王莉萍, 吳學(xué)超, 陳淼森

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

無(wú)論是KoszuL代數(shù)、d-KoszuL代數(shù),還是分段-KoszuL代數(shù),它們都只有唯一的跳躍度.為了突破這個(gè)局限,呂家鳳[1-2]提出了λ-KoszuL代數(shù)和(P,λ)-KoszuL代數(shù).λ-KoszuL代數(shù)是KoszuL代數(shù)與d-KoszuL代數(shù)的自然推廣,(P,λ)-KoszuL代數(shù)是KoszuL代數(shù)與分段-KoszuL代數(shù)的自然推廣,它們是兩類新型的KoszuL型代數(shù),且具有任意有限多個(gè)跳躍度.

KoszuL模、d-KoszuL模和分段-KoszuL模都是“純粹模”,即它們的極小投射分解中的每一項(xiàng)都是由一個(gè)次數(shù)生成的分次投射模.那么，能否打破這種純粹的局限呢? 2010年,章璞研究小組[3]定義了廣義d-KoszuL模,由此回答了他們?cè)?004年提出的一個(gè)公開的問(wèn)題.同年,呂家鳳[4]定義了廣義分段-KoszuL代數(shù)(模).受以上思想的啟發(fā),本文把(P,λ)-KoszuL對(duì)象推廣到非純粹的情形,引入了廣義(P,λ)-KoszuL對(duì)象,給出了廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù)(模)的定義,研究了(P,λ)-KoszuL代數(shù)(模)的一些性質(zhì).

本文的主要結(jié)果如下:

定理1設(shè)A為(P,λ)-KoszuL代數(shù),ξ:0→K→M→N→0為有限生成的A-模短正合列,則

定理2設(shè)A為(P,λ)-KoszuL代數(shù),M為(P,λ)-KoszuLA-模,則

2)對(duì)所有的i≥0,JiM[-i]為廣義(P,λ)-KoszuLA-模.

1 廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù)(模)的定義

其中:λ(1)=d-P+1;λ(n)=sn-1+d-P+1;d>P≥2;sn≥sn-1≥…≥s1,1≤n≤T.

下面給出廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù)(模)的定義.

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s]→0,

2 主要結(jié)果的證明

引理1設(shè)A是正分次代數(shù),M是有限生成分次A-模,則

證明 因?yàn)?)是2)的特例,故下面只需證明2).

必要性 通過(guò)假設(shè),M有如下的一個(gè)極小分次投射分解:

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s]→0.

充分性 目的就是要證明M有如下的一個(gè)極小分次投射分解:

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s]→0.

引理2[5]設(shè)A為標(biāo)準(zhǔn)分次代數(shù),Ae:=A?kAoPP是A的包絡(luò)代數(shù).設(shè)r是Ae的分次Jacobson根,f:P→Q是有限生成Ae-投射模的模同態(tài).則Imf?rQ當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一個(gè)單A-模S,有Imf(f?A1s)?J(Q?AS)成立.其中,AoPP表示A的反代數(shù).

命題1設(shè)A為標(biāo)準(zhǔn)分次代數(shù),運(yùn)用引理2的記法,可得

1)A為廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)AoPP為廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù);

2)A為廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A為廣義(P,λ)-KoszuLAe-模.

證明 1)充分性 由于(AoPP)oPP=A,故當(dāng)AoPP為廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù)時(shí),A即為廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù).

必要性 因?yàn)锳為廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù),考慮平凡A-模A0的極小分次投射分解

…→Pn→…→P1→P0→A0→0,

0→A0→(P0)#→(P1)#→…→(Pn)#→….

因而,對(duì)所有的i≥0,有

也即AoPP是廣義(P,λ)-KoszuL代數(shù).

2)設(shè)P*:…→Pn→…→P1→P0→A→0是A的極小分次投射Ae-分解.通過(guò)引理2可得,P*是極小的當(dāng)且僅當(dāng)

P*?AA0:…→Pn?AA0→…→P1?AA0→P0?AA0→A?AA0?A0→0

是A0的極小分次投射分解.即對(duì)所有的i≥0,Pi作為分次Ae-模,其生成次數(shù)屬于{s1,s2,…,sn}當(dāng)且僅當(dāng)Pi?AA0作為分次A-模,其生成次數(shù)屬于{s1,s2,…,sn}.命題1即證.

