唐治 潘一山 李忠華 王麗

摘要：為得出巷道圍巖應(yīng)力空間分布特征，以圓形斷面巷道為例，采用復(fù)變函數(shù)方法得出其應(yīng)力解，并把映射空間解轉(zhuǎn)化為巷道所在空間解后對巷道周圍巖體應(yīng)力場進(jìn)行仿真分析，得出了巷道周圍巖體應(yīng)力場分布直觀圖，可方便直觀的了解巷道圍巖任意位置應(yīng)力分布情況。并考慮不同半徑、不同側(cè)壓系數(shù)對圍巖應(yīng)力場的影響，得出了：圓形巷道圍巖應(yīng)力峰值及其出現(xiàn)方向與半徑無關(guān)；側(cè)壓系數(shù)小于1/3時(shí)，頂?shù)装彘_始產(chǎn)生拉應(yīng)力，大于3時(shí)兩幫圍巖開始產(chǎn)生拉應(yīng)力；以及環(huán)向、徑向、剪切應(yīng)力及最大、最小應(yīng)力的變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：圓形巷道；復(fù)變函數(shù)；應(yīng)力空間分布；計(jì)算仿真

中圖分類號：U451文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：16744764（2014）03003707

Simulation Analysis of Spatial Distribution

of Roadway′s Surrounding Rock Stress

Tang Zhia,Pan Yishana,Li Zhonghuaa,Wang Lib

(a.School of Mechanics and Engineering;

b.College of Mechanical Engineering,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,Liaoning,P.R.China)

Abstract:To get the spatial distribution characteristic of roadway's surrounding rock stress, circular section roadway was taken as a case study. The solution of stress was got by using complex function method, and roadway's surrounding rock stress field was analysed after the solution of mapping space was transformed into the solution of roadway space. As a result, the visual diagram of stress field distribution of roadway's surrounding rock was obtained, which could describe intuitively stress distribution of roadway's surrounding rock at any position. Considering the influence of different radius and side pressure coefficients on surrounding rock stress field, the following conclusions have been obtainded: the peak value and direction of circular roadway's surrounding rock stress has nothing to do with the radius; when side pressure coefficient is less than 1/3,the roof can produce tensile stress; when side pressure coefficient is more than 3, the surrounding rock in two sides can produce tensile stress. And the change rule of hoop stress, radial stress, shear stress and the maximum and minimum of stress have also been generated.

Key words:scircular roadway;complex function; spatial distribution of stress; computational simulation

隨煤礦采深不斷增加，巷道圍巖穩(wěn)定性在煤礦開采工程中越來越重要，巷道圍巖應(yīng)力分布特征是研究圍巖穩(wěn)定性和安全性的基礎(chǔ)，目前針對巷道圍巖應(yīng)力分布的研究方法主要有井下現(xiàn)場觀測、實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)、數(shù)值模擬和理論研究等。巷道圍巖應(yīng)力理論解析雖然對問題進(jìn)行了簡化，但對解析結(jié)果分析得出的規(guī)律性認(rèn)識對研究圍巖應(yīng)力分布有重要意義，為此，眾多學(xué)者展開了大量研究，且取得了不少成果［14］。

對圓形和橢圓形斷面巷道用Cauchy積分法或冪級數(shù)法均可求得解析函數(shù)［57］，用這兩種方法對復(fù)雜斷面則不易求解。復(fù)變函數(shù)被引入平面彈性問題后能得出復(fù)雜斷面應(yīng)力解析解［810］，現(xiàn)階段對映射函數(shù)的研究相對成熟［1113］。王潤富［14］、劉金高等［15］利用復(fù)變函數(shù)法對馬蹄形和梯形孔口的應(yīng)力進(jìn)行分析,湯澄波等［16］利用復(fù)變函數(shù)法對高地應(yīng)力區(qū)天幕線拱形硐室斷面圍巖應(yīng)力解析，但均得出隱函數(shù)解析式。趙凱等［17］為簡化計(jì)算,利用多角形法得出映射函數(shù)且只取3項(xiàng)映射函數(shù)求解了矩形硐室圍巖應(yīng)力。祝江鴻［18］用復(fù)變函數(shù)求出了表示任意斷面圍巖應(yīng)力的兩個(gè)解析函數(shù)通式。呂愛鐘等［1920］、張路青等［21］將被積函數(shù)用一個(gè)新的級數(shù)來代替進(jìn)行解析。

