖形與幾何”部分在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位，對其他部分的數(shù)學(xué)內(nèi)容起著非常重要的作用.選擇“圖形與幾何”作為教材對比的重點(diǎn)，具有代表性.

2 上海版和加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“圖形與幾何”內(nèi)容比較

比較研究采用層層遞進(jìn)、逐步深入的形式進(jìn)行，依次比較分析兩地小學(xué)數(shù)學(xué)教材“圖形與幾何”部分的廣度、深度和呈現(xiàn)形式.

2.1課程內(nèi)容的廣度比較

按學(xué)段比較，可對小學(xué)階段的教材內(nèi)容獲得整體了解.總體上，課程內(nèi)容的廣度加州版更廣些.

2.1.1 第一學(xué)段“圖形與幾何”對比分析

表1 第一學(xué)段兩地小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較

從表1分析，上海與加州第一學(xué)段“圖形與幾何”的課程廣度大體相同，內(nèi)容重點(diǎn)集中在感知立體圖形、初步了解簡單圖形(正方形、長方形和三角形)、認(rèn)識和測量物體長度.但仍存在差異：上海版更有針對性，更深入和精煉，尤其對平面圖形、三角形的認(rèn)識要求較高，內(nèi)在的邏輯關(guān)系緊密.加州版內(nèi)容廣泛，更重視在實(shí)際生活中感知立體幾何，教材羅列了許多常見的平面、立體圖形，包括平行四邊形、菱形、梯形、圓錐、圓柱體、棱錐、球的認(rèn)識及圖形的變換、分拆和組合.

2.1.2 第二學(xué)段“圖形與幾何”對比分析

表2 第二學(xué)段兩地小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較

續(xù)表：

從表2可見，兩地第二學(xué)段中大部分幾何知識是相同的，側(cè)重點(diǎn)都在于長度、面積、體積的測量與計(jì)算以及三角形等圖形的相關(guān)知識學(xué)習(xí).但加州版進(jìn)一步加深對立體圖形和平面圖形模型的構(gòu)建，課程設(shè)置廣度更廣.

2.2課程內(nèi)容的難度比較

斯托利亞爾從數(shù)學(xué)思維角度，將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平分為五個(gè)水平級[2].現(xiàn)根據(jù)五個(gè)水平分級，分年級對兩地教材“圖形與幾何”內(nèi)容的等級水平進(jìn)行比較.總體上上海版知識結(jié)構(gòu)邏輯性強(qiáng)，從三年級后集中于平面圖形的周長、面積計(jì)算，對數(shù)學(xué)抽象與計(jì)算能力要求較高，但立體幾何內(nèi)容涉及較少；加州版內(nèi)容繁雜，略顯凌亂，但體現(xiàn)了平面幾何和立體幾何的結(jié)合，為學(xué)生的空間想象能力發(fā)展作鋪墊.

2.2.1 一年級“圖形與幾何”水平分級對比分析

表3 一年級兩地教材“圖形與幾何”水平分級比較

表3中，一年級兩地教材都注重實(shí)際體驗(yàn)，通過動手操作認(rèn)識常見幾何體并分類.由于學(xué)生在生活中接觸的是三維物體，二維圖形概念的建立需要經(jīng)過一定的抽象，上海版著重讓學(xué)生感受立體幾何圖形，對平面圖形要求不高.加州版要求同時(shí)學(xué)習(xí)立體與平面幾何并分類，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平要求達(dá)到第二級.

2.2.2 二年級“圖形與幾何”水平分級對比分析

表4 二年級兩地教材“圖形與幾何”水平分級比較

由表4可以看出，上海版重點(diǎn)在于學(xué)習(xí)正方形、長方形和三角形的性質(zhì)，內(nèi)容精煉；加州版增加了多種圖形的認(rèn)識、變換、分拆和組合，數(shù)學(xué)思維水平要求在第二級水平上更深入.

2.2.3 三年級“圖形與幾何”水平分級對比分析

表5 三年級兩地教材“圖形與幾何”水平分級比較

三年級“圖形與幾何”內(nèi)容較前兩個(gè)年級增加了許多，但兩版教材側(cè)重點(diǎn)有所不同：上海版?zhèn)戎赜诿娣e與周長的理解、計(jì)算并解決問題，這對學(xué)生的抽象思維要求較高，數(shù)學(xué)思維水平要求已達(dá)到第四級水平；而加州版?zhèn)戎赜诶^續(xù)學(xué)習(xí)常見圖形，包括多邊形概念的認(rèn)識、立體圖形的辨識、分類、繪制等，對學(xué)生抽象思維水平要求較低.

2.2.4 四年級“圖形與幾何”水平分級對比分析

表6 四年級兩地教材“圖形與幾何”水平分級比較

四年級“圖形和幾何”部分課程內(nèi)容更多，學(xué)生思維水平大多要求達(dá)到第三級.不同點(diǎn)在于：加州版延續(xù)了幾何模型構(gòu)建的學(xué)習(xí)，難度有所提高(平面圖形水平與上海版三年級相近)，更多篇幅要求學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)全等形及圖形的變換、立體圖形的構(gòu)建；上海版則在角和圓的認(rèn)識、兩直線關(guān)系方面比加州版更加深入.

