譚萍

摘 要：求二面角的平面角的大小，關(guān)鍵是找出或作出二面角的平面角。

關(guān)鍵詞：二面角；平面角；轉(zhuǎn)化

求二面角的平面角的大小是高中立體幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)。解決有關(guān)二面角問(wèn)題的關(guān)鍵是找出或作出二面角的平面角，通過(guò)找出或作出二面角的平面角，使空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決。學(xué)生往往不是不會(huì)計(jì)算，而是找不到二面角的平面角。

作二面角的平面角，常用方法一般有三種：（1）定義法；（2）三垂線定理法；（3）垂面法。

下面看幾例具體的例子：

一、根據(jù)二面角的平面角的定義直接找出或作出二面角的平面角

例1.二面角α-l-β為60°，A點(diǎn)和B點(diǎn)分別在α、β內(nèi)，且到棱l的距離分別是2和4，若線段AB=10，試求：

（1）直線AB與棱所成的角；

（2）直線AB與平面α所成的角。

分析：求解此題，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并將其構(gòu)造到某一個(gè)三角形中，進(jìn)而應(yīng)用平面幾何的知識(shí)求解。

由題意，在面α內(nèi)作AD⊥l，在面β內(nèi)作BE⊥l，作DC■EB，聯(lián)結(jié)BC、AC，易知CD⊥l，則∠ADC為二面角α-l-β的平面角，等于6°，如圖1再進(jìn)一步求解就比較容易了。

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定義法：過(guò)棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，得到二面角的一個(gè)平面角。

如圖2，以二面角α-a-β的棱上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在平面α、β內(nèi)分別引垂直于棱a的射線OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。

二、三垂線定理法

例2.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD與底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥SC于E，聯(lián)結(jié)ED。

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∵SA⊥底面ABCD，

∴BA為SB在底面ABCD內(nèi)的射影。

∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。

∴∠SBA為平面SBC與平面ABCD所成的角，

即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。

設(shè)SA=a，則SB=SD=■a，

則△SCB≌△SCD.

∵BE⊥SC，則ED⊥SC，

∴∠BED為二面角B-SC-D的平面角.

∵SB=■a，BC=a，SC=■a

∴BE=DE=■a

由余弦定理得cos∠BED=-■

∴∠BED=120°。

即二面角B-SC-D的大小為120°。

總之，通過(guò)以上舉例分析可知，要求二面角的平面角，首先應(yīng)利用定義直接找或作出二面角的平面角，當(dāng)直接作不易求解時(shí)，再通過(guò)作棱的垂面作二面角的平面角。

（作者單位 湖北省建始縣中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）

？誗編輯 郭曉云