〖=D(〗唐治，等：巷道圍巖應(yīng)力空間分布仿真分析〖=〗然而這些研究一般只給出映射空間應(yīng)力表達(dá)式，或只對巷道邊界應(yīng)力分布進(jìn)行分析，對巷道周圍不同位置巖體的受力情況缺乏全面深入直觀的了解。所以，以圓形巷道為例，采用復(fù)變函數(shù)方法得出其應(yīng)力解，并把映射空間解轉(zhuǎn)化為巷道所在空間解，對巷道周圍巖體應(yīng)力場進(jìn)行仿真分析，可以方便直觀的了解巷道圍巖任意位置應(yīng)力分布情況，并考慮不同半徑、不同側(cè)壓系數(shù)對應(yīng)力場的影響。

1巷道圍巖彈性應(yīng)力解析

11模型建立

根據(jù)復(fù)變函數(shù)和平面彈性力學(xué)理論可知，復(fù)變函數(shù)可對復(fù)雜孔口平面問題求解。所以，以最簡單的圓形巷道為例來闡述巷道圍巖應(yīng)力場的復(fù)變函數(shù)解法。圓形斷面巷道計(jì)算模型如圖1所示，設(shè)圓形巷道半徑為r0。模型無支護(hù)阻力，不計(jì)體力，遠(yuǎn)場鉛垂應(yīng)力為σv，水平應(yīng)力為σh=kσv，k為側(cè)壓系數(shù)。

圖1巷道分析模型

12公式推導(dǎo)

以圓形巷道中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，采用無限大彈性體單孔口問題的一般變換函數(shù)形式z=ω(ζ)=R1ζ+∑nk=0ckζk把圍巖在z平面上（即xy面上）所占的區(qū)域變換為平面上的所謂“中心單位圓”上（它的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)=0，而半徑等于1）。在大多數(shù)情況下，級數(shù)中只須取很少幾項(xiàng)就足夠精確，因是計(jì)算最簡單的圓形巷道［22］，所以取n=0，c0=0，R為實(shí)數(shù)，則可得出保角變換公式為z=Rζ。

圓形斷面巷道圍巖應(yīng)力公式推導(dǎo)思路如下：

第1步：將z=x+iy，ζ=ρeiφ代入保角變換公式可得出

x2+y2=R/ρ2（1）

ρ=1時(shí)對應(yīng)z平面上圓形巷道邊界，即r=r0，所以R=r0，得保角變換公式為

z=ω(ζ)=r0/ζ（2）

在z平面上角度以順時(shí)針為正，在ζ平面上角度以逆時(shí)針為正。

由式（2）可得：ω(ζ)，ω′(ζ)，ω(ζ)，ω′(ζ)，ω(ζ)/ω′(ζ)，ω(ζ)/ω′(ζ)，ω(σ)，ω′(σ)，ω(σ)，ω′(σ)；ω(σ)/ω′(σ)，ω(σ)/ω′(σ)。