2.2.5 五年級“圖形與幾何”水平分級對比分析

表7 五年級兩地教材“圖形與幾何”水平分級比較

五年級的“圖形與幾何”部分的重難點(diǎn)集中于計(jì)算面積與體積，不同點(diǎn)在于：上海版要求學(xué)生掌握梯形計(jì)算公式，并能用多種方法推導(dǎo).加州版不要求掌握梯形公式，只要求在分割的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算；加州版要求學(xué)生通過動手，知道三角形和四邊形的內(nèi)角和，并推導(dǎo)常見多邊形的內(nèi)角和，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平要求較高，上海版則未涉及.

2.3課程內(nèi)容呈現(xiàn)形式的比較

2.3.1 課程內(nèi)容合理性上的差異

兩地教材在編排上都努力遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，各有特色，自成體系.從“圖形與幾何”部分內(nèi)容的展開看，兩者各不相同.上海版教材在安排學(xué)習(xí)簡單常見的立體圖形后，整個(gè)小學(xué)階段幾乎都是平面幾何的內(nèi)容，沿著平面圖形這一主題以直線式結(jié)構(gòu)展開，強(qiáng)調(diào)每一部分知識點(diǎn)一步到位，并注重公式的掌握與計(jì)算.加州版教材安排上則是立體幾何、平面幾何并重，兩條主線螺旋式上升，甚至更側(cè)重立體圖形的學(xué)習(xí)和模型構(gòu)建，但知識點(diǎn)之間缺乏聯(lián)系，許多知識點(diǎn)側(cè)重點(diǎn)不明確.

2.3.2 課程內(nèi)容整合性上的差異

兩地教材都比較重視與其他學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活的整合，促進(jìn)學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，提高解決問題的能力.但相對而言，加州版教材整合性上顯得更系統(tǒng).以圖形的拼嵌為例，上海版把內(nèi)容安排在三年級上冊的“整理與提高”部分，要求學(xué)生把圖形拼成畫，從地毯、地磚實(shí)例中，辨認(rèn)鑲嵌圖形，操作中的指導(dǎo)不多.加州版則要求學(xué)生自己動手制作鑲嵌圖形，安排“問題解決策略”環(huán)節(jié)，即“如何設(shè)計(jì)鑲嵌圖形來平鋪建筑物的拱形頂端”，過程中教材有詳細(xì)指導(dǎo)；在章節(jié)結(jié)尾安排了延伸閱讀：美國著名建筑設(shè)計(jì)師代表作品短程線圓頂體為例，讓學(xué)生結(jié)合 “圓”的知識了解圓頂建筑結(jié)構(gòu)；最后還有“豐富知識”部分，讓學(xué)生動手畫圖學(xué)習(xí)“分形”.

2.3.3 課程內(nèi)容趣味性上的差異

上海版小學(xué)數(shù)學(xué)教材思路清晰，結(jié)構(gòu)緊湊，行文流暢，語言簡約，編排上體現(xiàn)了精致的特點(diǎn).加州版的教材厚重，內(nèi)容更豐富，更有趣味性.如加州版通常使用豐富的實(shí)物圖片，而非手繪圖，更具現(xiàn)實(shí)感和生動性；又如加州版開發(fā)了電子文本教材，包含了課外閱讀材料、在線測試題和自學(xué)輔導(dǎo)等內(nèi)容，豐富、拓展紙質(zhì)教材的內(nèi)容，與紙質(zhì)教材共同構(gòu)成了一個(gè)整體.但加州版的教材缺乏精心組織，編排上顯得有些冗長和凌亂.

3 完善上海版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的建議

上海版和加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在內(nèi)容設(shè)置及呈現(xiàn)方式方面各有長處，也都存在一些問題.如加州版教材可借鑒上海版的優(yōu)勢，使得內(nèi)容設(shè)置尤其是各知識點(diǎn)的落實(shí)以及銜接方面更加嚴(yán)謹(jǐn)，在呈現(xiàn)方式上還可更精練些，避免冗長和雜亂的問題，等等。由于篇幅的限制，本文僅就借鑒加州版教材的優(yōu)勢，以更好地完善上海版教材，提出以下建議.

