吳瑋瑋， 徐輝明

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè)Dn={z=(z1,z2,…,zn)∈Cn:|zk|<1,1≤k≤n}?Cn是單位多圓柱,?Dn表示 Dn的拓?fù)溥吔?D={z∈C:|z|<1}?C是單位圓盤.用H(Dn)表示Dn上的全純函數(shù)全體,H(Dn,Dn)表示Dn的全純自映射,把Dn上的Bloch型空間Bβ(Dn)(0<β<∞)簡記為Bβ,定義為

設(shè)φ(z)=(φ1(z),φ2(z),…,φn(z))∈H(Dn,Dn), ψ(z)∈H(Dn),定義H(Dn)上的加權(quán)復(fù)合算子為(ψCφf)(z)=ψ(z) f(φ(z)),z∈Dn, f∈H(Dn).顯然,ψCφ是線性算子,當(dāng)ψ=1時(shí),Cφ即為通常的復(fù)合算子.

本文均假定α=(α1,α2,…,αn),αj>-1, j=1,2,…,n,符號(hào)C代表正的常數(shù),且在不同的地方可以是不相同的值.

1 引 理

為了證明本文主要結(jié)果,先給出幾個(gè)引理.

取w=0,則

證明 取定k∈{1,2,…,n},固定z1,…,zk-1,zk+1,…,zn,由引理1知,

結(jié)合引理1得

2 主要結(jié)果

(2)

(N+CM)‖f‖p,α=C‖f‖p,α.

另外,由引理1知, |ψ(0)|5 |f(φ(0))|≤C‖f‖p,α.因此，ψCφ是有界的.

因此，

下證式(2)成立.作函數(shù)

由ψCφ的有界性和式(1)得

因此,

定理1證畢.

ψ∈Bβ,ψφl∈Bβ,l=1,2,…,n;

(3)

(5)

由定理2的條件知,?ε>0,?δ∈(0,1),使得當(dāng)dist(φ(z),?Dn)<δ時(shí),

因此,結(jié)合引理1和引理2,當(dāng)dist(φ(z),?Dn)<δ時(shí),

(1+C)ε.

必要性 因緊算子一定是有界算子,易知式(3)成立.下面用反證法證明式(4)和式(5)成立.

假設(shè)式(4)不成立,那么存在ε0>0和一個(gè)點(diǎn)列{wi}?Dn,當(dāng)i→∞時(shí),φ(wi)→?Dn,使得

(6)

由式(6)知,一定存在l0(1≤l0≤n)和{wi}的子列,不妨設(shè)就是{wi}本身,使得

由φ(wi)→?Dn(i→∞)知,至少存在一個(gè)j0(1≤j0≤n),使得當(dāng)i→∞時(shí),|φj0(wi)|→1.作函數(shù)

即當(dāng)i→∞時(shí),‖ψCφfi‖β不收斂于0,這與ψCφ是緊算子矛盾,故式(4)成立.

下面證明式(5)成立.假設(shè)式(5)不成立,類似于上面的討論,存在ε0>0和一個(gè)點(diǎn)列{wi}?Dn及j0(1≤j0≤n),當(dāng)i→∞時(shí),φ(wi)→?Dn,|φj0(wi)|→1,使得

作函數(shù)

(7)

由式(4)知,當(dāng)i→∞時(shí),式(7)的第2項(xiàng)趨于0.因此,當(dāng)i→∞時(shí),‖ψCφgi‖β不收斂于0,這與ψCφ是緊算子矛盾,故式(5)成立.定理2證畢.

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