陳麗

摘 要： 對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，其開(kāi)放型習(xí)題的編制與教學(xué)研究是至關(guān)重要的，是近幾年中考命題的熱點(diǎn)之一。為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，必須學(xué)會(huì)以客觀的視角審視其發(fā)展中的不足之處。本文就初中數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題編制中的不足，對(duì)其開(kāi)放型習(xí)題的特征、功能、編制原則、開(kāi)放型習(xí)題編制的常見(jiàn)策略及對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題常見(jiàn)教學(xué)策略進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 開(kāi)放型習(xí)題 編制 教學(xué)實(shí)踐

“數(shù)學(xué)”是一門(mén)能夠鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的學(xué)科。隨著我國(guó)教育的不斷改革，對(duì)初中數(shù)學(xué)的開(kāi)放型習(xí)題的編制和教學(xué)都有了新的要求。讓數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題不斷推進(jìn)學(xué)校對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育，成為培養(yǎng)學(xué)生自主創(chuàng)新能力的有效途徑。那么在教材還沒(méi)有提供足夠的開(kāi)放型習(xí)題之前，如何得到更多更好的開(kāi)放型習(xí)題是教師在教學(xué)過(guò)程中碰到的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題編制的可行性方案很多。筆者認(rèn)為無(wú)論是改造陳題還是自編創(chuàng)新題，編制數(shù)學(xué)開(kāi)放題都要圍繞使用開(kāi)放型習(xí)題的目的進(jìn)行，開(kāi)放型習(xí)題應(yīng)當(dāng)隨著使用目的和對(duì)象的變化而改變，作為常規(guī)問(wèn)題的補(bǔ)充。適合學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的開(kāi)放型習(xí)題應(yīng)具備起點(diǎn)低、入口寬、可拓展性強(qiáng)的特點(diǎn)。下面我談?wù)効捶ㄅc體會(huì)。

一、開(kāi)放型習(xí)題的特征

所謂開(kāi)放型習(xí)題，是指那些條件不完整、結(jié)論不確定的試題，其顯著的特征是答案的多樣性和多層性。它的表現(xiàn)形式主要有三種：條件的開(kāi)放、結(jié)論的開(kāi)放、解題方法的開(kāi)放。我認(rèn)為開(kāi)放型習(xí)題綜合性強(qiáng)，解題方法靈活多變，結(jié)果往往具有開(kāi)放性，因而對(duì)思維的靈活性、發(fā)散性有較高的要求，能夠有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力。因此它是近幾年中考命題的熱點(diǎn)之一。我們可以通過(guò)觀察、比較、分析、綜合甚至猜想，展開(kāi)發(fā)散性思維，充分運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過(guò)歸納、類比、模擬、聯(lián)想構(gòu)建模型等推理手段，得出正確的結(jié)論。

二、開(kāi)放型習(xí)題的功能

美國(guó)加利福尼亞州教育部于1989年指出了開(kāi)放型習(xí)題的五個(gè)功能：為學(xué)生提供了自己進(jìn)行思考并用他們自己的數(shù)學(xué)觀表達(dá)的機(jī)會(huì)，這和他們的數(shù)學(xué)發(fā)展是一致的；要求構(gòu)建他們自己的反映，而不是選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的答案；允許學(xué)生表達(dá)他們對(duì)問(wèn)題的深層次理解，這在多項(xiàng)選擇中是無(wú)法做到的；鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法解決問(wèn)題，反過(guò)來(lái)提示老師用不同的方法解釋數(shù)學(xué)概念；開(kāi)放型習(xí)題的模式是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本成分。

筆者經(jīng)過(guò)教學(xué)試驗(yàn)和理論研究，認(rèn)為數(shù)學(xué)開(kāi)放題有以下作用：所提的問(wèn)題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語(yǔ)描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解答；沒(méi)有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺(jué)地被發(fā)現(xiàn)，但求解過(guò)程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索；在求解過(guò)程中往往可以引出新的問(wèn)題，或?qū)?wèn)題加以推廣，找出更一般、更有概括性的結(jié)論；常常通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的提出，主體必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型；能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，每一個(gè)學(xué)生都可以參與解答過(guò)程，而不管他屬于何種程度和水平；教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過(guò)程中的角色是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者、合作者。

