王平心

【摘 要】分離變量法又稱傅里葉級(jí)數(shù)法，它是求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的最常用和最基本的方法之一。該方法的基本思想是將偏微分方程的定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn)題。將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開(kāi)來(lái)，從而將原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含一個(gè)自變量的常微分方程。它能夠求解相當(dāng)多的定解問(wèn)題，特別是對(duì)一些常見(jiàn)區(qū)域上混合問(wèn)題和邊值問(wèn)題，都可以用分離變量法試著求解。本文將討論分離變量法在求解波動(dòng)方程中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】分離變量法;波動(dòng)方程;求解

0 引言

自然界很多物理現(xiàn)象都可以歸結(jié)為波動(dòng)問(wèn)題，在機(jī)械工程中經(jīng)常遇到的振動(dòng)問(wèn)題，可歸結(jié)為機(jī)械波;在船舶工業(yè)中使用的聲納，可歸結(jié)為聲波問(wèn)題;在廣播領(lǐng)域和光學(xué)領(lǐng)域，可歸納出電磁波。他們都具有相同的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)，并且可以用一個(gè)式子表示：

我們稱它為波動(dòng)方程，因?yàn)樗枋隽俗匀唤绲牟▌?dòng)這種運(yùn)動(dòng)形式，其中△為拉普拉斯算子。△中，變量的個(gè)數(shù)表示波動(dòng)船舶空間的維數(shù)，現(xiàn)實(shí)生活中的波動(dòng)，一般都是三維的。但是為了研究方便，我們先討論一維的波動(dòng)。

分量變量法是求解數(shù)學(xué)物理方程的一種重要方法，這種方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合問(wèn)題，經(jīng)過(guò)變量分離，轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)或多個(gè)只含一個(gè)變量的常微分方程的初值問(wèn)題，使原問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這是一種很常用的方法。它通常用來(lái)求解有限區(qū)域（區(qū)間）上的邊值問(wèn)題或初邊值問(wèn)題。利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)，以及其他巧妙的方法，求出各個(gè)方程的通解。最后將這些通解“組裝起來(lái)”。分離變量法又稱Fourier方法，而在波動(dòng)方程情形也稱為駐波法。

1 變量分離法的基本步驟

第一步：邊界條件齊次化。

如果關(guān)于未知函數(shù)u的混合問(wèn)題中的邊界條件不是齊次的，那么選取一個(gè)與u具有相同邊界條件的已知函數(shù)，作變換u=v+w，代入關(guān)于u的混合問(wèn)題，導(dǎo)出新的未知函數(shù)v的混合問(wèn)題，這時(shí)v所滿足的邊界條件就是齊次的了。當(dāng)方程中的非齊次項(xiàng)與初始條件都與t無(wú)關(guān)時(shí)，可以選擇合適的變換讓方程與邊界條件同時(shí)齊次化。

第二步：非齊次方程的處理。

若此時(shí)方程是非齊次的，可以利用疊加原理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化一個(gè)齊次方程非齊次的初始條件與一個(gè)非齊次方程齊次初始條件的方程之和，而對(duì)齊次方程非齊次的初始條件的方程可以利用下面的步驟直接利用變量分量法，對(duì)非齊次方程齊次初始條件的方程可以利用特征函數(shù)法將方程的自由項(xiàng)及解都按齊次方程所對(duì)應(yīng)的一族特征函數(shù)展開(kāi)進(jìn)行求解。

第三步：建立特征值問(wèn)題并求其解。

設(shè)vx，t=XxTt，代入關(guān)于v的混合問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的齊次方程及齊次邊界條件，經(jīng)過(guò)變量分離后，可得關(guān)于Xx的特征值問(wèn)題，求出特征值λn和特征函數(shù)Xnx。一般要分三種情況進(jìn)行討論，并得到滿足定解問(wèn)題中方程和邊界條件的變量分離解。

第四步：求解關(guān)于v的混合問(wèn)題。

設(shè)該問(wèn)題的解為特征函數(shù)的級(jí)數(shù)vx，t=XxTt。將其代入v所滿足的方程及初始條件，從中可分離出待定函數(shù)Tn（t）所滿足的常微分方程的初值問(wèn)題，求出Tn（t）后可得v（x，t）。

第五步：求解關(guān)于u的混合問(wèn)題。

將所求得的v代入u=v+w，便得關(guān)于u的混合問(wèn)題的解。

上述求解過(guò)程可以用圖1來(lái)表示。

圖1

而孌量分量的過(guò)程也可以用一個(gè)圖來(lái)表示，下面我們以兩端固定的齊次邊界為例來(lái)說(shuō)明一下變量分量的過(guò)程。

圖2 兩端固定邊界條件的波動(dòng)方程分離變量過(guò)程圖

2 應(yīng)用舉例

用變量分離法求解下面波動(dòng)方程的混合問(wèn)題：

分析：由于方程和邊界條件都是非齊次的，因此首先應(yīng)將邊界條件齊次化. 注意到方程中的自由項(xiàng)及邊界條件都與t無(wú)關(guān)， 因此可適當(dāng)選取一個(gè)與t無(wú)關(guān)的輔助函數(shù)w（x），使得新的未知函數(shù)的方程和邊界條件都是齊次的。

解：令u（x，t）=v（x，t）+w（x）（4）

將（4）代入（1），整理得（下轉(zhuǎn)第85頁(yè)）

vtt=a2vxx+a2w″x+A（5）

為了使方程（5）及邊界條件同時(shí)齊次化，取w（x）滿足

a2w″x+A=0w0=0，wl=B

求解這個(gè)常微分方程定解問(wèn)題，得

于是作代換

將（6）代入原定解問(wèn)題得

這是一個(gè)具有齊次邊界條件的線性齊次方程的定解問(wèn)題，采用分離變量法，可得其解為

其中

3 總結(jié)

分離變量法是求解有界區(qū)域上的線性偏微分方程定解問(wèn)題的基本方法，它不僅適用于波動(dòng)方程，而且也適用于熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程。本文針對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的一波動(dòng)方程定解問(wèn)題，總結(jié)了分離變量法求解方法及步驟。

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