祝 玲， 趙曉華

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

動力系統(tǒng)理論是非線性數(shù)學理論的一個重要分支，而Hamilton系統(tǒng)則是動力系統(tǒng)理論和應用研究中的一類核心研究對象.實際上，動力系統(tǒng)理論正是法國數(shù)學家Poincare在19世紀末研究描述三體問題的Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性的過程中萌發(fā)的.這類系統(tǒng)不僅廣泛地存在于天體力學、等離子物理、航空航天等數(shù)理工程學科及生命科學甚至社會科學等諸多領域,而且它作為一類具有特別數(shù)學結構的非線性動力系統(tǒng)，其對動力學性質(zhì)的深入認識和研究所產(chǎn)生的理論和方法對動力系統(tǒng)理論的形成和完善具有非常重要的價值.

一般的m維Hamilton系統(tǒng)是定義在Poisson流形(Rm,{5,5})上的常微分方程組[1-2],

(1)

或?qū)憺橄蛄啃问?/p>

▽H(x).

(2)

式(2)中:▽H(x)是H的梯度向量;H(x)為這個Hamilton系統(tǒng)的Hamilton函數(shù);矩陣J(x)=(Ji j(x))為它的結構矩陣,滿足條件：

1)反對稱性：Ji j(x) =-Jji(x);

稱它所定義的括號運算{F,G}為Poisson括號,

?F,G∈C∞(Rm,R).

(3)

顯然,任意一個反對稱常數(shù)矩陣均是結構矩陣,可以定義一個Poisson括號.

若Poisson流形(Rm,{5, 5})上的非常數(shù)函數(shù)G∈C∞(M)滿足條件:{F,G}=0,?F∈C∞(M),則稱函數(shù)G是這個Poisson結構的一個Casimir函數(shù),它顯然是系統(tǒng)(2)的首次積分.

稱以這種線性結構矩陣定義的Poisson括號為Lie-Poisson括號,這是因為它與m階Lie代數(shù)結構有同構關系.

(4)

即

(5)

相應地,Hamilton系統(tǒng)(2)被變換為另一個Hamilton系統(tǒng),

(6)

為了研究Hamilton系統(tǒng)(1)的動力學行為,首先要對它進行化簡.迄今為止,人們常常通過坐標變換化簡Poisson結構矩陣來化簡系統(tǒng).實際上,有時在化簡Poisson結構的過程中會使相應的Hamilton函數(shù)變得更加復雜,這樣不僅沒有達到簡化系統(tǒng)的目的,反而會使系統(tǒng)變得更為復雜.而保結構變換不會改變結構矩陣的形式,只會改變Hamilton系統(tǒng)(1)的Hamilton函數(shù)H的形式.這樣,利用保結構變換化簡m維Hamilton向量場(1)的問題本質(zhì)上就轉化為用保結構變換化簡Hamilton函數(shù)H的問題了.本文討論三階Lie-Poisson結構的保結構線性變換,給出了相應變換矩陣的具體形式和其元素應滿足的條件,為進一步討論相應的三維Hamilton系統(tǒng)的化簡提供便利.

1 三維Lie代數(shù)的Bianchi分類與Lie-Poisson結構分類

所謂Lie代數(shù)就是一個m維向量空間g,它的元素之間存在一種稱作Lie括號的運算[5,5]:g×g→g,滿足下面幾條性質(zhì)(其中,c,c′∈R為常數(shù)):

1)雙線性:[cV+c′V′,W]=c[V,W]+c′[V′,W],[V,cW+c′W′]=c[V,W]+c′[V,W′];

2)反對稱性:[V,W]=-[W,V];

3)Jacobi恒等式:[U,[V,W]]+[W,[U,V]]+[V,[W,U]]=0,U,V,V′,W,W′∈g.

(7)

(8)

TBTT=diag(b(1),b(2),b(3)),Ta=(a1,0,0)T.