三、開(kāi)放型習(xí)題編制的基本原則

1.科學(xué)性原則。

試題作為幫助學(xué)生提高能力、鞏固知識(shí)的工具，受到了廣泛關(guān)注，然而，對(duì)于一份合格的試題來(lái)說(shuō)，其科學(xué)性的編制是非常重要的，這在一定程度上可以提高所編制的試題質(zhì)量，所以在編制開(kāi)放性試題的時(shí)候，相關(guān)的編制人員要做到：

（1）把握好出題的范圍

由于試題的目的是讓學(xué)生更好地鞏固數(shù)學(xué)課本中的知識(shí)，因此出題人一定要正確審視試題的地位，在出題過(guò)程中不能以自我為中心。出題人一定要結(jié)合學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)課本中的內(nèi)容，把數(shù)學(xué)課本中的要求作為出題的基本依據(jù)，使試題的內(nèi)容能夠正確體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心內(nèi)容。

（2）保證試題的準(zhǔn)確度

作為學(xué)生重點(diǎn)選擇的輔導(dǎo)材料，初中數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題的編制人員一定要有強(qiáng)烈的責(zé)任感，保證試題質(zhì)量。在出題過(guò)程中，一定要專心，避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)，比如語(yǔ)言表達(dá)的歧義，錯(cuò)別字的出現(xiàn)，或者題目條件不完整。為了有效避免這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，應(yīng)該加強(qiáng)其中的監(jiān)督環(huán)節(jié)，或者制定相關(guān)的措施，提高編寫(xiě)人員的責(zé)任感，在撰寫(xiě)過(guò)程中仔細(xì)認(rèn)真。

2.開(kāi)放性原則。

由于中國(guó)教育事業(yè)的不斷發(fā)展，初中數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題的編制人員在實(shí)踐中漸漸發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的試題模式已經(jīng)不再適用于當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)，因此將試題逐漸向開(kāi)放型出題方向靠攏。由于初中開(kāi)放型試題具有答案不唯一的特點(diǎn)，在一定程度上可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自主創(chuàng)新能力，幫助學(xué)生不斷陷入深深思考中，不斷尋求新的解決問(wèn)題的途徑。那么在編制題目的過(guò)程中，必然要以開(kāi)放型習(xí)題為主。在習(xí)題編寫(xiě)過(guò)程中，遵循開(kāi)放性的原則是很重要的。

3.適切性原則。

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中水平并不是一樣的，因此對(duì)于初中數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題的編制人員來(lái)說(shuō)，一定要充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，對(duì)開(kāi)放型習(xí)題進(jìn)行一個(gè)難易梯度的分布排版。這樣一來(lái)，學(xué)生就感覺(jué)題目具有一定的趣味性，從而更主動(dòng)地深入思考問(wèn)題，運(yùn)用發(fā)散性思維，尋找不同的解題思路，遵循適度、貼切的編制原則可以有效幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)。

四、開(kāi)放型習(xí)題編制的策略

1.從封閉題出發(fā)引申出開(kāi)放題。

我們平時(shí)所用習(xí)題大多具有完備的條件和確定的答案，故被稱為封閉題——常規(guī)題，在原有封閉性問(wèn)題基礎(chǔ)上，使學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，發(fā)散開(kāi)去，能夠啟發(fā)學(xué)生有獨(dú)創(chuàng)性的理解，就有可能形成開(kāi)放題。在研究性學(xué)習(xí)中首先呈現(xiàn)給學(xué)生封閉題，解答完之后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，如探究更一般的結(jié)論，探究更多的情形，或探究該結(jié)論成立的其他條件，等等。如對(duì)于八下《5.1多邊形1》中四邊形內(nèi)角和定理的教學(xué)，我首先讓學(xué)生在一張紙上任意畫(huà)一個(gè)四邊形，剪下它的四個(gè)角，把它們拼在一起（四個(gè)角的頂點(diǎn)重合）?；蜃寣W(xué)生利用拼圖的方法（如圖），通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想得到：四邊形的內(nèi)角和為360°。

