熊淑艷

摘 要 現階段我國高校積極探索高等教育大眾化的背景下的多元特色教育模式，我校近年探索“721”人才培養(yǎng)模式，卓越工程師培養(yǎng)計劃等有了一定的成果。改革教學模式和教學方法以提高學生的綜合素質及創(chuàng)新能力也是許多工作在教學一線的大學老師正在思考和研究的課題。筆者結合自己在指導青年教師授課及工科數學教學中運用反例法的一些體會，在這里與大家探討。

關鍵詞 工科數學 反例教學法 教學實例 實踐研究

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Research on the use of counter-examples Teaching

Method in Engineering Mathematics Teaching

XIONG Shuyan

（School of Science， Hubei University of Technology， Wuhan， Hubei 430068）

Abstract To explore the background of popularization of higher education in colleges and universities in our country at present stage under the mode of multiple characteristic education， our school in recent years to explore "721" personnel training mode， excellent engineer training program with certain achievements. Reform of teaching mode and teaching method to improve the students' comprehensive quality and innovative ability is also a lot of work in a line of university teacher is teaching and research topic. The author combines his engineering in guiding young teachers teaching and mathematics teaching， some experiences of using counterexample method， to discuss with you here.

Key words instance of engineering mathematics； counter-example； teaching method； teaching practice research

0 引言

數學中的反例，是相對于數學命題而言的具體的實際的例子，通常指數學命題不成立的例子。它是反駁與糾正錯誤的一種方法，其實也算是一種反證法。調查發(fā)現，目前大學數學教材中很少有反例，某些數學課堂讓學生感到枯燥無味的原因是太過程式化、老套及千篇一律，通常是照著教材講完定義講性質，然后再講定理，最后舉幾個正面例子，學生表面上掌握了知識，可心中卻有一些問題不知如何解決。其實一些老師也不愿意這樣做，想改變教學方式及方法，但我們的教材的編寫長期以來就是如此，使一些老師有“巧婦難為無米之炊”的感嘆。一般當一個數學問題提出后，它面臨著兩種抉擇：一是根據已知的公理、定義、定理等經過一系列的正確推理，推證命題成立；一是從一些跡象判斷該命題不成立，然后尋求一個滿足命題的條件，但使結論不成立的例證，從而否定這個命題，后者即為通常所說的反例。正如美國學者B.R.蓋爾鮑姆等人所指出的：“一個數學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇”。①這個比喻，形象地說明了“反例”在數學教學中起著重要的作用。理解反例在教學過程中的重要作用并在教學實踐中運用反例教學法，應該引起廣大一線數學教師的重視。

1 教學案例及體會

1.1 巧借反例指點相近易混概念迷津

極限概念教學一直以來是工科數學老師最頭痛的事，很多老師以為自己在講臺上條理清晰、頭頭是道，但學生的反映通常是一知半解。比如無窮大量與無界量，有的老師對學生解釋說：無窮大量就是絕對值無限增大的量，無界量就是你無法找到一個有界的范圍可以將它包含在其中，聽起來都對，可是學生卻無法區(qū)分兩者的不同，時間一長更容易混淆，根據定義學生一般會明白無窮大量必為無界量；但無界量不一定是無窮大量，老師通常卻不怎么好解釋。為此，可構造反例：函數 = 顯然是（，）上的無界函數，因為對于任意正整數， 都有 = 2，使得 （） = 2>。但當→時，它并非無窮大，對于正整數， >0， = [ + 1]，使得 （） = 0<。②

1.2 恰當運用反例防止命題的錯誤遷移

一般學生在遇到新問題時總會用定勢思維去思考解決，比如在學習“有界量與無窮小之積仍為無窮小”之后，我常常會問到：“有界量（0除外）與無窮大量之積仍為無窮大嗎？”不少學生不假思索回答是。理論上的解釋此時顯得蒼白無力，但一個生動的反例：當→0時，是無窮大，是有界量，而（） = 1。由于借用的是重要極限，學生學過之后能牢牢記住。

1.3 善于構造反例解釋原函數與導函數的某種性態(tài)關聯(lián)

高等數學以函數為研究對象，原函數與導函數的某種性態(tài)關聯(lián)常常是學生很感興趣的內容。比如可導奇（偶）函數的導函數為偶（奇）函數，導函數為奇函數時原函數為偶函數，但導函數為偶函數時原函數不一定為奇函數；同樣原函數為周期函數則導函數為周期函數，但導函數為周期函數原函數不一定為周期函數。這樣的結論學生很有興趣但長久之后容易模糊不清。以（）表示原函數，（）表示導函數，只需精心構造一個反例：（） = + 1，（）= 1，這兩個問題都能迎刃而解，由于反例很典型，順勢會激發(fā)學生的興趣，既讓學生記住了結論，又促使學生自己動手尋找更多類似的反例。

1.4 選擇典型反例讓學生深入理解數學定理及應用的局限性

在定理的教學中，選擇生動實際的反例澄清錯誤是簡潔高效的做法，特別是典型反例可用來說明定理的使用范圍。促使學生在學習過程中形成嚴密推理、重視條件的好習慣。Rolle定理的三個條件只是充分條件，不是必要條件，但這三個條件都是很重要的，缺了其中一個，結論就可能不成立。反例：函數（）= ，[0，1]不滿足條件（3）； 函數（） =∣∣，[，1]不滿足條件（2）；均無水平切線。又如應用洛必達法則求極限時，特別要引起注意的是洛必達法則只是充分條件的法則，當導數之比的極限不存在時不能斷定原來的函數之比的極限也不存在。反例：當→時，/ →1，但導數之比 + 1的極限不存在。

2 積累和選編反例

教學反例不像普通正面的例題那樣隨處可尋，臨時構造反例也會顯得困難重重，甚至由于教師的臨時發(fā)揮不好會給出一個錯誤的例子，所以長期注意積累和選編反例是一個數學教師重視教學藝術的品格表現。一般可從如下幾個方面進行思考：（1）特例法。（2）類比法。（3）性質法。③

3 放手鼓勵學生構造反例，培養(yǎng)創(chuàng)新品質和求異思維

教學中通過講解反例及解答學生的疑難促進學生深入理解概念并多角度地思考問題，學會發(fā)現問題、討論問題、解決問題。恰當引入反例，體驗反例構造的過程 ，不僅能開闊眼界、拓寬思路 、活躍思維，還能進一步提高學生分析問題和解決問題的能力。教學實踐表明，反例的出現可以迅速澄清學生對數學概念、定理及性質的模糊認識 ，深入透徹地理解所學內容，進而消除學生對高等數學的畏難情緒，增強學生學習數學的興趣。但同時我們應該注意教學的主次關系，舉反例重在明辯是非，反例只是作為圍繞主要教學內容而進行的有效的輔助方法和手段。

4 結束語

綜上所述，數學的發(fā)展與批判和反駁分不開，在構造反例的過程中學生的創(chuàng)造性得到了最大限度的發(fā)揮，通過反例教學法可實現教學相長，師生互促互進并使思維變得活躍、流暢、獨特和富有創(chuàng)新性。

注釋

① 廖仲春.高等數學教學中反例的作用.長沙航空職業(yè)技術學院學報，2006（2）：15-16.

② 吳志華.淺談反例在高等數學教學中的作用及構造.牡丹江教育學院學報，2008（3）：87-88.

③ 曹明響.淺談反例在高等數學教學中的作用.合肥師范學院學報，2010（3）：15-16.