(9)

此時Ba=0→b(1)a1=0.因此,Lie括號運算可進一步化簡為

[e1,e2]=a1e2+b(3)e3,[e2,e3]=b(1)e1,[e3,e1]=b(2)e2-a1e3.

(10)

式(10)僅含3個獨立參數(shù),通過適當?shù)淖儞Q,可以將其中一個非零參數(shù)化為1.這樣可根據(jù)剩余的參數(shù)將三維Lie代數(shù)分為13類,這就是著名的Bianchi分類[2-3].

Puta等[4]對Bianchi分類中的每一類都列出了相應的Lie-Poisson結構和Casimir函數(shù)，詳見表1.

表1 三維Lie代數(shù)及Lie-Poisson結構分類

續(xù)表1

2 三維Lie-Poisson結構的保結構變換

接下來討論表1中列出的各類三維Lie-Poisson結構矩陣的相應的保結構變換的條件.由于Lie-Poisson結構矩陣元素是x的齊次線性函數(shù),因此,考慮保結構變換的最基本類型——可逆線性變換

y=Ax,A=(ai j),det(A)≠0,i,j=1,2,3.

(11)

在這種線性變換下,Lie-Poisson結構矩陣J(x)的變換(5)變?yōu)?/p>

(12)

從而根據(jù)定義可知,可逆線性變換(11)保持結構J(x)不變的充要條件是

AJ(A-1y)AT=J(y).

(13)

此時,相應的Hamilton系統(tǒng)(6)變換為

(14)

(15)

分別取J(x)為表1中的Lie-Poisson結構矩陣,利用Maple軟件進行復雜的符號代數(shù)運算,就可得到滿足保結構條件(13)的變換矩陣A的具體形式.表2 分別列出了表1中除第Ⅰ類平凡情況外的所有類型Lie-Poisson結構矩陣對應的保結構變換矩陣的具體表示.

有了表2的保結構矩陣表示,化簡二次Hamilton系統(tǒng)的問題就可轉化為選擇合適的保結構矩陣元素,使得相應的二次Hamilton函數(shù)最簡單,自由參數(shù)個數(shù)最少.

Lanchares等[5]及隨后的Frauendiener[6]曾經(jīng)利用第V類Lie-Poisson結構在坐標任意旋轉變換下的不變性,并利用Casimir函數(shù)性質(zhì),將具有這類Lie-Poisson結構的二次Hamilton系統(tǒng)進行了簡化分類,獲得了二次Hamilton函數(shù)的5個等價類,最多包含4個自由參數(shù).其他的三維Lie-Poisson結構并不具有任意旋轉不變性質(zhì).此時可以利用表2得出的矩陣化簡二次Hamilton函數(shù).針對表1中的第Ⅱ類Lie-Poisson結構,利用表2 中相應的保結構變換矩陣,將二次Hamilton函數(shù)化為5個等價類，最多包含3個自由參數(shù).這個結果筆者將另文發(fā)表.

表2 保結構線性變換矩陣A

續(xù)表2

參考文獻：

[1]Olver P J.Applications of Lie group to differential equation[M].New York:Springer-Verlag,1986.

[2]李繼彬，趙曉華，劉正榮.廣義哈密頓系統(tǒng)理論及其應用[M].2版.北京：科學出版社，2007.

[3]Bianchi L.Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni[M].Pisa:Princeton Fine Hall Math-Phys Library SM,1918:550-557.

[4]Puta M,Georgescu C.3-dimensional Poisson manifolds[J].Annals of Univ Timisoara Ser Mat-Inform,1996,34(1):151-159.

[5]Lanchares V,Elipe A.Biparametric quadratic Hamiltonians on the unit sphere:complete classification[J].Mech Res Commun,1994,21(3):209-214.

[6]Frauendiener J.Quadratic Hamiltonians on the unit sphere[J].Mech Res Commun,1995,22(4):313-317.