陳 宏, 周盛凡

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)是一類很重要的無窮維動(dòng)力系統(tǒng)，在許多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，如電子工程、化學(xué)反應(yīng)理論及生物學(xué)[1-3].目前,已有很多學(xué)者研究格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)的漸近行為[4-6].

在無窮維動(dòng)力系統(tǒng)的研究中，吸引子是一個(gè)中心概念.已經(jīng)有許多關(guān)于格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)的全局吸引子、一致吸引子、拉回吸引子的研究.但這些吸引子吸引軌道的速度有時(shí)很慢，且通常很難估計(jì)其吸引速度.而指數(shù)吸引子和拉回指數(shù)吸引子包含全局吸引子和拉回吸引子，且指數(shù)吸引所有有界集，是具有有限維數(shù)的正向不變集，是研究動(dòng)力系統(tǒng)漸近行為的有效工具.在格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)中，已經(jīng)有一些研究成果[7-10].

本文證明了下面二階非自治格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)的拉回指數(shù)吸引子的存在性：

(1)

式(1)中：i∈Z,ui∈R,gi∈C(R,R); fi∈C1(R,R);ηi, j(t), j=-q,-q+1,…,q(q∈N)是關(guān)于t局部可積的，且λi,α是正常數(shù).另外，在此基礎(chǔ)上，還將得到這個(gè)吸引子的吸引速度和分形維數(shù)的上界.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮系統(tǒng)(1)的初值問題，其向量形式可寫為

(2)

式(2)中:

對(duì)λi,ηi, j, j=-q,-q+1,…,q, fi,gi(i∈ Z)作如下假設(shè):

?i∈ Z.

(3)

(H2)令η(t)={sup|ηi, j(t)|:i∈Z, j=-q,-q+1,…,q}<∞(q∈N),滿足：

(H2b)存在連續(xù)的正值函數(shù)K0:R+→R+,使得

?t∈R,l∈R+.

(4)

(H2c)存在I0∈N和η0>0,使得

sup {|ηi, j(t)|:|i|>I0,j=-q,-q+1,…,q}≤η0,?t∈ R.

(5)

(H3)?i∈Z，令fi∈C1(R,R),滿足:

(H3A)存在一個(gè)正常數(shù)υ>1,使得

(6)

?r,l∈R+,τ∈R.

(7)

(H4)g(t)=(gi(t))i∈Z∈G,其中

(8)

(9)

系統(tǒng)(2)等價(jià)于如下方程：

(10)

式(10)中:

2 拉回指數(shù)吸引子

下面證明由系統(tǒng)(10)的解確定的連續(xù)過程在空間l2×l2上存在拉回指數(shù)吸引子.在滿足條件(H1)～(H4)時(shí)，首先證明這個(gè)連續(xù)過程存在一個(gè)一致有界閉的吸收集，然后給出了系統(tǒng) (10) 的解的尾估計(jì)，最后證明系統(tǒng)(10)擁有一個(gè)拉回指數(shù)吸引子.

定理1假設(shè)(H1)～(H4)成立，且

(11)

則

W(t,τ):φ(τ)=(uτ,vτ)∈E→φ(t,τ)=(u(t,τ),v(t,τ))∈E,t≥τ,τ∈R

(12)

在E上形成一個(gè)連續(xù)過程{W(t,τ)}t≥τ.

3)對(duì)于任意ε>0，存在T(ε,B0)>TB0和I(ε,B0)∈N,使得當(dāng)t≥T(ε,B0)時(shí)，系統(tǒng)(10)具有初值φτ∈B0?E的溫和解W(τ+t,t)φτ=φ(τ+t,τ;φτ)=(ui(τ+t,τ;uτ),vi(τ+t,τ;vτ))i∈Z∈E滿足

(13)

‖W(t+τ,τ)φτ-W(t+τ,τ)ψτ‖E≤L(t)5 ‖φτ-ψτ‖E,?φτ,ψτ∈Y(τ).

(14)

‖(I-PN)(W(τ+T*,τ)φτ-W(τ+T*,τ)ψτ)‖E≤γ‖φτ-ψτ‖E.

(15)

證明 1)令

(16)

(17)

對(duì)于φ=(u,v),φ(j)=(u(j),u(j))∈B, j=1,2，根據(jù)(H1)～(H4) 得

‖F(xiàn)(φ,t)‖E≤ζB(t),‖F(xiàn)(φ(1),t)-F(φ(2),t)‖E≤ζB(t)5‖φ(1)-φ(2)‖E,t∈R,

(18)

且

(19)

根據(jù)逼近法，系統(tǒng)(10)擁有唯一溫和解φ(5,τ;φτ)∈C([τ,TmAx),E)(TmAx>τ).類似于2)中一致有界吸收集存在性的證明，得TmAx=+∞.