第2步：遠(yuǎn)場鉛垂應(yīng)力為σv、水平應(yīng)力為σh=kσv，Xs、Ys分別為外力在巷道邊界處的水平方向力、垂直方向力；Px、Py分別為巷道邊界處的水平方向邊界力、垂直方向邊界力。因無支護(hù)阻力，所以Xs=Ys=0，Px=Py=0，則可確定邊界條件f0。

f0=－r0σv（1+k）/σ+1－kσ/2（3）

f0=－r0σv1+kσ+（1－k）/σ/2（4）

第3步：把φ0(ζ)=∑+∞k=1akζk、φ′0(ζ)=∑+∞k=1kakζk－1及式（2）推導(dǎo)結(jié)果代入

φ0(ζ)+12πi∫σω(σ)ω′(σ)φ′0(σ)σ－ζdσ=12πi∫σf0σ－ζdσ和ψ0(ζ)+12πi∫σω(σ)ω′(σ)φ′0(σ)σ－ζdσ=12πi∫σf0σ－ζdσ可得：

φ0(ζ)=－r0σv1－kζ/2（5）

ψ0(ζ)=－r0σv1+kζ+1－kζ3/2（6）

第4步：由Px=Py=0，φ(ζ)=αω(ζ)+φ0(ζ)，ψ(ζ)=α1+iβ1ω(ζ)+ψ0(ζ)，可得出：

φ(ζ)=r0σv（1+k）/ζ－21－kζ/4（7）

ψ(ζ)=r0σv（1－k）/ζ－1+kζ－1－kζ3/2（8）

第5步：由式（8）可得出Φ(ζ)=φ′(ζ)/ω′(ζ),Φ′(ζ)，Ψ(ζ)=ψ′(ζ)/ω′(ζ)。即可得圓形斷面巷道圍巖應(yīng)力分量的曲線坐標(biāo)表達(dá)式

σφ/σv=（1+k）(1+ρ2)/2+

（1－k）(1+3ρ4)cos 2φ/2（9）

σρ/σv=(1+k)(1－ρ2)/2－

(1－k)(1－4ρ2+3ρ4)cos 2φ/2（10）

τρφ/σv=－(1－k)1+2ρ2－3ρ4sin 2φ/2（11）

在z平面上直角坐標(biāo)為(x,y)，極坐標(biāo)為(r,θ)，即x=rcos θ，y=rsin θ。由保角變換得：r=r0/ρ，θ=－φ 。然后代入式（9)~(11），得z平面上極坐標(biāo)表示的巷道圍巖應(yīng)力分量表達(dá)式：

σθ=1+k21+r20r2+1－k21+3r40r4cos 2θσv（12）

σr=

1+k21－r20r2－1－k21－4r20r2+3r40r4cos 2θσv（13）

τrθ=1－k21+2r20r2－3r40r4sin 2θσv（14）

得出結(jié)果與傳統(tǒng)應(yīng)力函數(shù)解法結(jié)果一致，這也說明了復(fù)變函數(shù)解法求解巷道圍巖應(yīng)力場的可行性，為進(jìn)一步求解非圓形巷道圍巖應(yīng)力場提供參考。

2算例

以下分析把σr/σv、σθ/σv、τrθ/σv、σmax/σv、σmin/σv分別定義為徑向、環(huán)向、剪切、最大主應(yīng)力、最小主應(yīng)力的應(yīng)力集中系數(shù)。

21巷道邊界應(yīng)力計(jì)算與分析

把r=r0代入式（12)~(14）可得出圓形巷道邊界應(yīng)力為：σr=0，τrθ=0及

σθ=1+k+21－kcos 2θσv（15）

由式（15）可知：圓形巷道邊界的徑向應(yīng)力和剪切應(yīng)力為零，環(huán)向應(yīng)力隨側(cè)壓系數(shù)k和位置角度θ的變化而變化，與巷道半徑無關(guān)。

不同側(cè)壓下巷道邊界環(huán)向應(yīng)力在不同角度的分布如圖2所示。

圖2圓形巷道邊界應(yīng)力分布規(guī)律

由式（15）及圖2可知：

1）當(dāng)k=1時(shí)，巷道圍巖環(huán)向應(yīng)力集中系數(shù)為2，為壓應(yīng)力，與角度θ無關(guān)。如2σv<03σc（σc為巖塊抗壓強(qiáng)度），圍巖處于穩(wěn)定，不會出現(xiàn)巖射和巖層剝落破壞，巷道不用支護(hù)。

