文/施瑋

摘 要：通過找一找、填一填、數(shù)一數(shù)、試一試對(duì)楊輝三角進(jìn)行了研究，以期能夠提高學(xué)生的多方面能力。

關(guān)鍵詞：整式；楊輝三角；作業(yè)設(shè)計(jì)

一、找一找

查閱文獻(xiàn)資料或者通過互聯(lián)網(wǎng)，完成下列問題：

1.楊輝三角在歷史上還有什么其他的名稱？

2.除楊輝外，古今中外還有哪些數(shù)學(xué)家研究過楊輝三角？

3.中國還有哪些著名的數(shù)學(xué)家？

二、填一填

1.完成下圖填空。

2.楊輝三角中第n行第2個(gè)數(shù)是多少？

3.觀察箭頭經(jīng)過的各數(shù)關(guān)系，用含n的代數(shù)式表示第n行第3個(gè)數(shù)。

4.除閱讀材料中涉及的求楊輝三角各數(shù)的方法外，通過閱讀其他課外材料，你還能找出別的方法嗎？

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三、數(shù)一數(shù)

1.楊輝三角的第7層共有多少個(gè)數(shù)？

第9層呢？

第n層呢？

2.楊輝三角從第1層到第7層，共有多少個(gè)數(shù)？

從第1層到第9層，共有多少個(gè)數(shù)？

從第1層到第n層，共有多少個(gè)數(shù)？

3.楊輝三角第7層各數(shù)的和是多少？

楊輝三角第9層各數(shù)的和是多少？

楊輝三角第n層各數(shù)的和是多少？

4.楊輝三角從第1層到第7層，各數(shù)的和是多少？

從第1層到第9層，各數(shù)的和是多少？

從第1層到第n層，各數(shù)的和是多少？

四、試一試

1.楊輝三角與“縱橫路線圖”

“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題。圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處（只能由北到南，由西向東），那么有多少種不同的走法？我們把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)。有趣的是，B處所對(duì)應(yīng)的數(shù)70，正好是答案（70）。一般地，每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)。

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圖1 圖2 圖3

現(xiàn)有一個(gè)城市的街道圖，縱橫各有六條路，如圖3，問從A地到B地有多少種走法？

2.評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

找一找、填一填、數(shù)一數(shù)、試一試四個(gè)系列是獨(dú)立的作業(yè)，學(xué)生可以選做其中一個(gè)系列，也可以選做多個(gè)系列中的一個(gè)小題。選擇完成找一找系列習(xí)題的同學(xué)，作業(yè)不是以文本的方式上交，而是在一節(jié)習(xí)題課中，向其他學(xué)生講解自己所找到的材料，由其他學(xué)生按自己聽后是否容易理解、能否聽明白為標(biāo)準(zhǔn)給其打分。填一填、數(shù)一數(shù)、試一試三個(gè)系列，是以書面的作業(yè)形式上交，按思路明確、解答完整、答案正確評(píng)等級(jí)。

3.設(shè)計(jì)意圖

數(shù)學(xué)作業(yè)是課堂教學(xué)的延續(xù)和補(bǔ)充，是學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)的活動(dòng)形式，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。通過完成一定數(shù)量的數(shù)學(xué)作業(yè)，能使學(xué)生鞏固課堂上所學(xué)的知識(shí)，并將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能、技巧，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。但周而復(fù)始、形式單一的作業(yè)已變成學(xué)生的一個(gè)包袱，成了一個(gè)枯燥而又不得不投入的一種負(fù)擔(dān)，使學(xué)生的好奇心、求知欲、創(chuàng)造性受到壓抑，并且對(duì)學(xué)困生而言，是個(gè)不可能完成的任務(wù)，對(duì)學(xué)優(yōu)生而言是機(jī)械的操練。本次作業(yè)設(shè)計(jì)，將整個(gè)作業(yè)分成四個(gè)系列，相互之間既有獨(dú)立性，又有密切的聯(lián)系，每個(gè)系列涉及的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用有深有淺，一個(gè)系列內(nèi)又有幾個(gè)小題，難度呈階梯式遞進(jìn)，不會(huì)出現(xiàn)一次作業(yè)只是單方面的為某一層次的學(xué)生服務(wù)的情況，讓每個(gè)學(xué)生每堂課都能有所得。

在問題設(shè)計(jì)方面，前一個(gè)問題既是提問，也是給下一個(gè)小題的提示，整個(gè)題設(shè)框架遵循從特殊到一般的提問原則，向?qū)W生展示了一個(gè)處理陌生問題的常見思維模式和探索方法，對(duì)學(xué)生今后獨(dú)立處理陌生問題有所幫助。此類提問設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生思考問題的模式與他們今后將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法有密切聯(lián)系，能對(duì)學(xué)生平時(shí)的思維模式起到潛移默化的作用，為他們今后更高深的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

從趣味性來說，楊輝三角本身就具備獨(dú)特的魅力。第一系列的各題設(shè)計(jì)，對(duì)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)要求較低，能提高學(xué)生的參與度，尤其是喜歡玩電腦的學(xué)生，讓他們體會(huì)到電腦也可以幫助完成作業(yè)。通過參與到這次作業(yè)中，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)作業(yè)無趣、繁瑣的片面認(rèn)識(shí)，以動(dòng)手參與開始建立學(xué)困生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。對(duì)中國數(shù)學(xué)家的研究能讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)更多的中國的數(shù)學(xué)家以及他們學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)過程中的種種趣事，培養(yǎng)他們的民族自尊心和自豪感。尤其是這一系列的作業(yè)上交方式，能提高學(xué)生的口頭表達(dá)能力。

本次作業(yè)設(shè)計(jì)，從橫向來說，既提高了學(xué)生參與的廣度，又提高了涉及知識(shí)的廣度，從縱向來說，既提高了學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和作業(yè)反饋的深度，又提高了涉及知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的深度，多方面培養(yǎng)了學(xué)生的個(gè)人能力和小組合作能力、數(shù)形結(jié)合能力、動(dòng)手能力、歸納能力，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

編輯 郭曉云