詹光燦

摘 要：在數(shù)學(xué)問題的解決中，有的問題直接尋找解決的方法比較困難，有時(shí)甚至無法找到，這就需要我們從間接的途徑去解決問題。間接的思維方法就是從問題的側(cè)面或反面對(duì)問題進(jìn)行思考，從而使問題獲得解決，本文就間接思維中幾種常見的思維模式之一逆向思維的應(yīng)用進(jìn)行論述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題；逆向思維；補(bǔ)集；待定系數(shù)

逆向思維是相對(duì)于習(xí)慣思維的另一種思維，它指在解決問題的過程中，能主動(dòng)改變思維方向去考慮問題，從已有思路的相反方向去考慮問題。逆向思維擺脫了固有的思維定式，這種“倒過來”思考的數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)解決問題往往能起到突破性的效果。逆向思維表現(xiàn)為以下幾種類型：

一、對(duì)定義、法則、公式，以及某些定理的逆向應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)問題情境

例1、設(shè)a>0，且a≠1，f（x）=求證：f（n）>n （ n ）

這是一道與自然數(shù)有關(guān)的命題，常規(guī)的思路是用數(shù)學(xué)歸納法證明，但證明過程冗長，十分繁難。若注意到f（n）中的（n）可逆用等比數(shù)列的求和公式，便使問題簡明，快捷地得以解決。

在解答問題的過程中要善于抓住問題的特征，展開逆向聯(lián)想，這是實(shí)現(xiàn)逆用公式的關(guān)鍵所在。是對(duì)等比數(shù)列的求和公式的逆用。

例2，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足acos2A+bsin A=1，

acos2B+bsinB=1，acos2c+bsinc=1，試判斷三角形的形狀。

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的形式化特點(diǎn)，數(shù)學(xué)公式的繁多，我們?cè)谶M(jìn)行公式教學(xué)時(shí)，不要把記憶公式作為學(xué)習(xí)的最終目的，靈活使用、廣泛聯(lián)想、大膽變形才是教學(xué)中一個(gè)重要的教學(xué)任務(wù)。對(duì)定義、法則、公式，以及某些定理的逆向應(yīng)用，常見的有加、減運(yùn)算法則的互逆使用；乘、除運(yùn)算法則的互逆使用；分子有理化和分母有理化的互逆思維，對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)互換等。

二、逆向處理題設(shè)條件與結(jié)論，改變問題情景

逆向處理題設(shè)條件與結(jié)論，通常是從條件和結(jié)論的反面入手去思考，或?qū)l件與結(jié)論進(jìn)行否定，如補(bǔ)集法，反證法等；或假設(shè)結(jié)論已知，或已經(jīng)存在，再進(jìn)行探索，如同一法，待定系數(shù)法等。

1.補(bǔ)集法

例3、兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q在曲線y=x2移動(dòng)，不管如何選擇位置它們總不能關(guān)于直線y=m（x-3）對(duì)稱，求m的取值范圍

思路分析 原命題不易正面求解，則可考慮反面求解。即先求曲線y=x2上關(guān)于直線y=m（x-3）有對(duì)稱的相異兩點(diǎn)時(shí)m的取值范圍A，然后再求A在全集I=R上的補(bǔ)集，若m=0，曲線y=x2上沒有關(guān)于y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)；若m≠0，設(shè)與y=m（x-3）.垂直的直線L：y=-x+b，代入y = x2.得x2+x – b=0 ，據(jù)此L與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線y=m（x-3）對(duì)稱的先要條件為：

例：用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)?？紤]末位數(shù)應(yīng)安排0、2、4中任一個(gè)，則全集的情況共為，但當(dāng)2或4有末位而0在首位時(shí)不適合，即應(yīng)除去的補(bǔ)集情況共有種，故所求總數(shù)為-=312種

2.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想，這個(gè)方法將待定的未知數(shù)與已知數(shù)據(jù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中，待定系數(shù)法常用于確定函數(shù)解析式，曲線方程，因式分解和復(fù)數(shù)的代數(shù)形式等。

例4，已知方程x4-10x3+36x2-52x+20=0有一根為3+i，解這個(gè)方程

此題根據(jù)實(shí)系數(shù)方程根共軛成對(duì)原理，方程必有另一根3-i

于是設(shè)x4-10x3+36x2-52x+20

=（x-3-i）（x-3+i）（x2+bx+c）

令x=0，可得c=2；令x=1，可得b=-4

所以x2+bx+c=x2-4x+2，解方和得x3-4=2

隨著人們對(duì)待定系數(shù)法認(rèn)識(shí)的深入，待管系數(shù)法在解決不等式問題，最值問題以及線性規(guī)劃問題時(shí)，也獲得了廣泛的應(yīng)用。

3.同一法

在證明某個(gè)問題時(shí)，如果直接證明比較困難，而所要證明的結(jié)論是唯一確定的，可用同一法間接證明，先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，再證明所構(gòu)造的對(duì)象確實(shí)具有題目給出的性質(zhì)，又由于該數(shù)學(xué)對(duì)象唯一確定，可知所構(gòu)造的對(duì)象與所要證明的對(duì)象實(shí)際上是同一的，從而證得命題。

同一法的實(shí)質(zhì)是通過證明逆命題的成立來證明原命題。這就要求原命題的逆題成立。而且滿足條件的對(duì)象又唯一時(shí)才能使用。

4. 常量，變?cè)嫦?，化歸問題模式

在解決有關(guān)變?cè)獑栴}時(shí)，由于思維定式的影響，人們總是習(xí)慣于抓住變?cè)环?，這在很多情況下是正確的，但在有的情況下會(huì)產(chǎn)生難以克服的障礙，于是要考慮常量與變量換位的策略，這種類型的題目主要集中于方程，不等式和代數(shù)式的化簡，變形等方面。

例6、解方程

在此例中，直接解三次方程不容易。逆向思維——因?yàn)?，把看作常量，看作變量，即令，方程可變?yōu)椋础?/p>

5. 逆推法，構(gòu)建問題模式

從結(jié)論出發(fā)，由果索因，轉(zhuǎn)化結(jié)論，逐步倒推，追溯到題設(shè)條件或已證命題為止，以求問題的解決，這種方法稱為逆推法。

例8、甲、乙、丙三箱內(nèi)共有小球384個(gè)，先從甲中取若干個(gè)球放入乙和丙中，所放球數(shù)為乙、丙原箱內(nèi)球數(shù)，繼而從乙中取若干個(gè)球放入甲和丙中，放法同前，照此法，再將丙中球若干個(gè)放入甲、乙箱內(nèi)，結(jié)果三個(gè)箱內(nèi)球數(shù)相等，求原來各箱的球數(shù)。

此題正向思維須用方程的思想，而且會(huì)陷入復(fù)雜的分析，而用逆向推理卻可將問題簡單化。

逆向推理在中學(xué)數(shù)學(xué)的幾何證明中是常用的分析方法。

數(shù)學(xué)思想方法，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)精髓的濃縮提煉，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)中普遍適用的方法，掌握數(shù)學(xué)思想方法必須成為數(shù)學(xué)課程的重要目的，它是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的基礎(chǔ)，是發(fā)展學(xué)生智能和創(chuàng)新意識(shí)的關(guān)鍵所在也是衡量一個(gè)人基本素養(yǎng)的重要指標(biāo)。

本文就數(shù)學(xué)思想方法中的一個(gè)細(xì)微的部分逆向思維作一個(gè)粗淺的歸納。來指導(dǎo)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。