2.以某一典型例、習(xí)題為背景編制開(kāi)放題。

以某一典型例、習(xí)題為背景編制開(kāi)放題可以加深學(xué)生對(duì)例、習(xí)題的理解，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。以八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課本P39例3為原形可編制如下的開(kāi)放題：有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，計(jì)劃制成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，使得盒蓋與相對(duì)的盒底都是正方形。如圖（1）、（2）給出了兩種不同的裁剪方案（其中實(shí)線是剪開(kāi)的線跡，虛線是折疊的線跡，陰影部分是余斜），問(wèn)哪一種方案制成的鐵盒體積更大些？說(shuō)明理由。（接縫的地方忽略不計(jì)）

這是以楊輝三角形類似的性質(zhì)為知識(shí)依托編制出的開(kāi)放題，學(xué)生在解答該題的過(guò)程中出現(xiàn)了許多有創(chuàng)見(jiàn)的方法，顯示出開(kāi)放題在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和深刻性方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可以使學(xué)生樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

4.以某一數(shù)學(xué)概念、定理、公理為依據(jù)，編制開(kāi)放題。

在美國(guó)國(guó)家科學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)中，探究也指學(xué)習(xí)過(guò)程。它是一種積極的學(xué)習(xí)過(guò)程——“學(xué)生去做的事，而不是為他們做好的事”。換句話說(shuō)，就是讓學(xué)生自己思考怎么做甚至做什么，而不是讓學(xué)生接受教師思考好的現(xiàn)成的結(jié)論。數(shù)學(xué)中的定理、公理等是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，圍繞定理、公理等我們可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)拈_(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行探究，通過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，體驗(yàn)研究的樂(lè)趣。如在四邊形ABCD中，AB∥CD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是？搖 ？搖。

我們以平行四邊形的判定為依托編制數(shù)學(xué)開(kāi)放題，通過(guò)上述開(kāi)放問(wèn)題的研究，師生合作交流，共同探究發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的判定定理。從而讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力。

5.以體現(xiàn)或重現(xiàn)某一數(shù)學(xué)研究方法而編制開(kāi)放題。

數(shù)學(xué)家的研究方法蘊(yùn)涵深刻的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的某些研究，做小科學(xué)家，點(diǎn)燃埋藏在學(xué)生心靈深處的智慧火種。以此為著眼點(diǎn)編制開(kāi)放題，其教育價(jià)值更是不言而喻的。

在概率論發(fā)展史上，對(duì)頻率穩(wěn)定性的研究占有一定的篇幅，在學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生設(shè)計(jì)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的試驗(yàn)，親自體驗(yàn)概率的統(tǒng)計(jì)含義，了解概率統(tǒng)計(jì)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行歸納研究的方法。如編制開(kāi)放題“硬幣落地問(wèn)題”：全班38人每人擲硬幣10次的游戲，問(wèn)：每個(gè)人正面朝上的概率及全班同學(xué)正面朝上的概率。

這樣的問(wèn)題從理論上可以保證答案的無(wú)限性，解題者可以盡情地發(fā)揮聰明才智，探究問(wèn)題中蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，用于教學(xué)是極好的問(wèn)題材料。從考生的解答中我們看到思維的多向性，如果在研究性學(xué)習(xí)中使用并允許學(xué)生相互討論、相互補(bǔ)充，解答將會(huì)更多更精彩。

6.以實(shí)際問(wèn)題為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值編制開(kāi)放題。

以實(shí)際問(wèn)題為背景，編制出設(shè)計(jì)類型的開(kāi)放題，用于研究性學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。如第17屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理會(huì)議的公開(kāi)課問(wèn)題：“在一塊矩形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，要使花壇的面積為矩形面積的一半，請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì)。”這是一道公認(rèn)的開(kāi)放題，花圃的圖案形狀沒(méi)有規(guī)定性的要求，解題者可以進(jìn)行豐富想象，充分展示幾何圖形的應(yīng)用，這種以實(shí)際問(wèn)題為背景編制的開(kāi)放題往往有趣而富有吸引力。