2）當(dāng)0

3）當(dāng)k>1時(shí)，從巷道兩幫到頂?shù)装鍛?yīng)力逐漸增大；頂?shù)装逯胁繎?yīng)力最大，最大集中系數(shù)為3k－1，隨k增大而增大；巷道兩幫中部應(yīng)力較小，最小應(yīng)力集中系數(shù)為3－k，隨k增大而減小；k>3時(shí)兩幫圍巖開始產(chǎn)生拉應(yīng)力；13時(shí)，巷道兩幫巖體先被壓壞或頂?shù)装鍘r體先被拉壞。

4）在30°、150°、210°、330°時(shí)，應(yīng)力集中系數(shù)為2，與側(cè)壓系數(shù)大小無關(guān)。

22巷道沿鉛垂線θ=π/2的應(yīng)力計(jì)算與分析

因圓形巷道頂?shù)装寤騼蓭蛻?yīng)力較為集中，所以考慮不同側(cè)壓和半徑對兩幫及頂?shù)装鍛?yīng)力影響。以半徑為25 m的巷道在不同側(cè)壓系數(shù)下沿鉛垂線θ=π/2的應(yīng)力分布為例研究側(cè)壓系數(shù)對圍巖應(yīng)力影響，應(yīng)力分布規(guī)律如圖3所示。以側(cè)壓系數(shù)為4的情況下對不同巷道半徑沿鉛垂線θ=π/2的應(yīng)力分布為例研究半徑對圍巖應(yīng)力影響，應(yīng)力分布規(guī)律如圖4所示。圖3、4中應(yīng)力集中系數(shù)是指圖1中巷道頂板上方的一行黑色單元的受力情況。正為壓應(yīng)力，負(fù)為拉應(yīng)力。

圖3沿鉛垂線應(yīng)力分布規(guī)律

由圖3可知：

1）巷道頂板環(huán)向應(yīng)力峰值隨側(cè)壓的增加而增加，隨離巷道距離增加而減小，最后趨于側(cè)壓力。側(cè)壓系數(shù)較小時(shí)，巷道頂板產(chǎn)生拉應(yīng)力。環(huán)向應(yīng)力對巷道影響范圍一般在1~15 m，隨側(cè)壓增大而增加。

2）側(cè)壓系數(shù)較小時(shí)，徑向應(yīng)力隨離巷道距離增加而增加，最后趨于遠(yuǎn)場鉛垂應(yīng)力。側(cè)壓系數(shù)較大時(shí)，垂直應(yīng)力隨離巷道距離增加先增后減，最后趨于遠(yuǎn)場鉛垂應(yīng)力。

圖4不同半徑下應(yīng)力分布規(guī)律

由圖4可知：

1）巷道頂板環(huán)、徑向應(yīng)力峰值與半徑無關(guān)。但徑向應(yīng)力峰值距巷道邊界距離隨離半徑增大而增加。巷道半徑越大，圍巖受影響范圍越大。

2）不同巷道半徑的環(huán)、徑向應(yīng)力變化規(guī)律相似，隨距巷道邊界距離增加，環(huán)向應(yīng)力集中系數(shù)減小，徑向應(yīng)力先增后減。

3巷道圍巖應(yīng)力分布特征

31不同側(cè)壓系數(shù)下圍巖應(yīng)力分量分布特征

以圓形巷道中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，巷道高方向?yàn)閥軸，寬方向?yàn)閤軸，巷道圍巖單元在xy平面上對應(yīng)點(diǎn)為（x=rcos θ,y=rsin θ）。取巷道半徑25 m為例，代入式（12)~(14）可得巷道圍巖在不同側(cè)壓系數(shù)下的應(yīng)力集中系數(shù)表達(dá)式。體力不計(jì)情況下，側(cè)壓系數(shù)小于1可等效為是把側(cè)壓系數(shù)大于1模型旋轉(zhuǎn)90°，因此只分析側(cè)壓系數(shù)大于1的情況，對側(cè)壓系數(shù)為2和4為例進(jìn)行分析，得出不同位置圍巖應(yīng)力分布如圖5所示。