3.1優(yōu)化理念調(diào)整教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)

3.1.1 更注重學(xué)生的認(rèn)知能力的發(fā)展

美國的數(shù)學(xué)課程理念以實(shí)用為原則，遵循學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展，尊重學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，體現(xiàn)在課程結(jié)構(gòu)上則是數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)術(shù)性和實(shí)用性有機(jī)結(jié)合，知識結(jié)構(gòu)體系與學(xué)生的認(rèn)知能力發(fā)展有機(jī)結(jié)合.首先，鑒于上海版“圖形與幾何”部分某些內(nèi)容偏難，建議適當(dāng)降低特別是三年級的難度，以便有更多的時(shí)間安排知識面的拓展.其次，更多地注重螺旋式地遞進(jìn)，而不是單一的精深，不是一個(gè)知識點(diǎn)一步到位，可借鑒加州做法，從內(nèi)容的選取上深入淺出，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在實(shí)際操作中體會感悟幾何模型的構(gòu)建，以更好地符合學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展規(guī)律.

3.1.2 更注重學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)

格勞斯DA研究得出空間想象能力四要素[3]：一是依據(jù)實(shí)物建立模型的能力；二是依據(jù)模型還原實(shí)物的能力；三是依據(jù)模型抽象出特征、大小和位置關(guān)系的能力；四是能將模型或?qū)嵨镞M(jìn)行分解與組合的能力.加州版從一二年級讓學(xué)生不斷接觸立體圖形、動手操作拆分和組合，到三四年級開始培養(yǎng)學(xué)生對立體圖形的建模能力，再到高年級要求學(xué)生畫三視圖，這樣的過程充分體現(xiàn)了學(xué)生空間想象能力訓(xùn)練的循序漸進(jìn)，值得學(xué)習(xí)和改進(jìn).

3.1.3 更注重學(xué)生的實(shí)踐技能的訓(xùn)練

加州版通常采用“創(chuàng)設(shè)問題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)—修正或反思思維過程—形成一定的策略性知識”的模式構(gòu)建課程內(nèi)容.課程學(xué)習(xí)前，設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題解決環(huán)節(jié)；新知識點(diǎn)學(xué)習(xí)后有一些簡單的習(xí)題，通常是“數(shù)學(xué)寫作”(用所學(xué)數(shù)學(xué)知識以文字形式回答問題)形式出現(xiàn)；每一章有單列的“解決問題的策略”，幫助學(xué)生強(qiáng)化用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題能力，強(qiáng)調(diào)動手實(shí)踐、自主探索與合作交流，徹底改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.上海版教材在這方面顯然有待加強(qiáng).

3.2結(jié)合實(shí)際改進(jìn)教材文本的方式

3.2.1 更注重教材的現(xiàn)實(shí)性

結(jié)合生活實(shí)際的數(shù)學(xué)教材，可在實(shí)施教學(xué)活動過程中喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建基礎(chǔ)、必要、現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)的眼光看待整個(gè)社會，提高用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.重視與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，上海的課程標(biāo)準(zhǔn)要求中也明確了這點(diǎn)，但實(shí)際中還有待改進(jìn).可以借鑒加州版的做法，與現(xiàn)實(shí)生活的整合范圍應(yīng)更廣，讓應(yīng)用與實(shí)踐體現(xiàn)在每一項(xiàng)內(nèi)容、每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，留給學(xué)生充分思考、探究的空間，讓學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)經(jīng)歷中充分享受探究數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題所帶來的無窮樂趣.

3.2.2 更注重教材的應(yīng)時(shí)性

信息時(shí)代的到來，正在改變或?qū)氐赘淖兾覀兊膶W(xué)習(xí)、生活.目前，上海版沒有像加州版那樣可供學(xué)生學(xué)習(xí)的電子文本教材，即使在網(wǎng)站搜索與紙質(zhì)教材相同的上海版電子教材也是不完整的.建議上海版教材與信息技術(shù)充分結(jié)合，開發(fā)拓展課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)軟件，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的渠道，使課程內(nèi)容更加豐富多彩，更具時(shí)代氣息，讓電子文本教材成為紙質(zhì)教材的有機(jī)組成部分，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，促進(jìn)課程教學(xué)改革.

3.2.3 更注重教材的趣味性

上海版教材有生活圖片和背景故事，但主要是四位漫畫人物和兩個(gè)卡通動物形象貫穿整整五年的教材，顯得有些單調(diào)和乏味.加州版的教材則更像一本有趣的圖書，有大量的真實(shí)場景圖片，有大量充滿變化的旁白提示.另外，加州版在整個(gè)學(xué)習(xí)活動中的設(shè)計(jì)也充滿趣味.如每一新內(nèi)容學(xué)習(xí)前都有“在家學(xué)數(shù)學(xué)”作鋪墊，指導(dǎo)家長在家和學(xué)生開展與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)的趣味小游戲，小競賽.在每一章結(jié)尾都會有“游戲時(shí)間”，游戲圖往往包含本章節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容的棋類游戲，要求兩名以上學(xué)生參加，讓學(xué)生在輕松和競爭的氛圍中探討交流和復(fù)習(xí)本章內(nèi)容.建議上海版教材的編寫中能吸收這方面的做法.

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2016-04-24

應(yīng)求上(1992-)，女，浙江紹興人，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué).

G423.3

A

1008-293X(2014)08-0106-06

(責(zé)任編輯王海雷)