最后證明本文的2個(gè)定理.

定理1的證明 1)必要性 通過(guò)長(zhǎng)正合列定理,可得到如下正合序列:

所以

充分性 因?yàn)閷?duì)所有的i≥0,JΩi(K) = Ωi(K)∩JΩi(M)成立,即可得到如圖1所示的交換圖.

圖1 行列正合交換圖

2)類似地,有如下長(zhǎng)正合列:

(1)

注3設(shè)0→K→M→N→0為有限生成的A-模短正合列,當(dāng)M和N是廣義(P,λ)-KoszuL模時(shí),不能得到K也是廣義(P,λ)-KoszuL模.

圖2 T 箭圖

例1設(shè)T 箭圖如圖2所示.令

很容易驗(yàn)證M和N是廣義(P,λ)-KoszuL模,但K不是廣義(P,λ)-KoszuL模.

定理2的證明 1)通過(guò)假設(shè),M是(P,λ)-KoszuLA-模,則M有如下的一個(gè)極小分次投射分解:

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s] →0.

①若i=PTn(n∈N),則對(duì)所有的j≥0,Lj的生成次數(shù)為

②若i=PTn+1(n∈N),則當(dāng)j=PTk(k∈N)時(shí),對(duì)所有的j≥0,Lj的生成次數(shù)為

當(dāng)j=PTk+1(k∈N)時(shí),對(duì)所有的j≥0,Lj的生成次數(shù)為

…

當(dāng)j=PTk+P-1(k∈N)時(shí),對(duì)所有的j≥0,Lj的生成次數(shù)為

…

當(dāng)j=PTk+(T-1)P+P-1(k∈N)時(shí),對(duì)所有的j≥0,Lj的生成次數(shù)為

重復(fù)上述步驟,當(dāng)i分別取PTn+2,…, PTn+P-1, …,PTn+(T-1)P+P-1 時(shí),

2)當(dāng)i=0時(shí),顯然成立.

因此,只需證明當(dāng)i=1時(shí),定理2成立,即證JM[-1]是廣義(P,λ)-KoszuL模.

…→Ln→Ln-1→…→L1→L0→JM[-1]→0.(2)

…

…

對(duì)于正合列0→JM→M→M/(JM)→0,可以得到如下長(zhǎng)正合列:

又因?yàn)锳是(P,λ)-KoszuL代數(shù),所以M/(JM)是(P,λ)-KoszuL模,即對(duì)任意的n≥0,有

由于M是廣義(P,λ)-KoszuL模,所以

下證:

事實(shí)上,類似于上面的證明,通過(guò)文獻(xiàn)[6]引理3.2,可得

類似地,M/(JM)是(P,λ)-KoszuL模,即對(duì)任意的n≥0,可得

又因?yàn)镸是廣義(P,λ)-KoszuL模,所以

參考文獻(xiàn)：

[1]Lü Jiafeng.ALgebras wiTh Periodic shifTs of ExT degrees[J].MaTh NoTes,2009,86(5/6):665-681.

[2]Lü Jiafeng,Zhao Zhibing.(P,λ)-KoszuL aLgebras and moduLes[J].Indian J Pure APPL MaTh,2010,41(3):443-473.

[3]Bian Ning,Ye Yu,Zhang Pu.GeneraLizedd-KoszuL moduLes[J].MaTh Res LeTT,2011,18(2):191-200.

[4]Lü Jiafeng.NonPure Piecewise-KoszuL aLgebras[J].Indian J Pure APPL MaTh,2012,43(1):1-23.

[5]Zacharia D.ExT and KoszuL aLgebras[EB/OL].[2000-12-02].hTTP://aLTenua.udea.edu.co/heragis/ExKozuL ALgzacharia.Pdf.

[6]Green E L,Marcos E N,MarTinez-ViLLa R,eT aL.D-KoszuL aLgebras[J].J Pure APPL ALgebra,2004,193(1):141-162.