從圖5可知：

1）可以直觀看到不同側(cè)壓下巷道圍巖任意位置的應(yīng)力分量大小情況。

2）各側(cè)壓系數(shù)下環(huán)向、徑向、剪切應(yīng)力均分別有相同的變化規(guī)律。

3）相同半徑上的圍巖環(huán)向應(yīng)力從頂?shù)装宓絻蓭椭饾u減小，頂?shù)装瀛h(huán)向應(yīng)力峰值隨側(cè)壓系數(shù)增大而增加；側(cè)壓系數(shù)較大時(shí)，兩幫環(huán)向應(yīng)力為拉應(yīng)力。

4）相同半徑上的圍巖徑向應(yīng)力從頂?shù)装宓絻蓭陀兄饾u增大趨勢。頂板上方和底板下方，一定范圍內(nèi)隨離巷道距離增加，徑向應(yīng)力有先增后減變化規(guī)律。兩幫隨離巷道距離增加徑向應(yīng)力增加。

5）相同半徑上的圍巖剪切應(yīng)力絕對值從兩幫到頂?shù)装逵邢仍龊鬁p變化規(guī)律，在直線x=±y上剪切

圖5圍巖應(yīng)力分量分布規(guī)律

應(yīng)力絕對值最大，x、y軸上最小。

32不同半徑下圍巖應(yīng)力分量分布特征

取側(cè)壓系數(shù)為4，以巷道半徑25、35 m為例進(jìn)行分析，得出不同位置圍巖應(yīng)力分布，半徑為25 m的應(yīng)力分布情況如圖5（a）（c）（e），半徑為35 m的巷道應(yīng)力分布如圖6所示。由圖5、6可知：圖6圍巖應(yīng)力分量分布規(guī)律

1）可以直觀看到不同半徑巷道圍巖任意位置的應(yīng)力分量大小情況。

2）巷道圍巖環(huán)向、徑向、剪切應(yīng)力峰值及其變化趨勢與半徑無關(guān)。

3）隨半徑增加，巷道兩幫徑向、環(huán)向應(yīng)力較小范圍、頂?shù)装瀛h(huán)向應(yīng)力較大范圍、峰值距巷道邊界距離、圍巖受影響范圍均增加。

4）徑向、環(huán)向應(yīng)力有對稱變化特征，剪切應(yīng)力有反對稱特征。

33圍巖極值應(yīng)力分布特征

把式（11）~（13）代入極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)變換公式，得

σx=σrcos2θ+σθsin2θ－2τrθcos θsin θ，

σy=σrsin2θ+σθcos2θ+2τrθcos θsin θ，

τxy=(σr－σθ)cos θsin θ+τrθ(cos2θ－sin2θ)。

然后把σx、σy、τxy代入平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力求解公式

σmax

σmin=σx+σy2±σx-σy2+τ2x

可求得圓形巷道圍巖任意位置的最大、最小應(yīng)力。以側(cè)壓系數(shù)為1、4，半徑25、35 m的圓形巷道為例分析，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知：圖7極值應(yīng)力分布

1）可以直觀看到巷道圍巖任意位置的應(yīng)力大小情況。

2）側(cè)壓系數(shù)為1時(shí)，相同半徑圓環(huán)上巖體的最大、最小應(yīng)力分別相同，即應(yīng)力只與離巷道中心距離大小有關(guān)，與位置無關(guān)。隨測壓系數(shù)增大，頂?shù)装宓淖畲髴?yīng)力最大，兩幫最小，巷道附近相同半徑圓環(huán)上巖體的最大應(yīng)力從頂?shù)装宓絻蓭椭饾u減小。