?τ,t∈R .

(20)

考慮微分方程

(21)

式(21)中,

(22)

因Fm(φm,t)關(guān)于t連續(xù)，結(jié)合1)的證明，知式(21)存在唯一解

φm(5 ,τ,φτ)=(um(5 ,τ,φτ),vm(5 ,τ,φτ))∈C([τ,+∞),E)∩C1((τ,+∞),E).

將式(21)與φm作內(nèi)積(5 ,5 )E,得到

(23)

式(23)中，

(24)

且

(26)

因此,對(duì)于t≥τ，

(27)

又因?yàn)?/p>

所以

(28)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的證明方法得到,對(duì)于t≥τ，

(29)

式(29)中，

(30)

根據(jù)(H2b),存在T1>0,使得對(duì)于s≥T1，t∈R，

(31)

因此,

其中,

(32)

所以,對(duì)于E中任意的有界集B和φτ∈ B，

(33)

式(33)中,

(34)

再根據(jù)(H2b),有

因此,

?E

(35)

是{W(t,τ)}t≥τ的一個(gè)閉的一致有界吸收集.

3)令ξ∈C1(R+,R)是一個(gè)遞增的光滑函數(shù),滿足

(36)

(37)

將zm與式(21)作內(nèi)積，得

(38)

有如下估計(jì)：

(39)

式(39)中,

k1=η0M0q(q+1).

因此,

(40)

在[τ+TB0,τ+t](t≥TB0)上對(duì)式(40)應(yīng)用GronwAll不等式，得到

根據(jù)式(11)和式(31)，對(duì)于任意ε>0，存在T2(ε,B0)≥TB0+T1,使得當(dāng)t≥T2(ε,B0)時(shí),

(41)

因?yàn)間(t)∈G，所以存在I1(ε)∈N,使得當(dāng)M>I1(ε)時(shí),

(42)

根據(jù)式(11)、式(31)、式(33)，存在I2(ε,B0)>I0+q,使得對(duì)于M>I2(ε,B0)，有

(43)

令T(ε,B0)=T2(ε,B0)且 I(ε,B0)=2mAx{I1(ε),I2(ε,B0)}，因此,

(44)

4)對(duì)任意的τ∈R，初值φτ=(uτ,vτ),ψτ=(xτ,yτ)∈Y(τ).令φ(t)=W(t,τ)φτ,ψ(t)=W(t,τ)ψτ,φ(t)=φ(t)-ψ(t)=(φi(t))i∈Z.因此,φ(t),ψ(t),φ(t)∈C([τ,+∞),E).對(duì)任意的t≥τ，令φm(t),ψm(t)是系統(tǒng)(21)的具有初值φτ, ψτ的2個(gè)解.記

φm(t)=φm(t)-ψm(t),

(45)

所以,φm(t)∈C([τ,+∞),E)∩C1((τ,+∞),E),滿足

(46)

將φm與式(46)作內(nèi)積(5 ,5 )E，得

因?yàn)棣咋?ψτ∈Y(τ)，對(duì)于t≥τ,φm(t)=(um(t),vm(t)),ψm(t)=(xm(t),ym(t))∈Y(t)?B0，所以對(duì)于t≥τ，‖φm(t)‖E≤r0,‖ψm(t)‖E≤r0,且

根據(jù)式(24),(H3b)及

得

(47)

在[τ,τ+t](t>0)上對(duì)式(47)應(yīng)用GronwAll不等式,得

即

‖φm(τ+t)‖E=‖φm(τ+t)-ψm(τ+t)‖E≤L(t)5‖φτ-ψτ‖E,?t≥0.

(48)

式(48)中，

(49)

根據(jù)式(45)、式(48)及文獻(xiàn)[10]中的證明方法，有

‖φ(τ+t,τ,φτ)-ψ(τ+t,τ,ψτ)‖E≤L(t)‖φτ-ψτ‖E,?t≥0.

(50)

(51)

對(duì)于式(51)的右邊，有

其中，

因?yàn)镵(r)連續(xù)且K(0)=0(H3b)，所以存在δ,使得

(52)

(53)

這表明,對(duì)于|i|>I(δ)，有

因此,

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

式(58)中，

取

N={2I(δ)+1,2I0+2q,8k3(T*)},

從而

(59)

因此,根據(jù)式(58)有

‖(I-PN)(W(τ+T*,τ)φτ-W(τ+T*,τ)ψτ)‖E≤γ‖φτ-ψτ‖E.(60)

定理1證畢.

定理2連續(xù)過程{W(t,τ)}t≥τ擁有一個(gè)拉回指數(shù)吸引子{A(t)}t∈R，且具有如下性質(zhì)：對(duì)于任意的t∈R,

且

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