曾歆　劉海峰　馮智源

【摘要】審題是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步，無(wú)論你說(shuō)它有多么重要都不足為過(guò)。從題干中提取的關(guān)鍵詞往往是解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，即解決問(wèn)題的思路所在。數(shù)學(xué)是一門博大精深的學(xué)科，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，因此十分有必要在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維。另外，學(xué)會(huì)總結(jié)歸納是應(yīng)付各類典型習(xí)題的不二捷徑。

【關(guān)鍵詞】審題 數(shù)學(xué)思想 總結(jié)歸納 思維習(xí)慣

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）04-0141-02

一、審題是解題的前提條件和重要途徑

對(duì)題中的關(guān)鍵詞進(jìn)行重點(diǎn)分析是解題的主要途徑。下面通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明審題重要性。

[例1] 設(shè)f（x）是周期為2a的連續(xù)函數(shù)，證明：存在一點(diǎn)x0使得f（x0）=f（x0+a）

分析：由函數(shù)周期為2a很容易得到f（x0）=f（x0+2a）。乍一看該題再也無(wú)法下筆。這時(shí)候只要仔細(xì)審題便會(huì)發(fā)現(xiàn)除了周期之外，還有一個(gè)關(guān)鍵詞：連續(xù)函數(shù)。回想一下連續(xù)函數(shù)的一些常用性質(zhì)無(wú)非就是零點(diǎn)定理、介值定理、最大最小值定理等知識(shí)點(diǎn)。進(jìn)而想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（x+a），于是根據(jù)g（a）=f（a）-f（2a），g（0）=f（0）-f（a）=f（2a）-f（a）知g（a）g（0）≤0；利用零點(diǎn)定理易知存在一點(diǎn)f（x0）=f（x0+a）使得，問(wèn)題就迎刃而解了。

[例2]對(duì)兩個(gè)有限集合，通過(guò)數(shù)數(shù)的方式我們就可以了解它們的大小（即所含元素多還是少），由此還可以獲知"部分小于全體"這一似乎是真理性的結(jié)論。僅從集合所含元素的多少這一角度出發(fā)，討論命題“部分小于全體”的真?zhèn)?。建議你設(shè)計(jì)一種比較集合大小的方法，并用你的方法論證你的觀點(diǎn)。

分析：這是我校高等數(shù)學(xué)期中考試的一道試題。很多同學(xué)讀完題目后不知所措。對(duì)關(guān)鍵詞進(jìn)行分析最重要，這時(shí)就需要考生認(rèn)真審題，仔細(xì)推敲。就此題而言，只要將目光聚焦在“有限”二字上就有可能發(fā)現(xiàn)解題途徑。顯然由“有限集合”很自然的想到無(wú)限集合的情況。綜合考慮有限、無(wú)限集合的情況， 通過(guò)在兩個(gè)集合的元素間建立一個(gè)一一映射，可以比較集合的大小。

簡(jiǎn)答：1）對(duì)有限集合，部分小于全體的結(jié)論是正確的；2）對(duì)于無(wú)限集合，因?yàn)橛欣頂?shù)集合可以與實(shí)數(shù)集合之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以有理數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合一樣大。因此部分小于全體對(duì)無(wú)窮集合而言不再正確。

通過(guò)上面兩個(gè)例子可以看出，審題是解題的必經(jīng)途徑，而審題的常用方法是對(duì)題目中的關(guān)鍵詞進(jìn)行仔細(xì)推敲，從中發(fā)現(xiàn)題目與我們已經(jīng)掌握的知識(shí)之間的銜接途徑，為解題找到可行的切入點(diǎn)。

二、掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要

養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣不僅是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要因素，同時(shí)也為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。下面通過(guò)幾個(gè)例子談?wù)勷B(yǎng)成數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的重要性。

（一）分析法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

[例3]設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?L，L），證明必存在（-L，L）上的偶函數(shù)g（x）及奇函數(shù)h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）。

分析：當(dāng)一些問(wèn)題不明朗時(shí)，分析法是探索問(wèn)題解題途徑的一種有效方法。我們由假設(shè)入手尋找所需要的奇函數(shù)和偶函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)該是什么？

證明：假設(shè)存在題中這樣的g（x）及h（x），則應(yīng)有：

（二）反證法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（三）換元法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

這種處理方式的優(yōu)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)作為一種計(jì)算手段可以在解題過(guò)程中得到應(yīng)用。因此，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不同的計(jì)算手段其繁簡(jiǎn)程度不同，借助等效思想利用簡(jiǎn)單的方法可以解決復(fù)雜的問(wèn)題。

（五）數(shù)學(xué)歸納思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

歸納思想是數(shù)學(xué)上的一種重要的思維方式，加強(qiáng)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練不僅在數(shù)學(xué)上有其需求，而且歸納思想的習(xí)慣養(yǎng)成對(duì)于我們今后工作生活方面都有益處。比如下面問(wèn)題：

[例7]證明貝努利不等式：（x1+1）（x2+1）L（xn+1）≥1+x1+x2+L+xn，其中x1，x2，L，xn為同號(hào)且大于1的數(shù)。

這種關(guān)于自然數(shù)的命題，常常使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解。

證明：當(dāng)n=1的時(shí)候，此式取等號(hào)；

假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即（x1+1）（x2+1）L（xk+1）≥1+x1+x2+L+xk；

則當(dāng)n=k+1時(shí)：

（x1+1）（x2+1）L（xk+1+1）≥（1+x1+x2+L+xk）（xk+1+1）=1+x1+x2+L+xk+xk+1+x1xk+1+x2xk+1+L+xkxk+1≥1+x1+x2+L+xk+xk+1，結(jié)論成立。

于是對(duì)任意自然數(shù)n有（x1+1）（x2+1）L（xn+1）≥1+x1+x2+L+xn

三、總結(jié)歸納思想在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要性的認(rèn)識(shí)

古人云，欲先善其事，必先利其器。注重對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好利器。下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明總結(jié)歸納思想的重要性。

最后再看一個(gè)例子體會(huì)一下對(duì)題型進(jìn)行歸納總結(jié)的益處。

由以上分析及運(yùn)算過(guò)程可以看出：幾乎每一步的思路都是我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中所積累的經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)下進(jìn)行的。因此善于歸納總結(jié)題型及運(yùn)算技巧、常見(jiàn)的處理問(wèn)題方法才是解題的主旨。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007，04.

[2]陳仲.高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解析教程[M].南京：東南大學(xué)出版社，2012，01.

作者簡(jiǎn)介：

曾歆（1995-），男，四川瀘州人，本科生，研究方向：信號(hào)處理。 劉海峰（1962-），男，江蘇邳州人，博士，教授，研究方向：文本信息處理。

馮智源（1995-），女，河南方城縣人，本科生， 研究方向：信號(hào)處理。