將數(shù)學(xué)開(kāi)放題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種載體，首先必須有適合的問(wèn)題。在教育教學(xué)實(shí)踐中，只要我們能夠大膽創(chuàng)新，勇于探索，不落窠臼，數(shù)學(xué)開(kāi)放題將會(huì)不斷涌現(xiàn)，必將促使充滿活力和創(chuàng)造力的學(xué)生積極參與，也必將成為研究性學(xué)習(xí)的重要載體。

五、開(kāi)放型習(xí)題常見(jiàn)教學(xué)策略

由于初中數(shù)學(xué)開(kāi)放型習(xí)題是初中數(shù)學(xué)教育的一種新的教學(xué)題型，在中考中備受歡迎，因此受到了社會(huì)的廣泛關(guān)注。在日常教育教學(xué)中，如果授課老師能夠?qū)㈤_(kāi)放型習(xí)題帶入課堂，那么不僅會(huì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，而且會(huì)不斷地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提高學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力、探究能力。

1.改革數(shù)學(xué)課堂，參與上變被動(dòng)為主動(dòng)。

（1）激趣：讓學(xué)生樂(lè)于接受開(kāi)放題

興趣是最好的老師，只有學(xué)生對(duì)開(kāi)放性的數(shù)學(xué)題型感興趣，才能夠投身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。由于開(kāi)放性的題型并沒(méi)有固定的答案，需要學(xué)生充分地發(fā)散思維，進(jìn)行多種方式的解答，因此，首先要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放習(xí)題有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)。初中數(shù)學(xué)老師可以在上課之前篩選一些具有開(kāi)放性的題目，上課的時(shí)候?qū)㈩}目展示給學(xué)生，讓學(xué)生獨(dú)立思考之后，進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)。在討論交流的過(guò)程中，每個(gè)學(xué)生把自己的解題思路講給組內(nèi)人員聽(tīng)，小組長(zhǎng)記錄，之后老師讓各組代表上講臺(tái)前闡釋本組的答案，讓其他小組的人員進(jìn)行補(bǔ)充及評(píng)價(jià)。實(shí)踐證明，這樣的授課方式會(huì)極大地激發(fā)學(xué)生解答數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題的興趣和熱情。當(dāng)然，在此過(guò)程中，初中數(shù)學(xué)老師一定要多鼓勵(lì)學(xué)生，不要急于斷定學(xué)生在解答過(guò)程中的錯(cuò)誤，給學(xué)生學(xué)習(xí)的勇氣和信心。這樣，學(xué)生就會(huì)在學(xué)習(xí)中保持積極樂(lè)觀的學(xué)習(xí)態(tài)度，從而樂(lè)于探究數(shù)學(xué)開(kāi)放性題。

（2）鋪階：讓學(xué)生主動(dòng)探究開(kāi)放題

由于不同年級(jí)的學(xué)生接受題目難度的程度不同，因此不同年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)老師一定要把握好“循序漸進(jìn)”的教學(xué)原則。

八年級(jí)的學(xué)生對(duì)開(kāi)放型習(xí)題有了一定的了解，老師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該逐漸給學(xué)生增加難度，增加新類型的開(kāi)放型習(xí)題。如在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何輔助線的前提下，要想該四邊形成為矩形，只需再加上的一個(gè)什么條件（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可）。這類題目可以發(fā)散學(xué)生的思維，思考題目的各種可能性，從而激發(fā)學(xué)生的探索欲。但是由于這類題目在七年級(jí)就有所涉及，因此學(xué)生可能感覺(jué)不到新穎，因此數(shù)學(xué)教師要緊緊抓住學(xué)生喜歡自我挑戰(zhàn)的心理，添加一些比較新穎又有一定難度的題目。

2.改變題型結(jié)構(gòu)，形式上變單一為多樣。

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