史洪波

【摘要】在高中階段，我們不可避免的會(huì)學(xué)習(xí)立體幾何，立體幾何作為我們高考中比較重要的一門學(xué)科。它與向量運(yùn)算函數(shù)、解析幾何和三角運(yùn)算有著非常緊密的聯(lián)系，同時(shí)它也是近年高中大大小小考試的新寵，但是它也是高中時(shí)期的一個(gè)難點(diǎn)，空間解析幾何這門學(xué)科中的線面關(guān)系和向量運(yùn)算是立體幾何問題解決的一個(gè)有利途徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 立體幾何 解析方法

【中圖分類號(hào)】G633.63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）02-0150-02

夾角、距離、垂直、平行等是立體幾何中需要解決的核心問題。一般的解決立體幾何方法主要根據(jù)定理和概念、憑借各種幾何圖形的不同分割、利用邏輯思維對(duì)空間的理解作為考查點(diǎn)，需要考生判斷它們的潛在意義。關(guān)系、指示代詞、一詞多義也是各類考試中常客。面對(duì)這類問題我們要特別注意關(guān)系和指示代詞的潛在意義。如碰到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，那我們更該注意其中的指示代詞。

1.利用函數(shù)思想解決立體幾何問題

所謂函數(shù)的思想，就是根據(jù)變化和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，鉆研和分析立體幾何數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)之間的關(guān)系或是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)等價(jià)的圖形和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化為待求問題，進(jìn)而解決問題。函數(shù)的思想其實(shí)就是對(duì)函數(shù)基本概念的理解，用于指導(dǎo)學(xué)生解題，經(jīng)常利用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題，會(huì)對(duì)學(xué)生遇到的幾何問題有很大的提升，使他們的邏輯思維能力得到鍛煉；對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在幾何解析過程中的作用主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是在幾何問題的分析中，通過建立函數(shù)之間的關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把待解決問題轉(zhuǎn)化為分析相關(guān)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化繁為簡的目的；二是利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，解函數(shù)值、證明不等式、解方程以及分析相關(guān)參數(shù)的取值范圍等幾何或是數(shù)學(xué)問題。

例題分析：如圖， PA垂直于圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)∠BAC=？琢，PA=AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。

分析：異面直線AC和PB之間的距離可以看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)的最小值。

解析：在PB上任取一點(diǎn)M，作MD上AC于D，MH上AIB于H，

設(shè)MH=x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD，

MD2=x2+[（2r-x）sin ？琢]2

=（sin2 ？琢+1）x2-4rsin2？琢x+4r2sin2？琢

=（sin2？琢+1）[x-2rsin2？琢/1+sin2？琢]2+4rsin2？琢x/1+sin2？琢

即當(dāng)x=2rsin2？琢/1+sin2？琢?xí)r，MD取最小值，■為兩異面直線的距離。

對(duì)以上題型的分析：本題的思路是將立體幾何中的“兩條異面直線之間的距離”轉(zhuǎn)化成“求兩條異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)定匹配的變量將幾何問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般而言，針對(duì)求最小值、最大值的實(shí)際問題，首先應(yīng)該將文字解釋轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)術(shù)語后，然后再建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和對(duì)用的函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的性質(zhì)、重要的不等式和相關(guān)代數(shù)和幾何知識(shí)進(jìn)行解答。

2.利用空間幾何思想解決立體幾何中平行與垂直的問題

空間幾何圖形的平行關(guān)系有線與面平行、線與線平行、面與面平行?？梢苑謩e轉(zhuǎn)化為向量平行、向量共面和垂直問題來解決。

設(shè)平面？仔的法向量為■，直線？謀的方向向量為■，兩直線 ？謀m和？謀n的方向向量為■和■。平面？仔1和？仔2的法向量為■和■，則上述問題的向量之間的關(guān)系可以表示為：

？謀m//？謀n？圳■//■？圳k■，k∈R（線線平行）；

？謀//？仔？圳■⊥■=0，或■與？仔內(nèi)的兩個(gè)相交向量■、■共面。（線面平行）；

？仔1//？仔2？圳■//■？圳m2=k■，k∈R（面面平行）；

空間幾何圖形的垂直關(guān)系有線與面垂直、線與線垂直、面與面垂直。我們可以分別把它們轉(zhuǎn)化為向量垂直和向量平行問題來解決。

？謀⊥？仔？圳■//■？圳■=k■，k∈R，且■與？仔內(nèi)的兩個(gè)相交向量■、■垂直。即■·■=0，■·■=0（線面垂直）；

？謀m⊥？謀n？圳■⊥■？圳■·■=0（線線垂直）；

？仔1⊥？仔2？圳■⊥■？圳■·■=0（面面垂直）。

3.利用空間幾何思想來分析空間圖形間的距離和夾角

二面角的平面角、立體幾何中的異面直線之間的夾角、直線與相應(yīng)平面的夾角的確立在向量運(yùn)算中我們可以按照下面的方法來分析。

兩直線？謀m和？謀n的方向向量■和■的夾角（一般是指銳角）叫做兩條直線的夾角。根據(jù)公式cos？茲=cos■，■=■確定。

設(shè)直線？謀與它在平面？仔上的投影夾角為？茲。因?yàn)?？?■-■，■，所以sin？茲=cos■，■=■。

設(shè)兩平面的夾角為？茲，兩平面？仔1和？仔2的法向量為■和■當(dāng)0≤■，■≤■時(shí)，兩平面的夾角為■，■，當(dāng)■<■，■≤？仔時(shí)，兩平面的夾角為？仔-■，■。所以cos？茲=cos■，■=■。

平面外一點(diǎn)到平面的距離：設(shè)P為平面？仔外一點(diǎn)，■為的？仔法向量，A為平面內(nèi)任一點(diǎn)，■與？仔的夾角為d=■Sin？漬=■cos■，■=■。則d=■Sin？漬=■cos■，■=■。即■在■上投影的絕對(duì)值。

異面直線問的距離：設(shè)異面兩直線？謀m和d=■的方向向量為■和■。為與？謀m、？謀n垂線共線的向量。由■⊥■1？圳■·■1=0，■⊥■2？圳■·■2=0。解得■。

在？謀m和？謀n上分別取點(diǎn)A和B。則■在■上投影的絕對(duì)值即為所求即d=■。

4.利用空間幾何思想來解決立體幾何中動(dòng)態(tài)的問題

在我們遇到的立體幾何問題中，除了一成不變的面與面、線與面、線與線間的垂直、平行、距離、夾角間的常見問題外，偶爾還會(huì)遇到很多關(guān)于“動(dòng)態(tài)”的線、點(diǎn)、面這些元素的問題。相對(duì)那些常規(guī)問題，這些問題經(jīng)常更具有挑戰(zhàn)性和靈活性。利用空間幾何思想我們可以使這些看上去無法入手的立體幾何復(fù)雜的問題迎刃而解。

5.總結(jié)

根據(jù)以上分析可以看出，我們談?wù)摰挠每臻g解析幾何的思想即向量方法來處理立體幾何問題是非常方便和有效的。其中關(guān)鍵的部分是根據(jù)幾何圖形中的平行、垂直、相交等關(guān)系，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，可以利用立體幾何圖像中所涉及的東西表示向量，從而使立體幾何問題中的線與線之間的關(guān)系和線與面之間的關(guān)系，以及距離和夾角問題適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化為向量間的相應(yīng)關(guān)系處理，最后再把向量之間的運(yùn)算結(jié)果來表示相應(yīng)的立體幾何問題。

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