3）巷道圍巖最大、最小應(yīng)力峰值及其出現(xiàn)方向與半徑無關(guān)。

4結(jié)論

1）采用復(fù)變函數(shù)法得出了圓形巷道應(yīng)力場解析表達(dá)式，并對巷道邊界應(yīng)力及頂板上方巖體應(yīng)力進(jìn)行了分析。并對不同側(cè)壓系數(shù)及不同半徑下的巷道周圍巖體應(yīng)力場進(jìn)行了仿真分析，得出了巷道周圍巖體應(yīng)力場分布的直觀圖像，可以直觀看到巷道圍巖任意位置的應(yīng)力分布情況。

2）k<1/3時(shí)頂?shù)装彘_始產(chǎn)生拉應(yīng)力，k>3時(shí)兩幫圍巖開始產(chǎn)生拉應(yīng)力，1/3

3）側(cè)壓系數(shù)均大于1或小于時(shí)，各側(cè)壓系數(shù)下環(huán)向、徑向、剪切應(yīng)力均分別有相同的變化規(guī)律。

4）巷道圍巖應(yīng)力峰值及其出現(xiàn)方向與半徑無關(guān)。

參考文獻(xiàn)：

［1］王林江，盛振娟，林佳鏗，等．用計(jì)算復(fù)變函數(shù)法處理含多個(gè)橢圓孔有限大小復(fù)合材料板的應(yīng)力場［J］．東南大學(xué)學(xué)報(bào)，1999, 29（6）：113118．

Wang L J, Sheng Z J, Lin J K, et al. Calculation of stress in a finite composite plate with multiple elliptical holes using computational complex function method ［J］. Journal of Southeast University, 1999, 29(6): 113118

［2］Li S C, Wang M B. Elastic analysis of stress瞕isplacement field for a lined circular tunnel at great depth due to ground loads and internal pressure ［J］. Tunnelling and Underground Space Technology, 2008, 23(6): 609617

［3］Gao G Y, Chen Q S, Zhang Q S, et al. Analytical elasto瞤lastic solution for stress and plastic zone of surrounding rock in cold region tunnels ［J］. Cold Regions Science and Technology, 2012, 72: 5057

［4］Wang S L, Wu Z J, Guo M W, et al. Theoretical solutions of a circular tunnel with the influence of axial in situ stress in elastic瞓rittle瞤lastic rock ［J］. Tunnelling and Underground Space Technology, 2012, 30：155168

［5］王明斌，李術(shù)才，李樹忱，等．圓形隧道圍巖附加應(yīng)力場的解析解答［J］．巖土力學(xué)，2006, 27（Sup 1）：207210．

Wang M B, Li S C, Li S C, et al. Analytical solution of subsidiary stress field for circular tunnel ［J］. Rock and Soil Mechanics, 2006, 27(Sup1): 207210

［6］陸文超，仲政，王旭．淺埋隧道圍巖應(yīng)力場的解析解［J］．力學(xué)季刊，2003, 24（1）：5054．

Lu W C, Zhong Z, Wang X. Analytical solution for stress field in surrounding rocks of shallow tunnel ［J］. Chinese Quarterly of Mechanics, 2003, 24(1): 5054

［7］蔡曉鴻，蔡勇斌，蔡勇平，等．二向不等圍壓和內(nèi)壓作用下橢圓形洞室的計(jì)算［J］．地下空間與工程學(xué)報(bào)，2008, 4（3）：453459．

Cai X H, Cai Y B, Cai Y P, et al. Computation of elliptic tunnel under the combined action of Two dimensional unequal adjoining rock pressure and internal pressure ［J］. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2008, 4(3): 453459

［8］Muskhelishvili N I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity:fundamental equations,plane theory of elasticity,torsison,and bending ［M］. Groningen: P Noordhoof, 2011: 13591363

［9］陳子蔭．圍巖力學(xué)分析中的解析方法［M］．北京：煤炭工業(yè)出版社，1994．

［10］房營光，孫鈞．地面荷載下淺埋隧道圍巖的粘彈性應(yīng)力和變形分析［J］．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1998, 17（3）：239247．

Fang Y G, Sun J. Viscoelastic stress and deformation analysis of shallow tunnels under the load on the ground surrounding ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1998, 17(3): 239247

［11］皇甫鵬鵬，伍法權(quán)，郭松峰，等．基于邊界點(diǎn)搜索的洞室外域映射函數(shù)求解法［J］．巖土力學(xué)，2011, 32（5）：14181424．

HuangFu P P, Wu F Q, Guo S F, et al. A new method for calculating mapping function of external area of cavern with arbitrary shape based on searching points on boundary ［J］. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(5): 14181424

［12］朱大勇，錢七虎，周早生，等．復(fù)雜形狀洞室映射函數(shù)的新解法［J］．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1999, 18（3）：279282．

Zhu D Y, Qian Q H, Zhou Z S, et al. New method for calculating mapping function of opening with complex shape ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1999, 18(3): 279282

［13］王潤富．彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)計(jì)算機(jī)解［J］．河海大學(xué)學(xué)報(bào)，1991, 19（2）：8486．

Wang R F. Computer solutions for complex function in elasticity ［J］. Journal of Hohai University, 1991, 19(2): 8486

［14］劉金高，王潤富．馬蹄形孔口和梯形孔口的應(yīng)力集中問題［J］．巖土工程學(xué)報(bào)，1995, 17（5）：5764．

Liu J G, Wang R F. T he stress concentration of U瞫haped and ladder瞫haped holes ［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1995, 17(5): 5764

［15］湯澄波，范廣勤．高地應(yīng)力區(qū)天幕線拱形硐室斷面的解法［J］．煤礦設(shè)計(jì)，1989（1）：1618．

Shang C B, Fan A Q. Determination of the mapping function for the exterior do瞞ain of a non瞔ircular opening by means of the multiplication of tree absolutely convergent series ［J］. Coal Engineering, 1989(1): 1618

［16］趙凱，劉長武，張國良．用彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)法求解矩形硐室周邊應(yīng)力［J］．采礦與安全工程學(xué)報(bào)，2007, 24（3）：361365．

Zhao K, Liu C W, Zhang G L. Solution for perimeter stresses of rocks around a rectangular chamber using the complex function of elastic mechanics ［J］. Journal of Mining & Safety Engineering, 2007, 24(3): 361365

［17］祝江鴻．隧洞圍巖應(yīng)力復(fù)變函數(shù)分析法中的解析函數(shù)求解［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2013, 34（4）：345354．

Zhu J H. Analytic functions in stress analysis of the surrounding rock for caverns with the complex variable theory ［J］. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(4): 345354

［18］呂愛鐘．地下洞室最優(yōu)開挖形狀的確定方法［J］．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1996, 15（3）：8490．

Lyu A Z. The method for optimum shapes of tunnels and cavities ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1996, 15(3): 8490

［19］呂愛鐘．高地應(yīng)力區(qū)地下硐室斷面形狀的選擇方法［J］．煤炭學(xué)報(bào)，1997, 22（5）：4952．

Lyu A Z. Selection method of section configration of underground chamber in high strata stress zone ［J］. Journal of China Coal Society, 1997, 22(5): 4952

［20］張路青，楊志法，呂愛鐘．兩平行的任意形狀洞室圍巖位移場解析法研究及其在位移反分析中的應(yīng)用［J］．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2000, 19（5）：584589．

Zhang L Q, Yang Z F, Lyu A Z. Analysis study on displacement field of surrounding rocks of two parallel tunnels with arbitrary shapes and its application to back瞐nalysis of displacement ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2000, 19(5): 584589

［21］徐芝綸．彈性力學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2004．