高波

摘 要： APOS理論是以建構主義為基礎的數學學習理論，它的核心是引導學生在社會線索中學習數學知識，分析數學問題情境，從而建構數學思想.本文以《函數的概念》為例，具體探索在課堂教學活動中，教師如何利用生活中的實例啟發(fā)和引導學生抽象出函數的概念，從而使學生掌握知識和發(fā)展思維.

關鍵詞： APOS理論 職高數學概念課 《函數的概念》

一、引言

能夠識別一類刺激的共性，并對此作出相同的反映，這一過程被稱為概念學習.數學是反映現實世界中空間形式和數量關系的學科，而數學概念是數學學科知識體系的基礎，是數學知識本質屬性的反映，是構建數學理論的基石.因此數學概念學習就成為數學學習的核心.數學概念是反映數學對象的本質屬性和特征的思維形式.它排除了對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性.在現實教學中，由于數學概念的抽象性與概括性，往往令很多學生頭疼.實際上，中職學生原本數學基礎比較薄弱，對那些抽象的數學概念難以理解，學習時更是困難重重.如何上好職高數學概念課，讓學生理解掌握數學概念呢？本文就以一節(jié)概念課為例進行探討.

二、APOS理論

20世紀90年代以后，建構主義的教育理論思潮迅速流行.其主要觀點就是學生獲取知識不是被動的，而是通過學習主體自主建構.APOS理論是以建構主義為基礎的數學學習理論，由美國學者杜賓斯基（E.Dubinsky）提出的，主要針對數學概念的學習，從數學心理學的角度將學生的心智建構分為四個階段：action（操作）、process（過程）、object（對象）和schema（圖式）.它的核心是引導學生在社會線索中學習數學知識，分析數學問題情境，從而建構他們自己的數學思想.

（一）操作（Action）階段——引入概念.

操作階段是學生理解概念的基礎.通過操作感覺事物，感受概念的直觀背景和概念間的聯(lián)系，是感性認識階段.

（二）過程（Process）階段——概括概念.

教學中應充分發(fā)揮學生主體的能動性，通過前一階段的操作活動進行思考，經歷思維的內化過程，總結出概念的定義.

（三）對象（Object）階段——分析概念的內涵與外延，揭示概念的關系.

通過對概念演化發(fā)展過程中資料的分析、抽象，認識概念的本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象.

（四）圖式（Scheme）階段——深化學習.

學生不斷調整自身已有的認知結構，通過同化和順應建立新的平衡，形成新的知識圖式.

APOS理論充分反映了個體認知數學概念的思維過程，揭示了數學概念學習的本質.對職高數學的概念教學具有極大的啟發(fā)意義.

三、教學設計

（一）教學內容解析.

函數是貫穿整個中職數學課堂的主線之一，它所蘊涵的數學思想和方法滲透到科技和生活的各個領域，是現代數學的基礎.函數的教與學使學生由初中形象思維向高中抽象邏輯思維轉化，培養(yǎng)學生基本運算能力和解決實際問題能力.因此，在學生高中數學知識體系的構建上，本節(jié)課起到了至關重要的基石作用.

函數概念的教學要求利用集合的觀點，對初中學過的函數知識進行再認識，拓展了函數概念的外延，豐富了其內涵.針對學生的實際認知水平，本課的教學基于建構主義的APOS理論，采用問題驅動的方式，利用生活中的實例啟發(fā)和引導學生抽象出函數的概念，從而使學生掌握知識和發(fā)展思維.

（二）教學重難點.

本課的重點確定為：函數的概念，函數的兩要素，求函數的定義域.而對函數的概念及記號的理解，判斷兩個函數是否相同，這些內容作為本課的難點.

重難點突破：利用加油站計價器的動畫導入函數的概念，讓學生體會探究并發(fā)現兩個變量之間的依賴關系，從集合的角度抽象出函數的概念.通過計價器的變化幫助學生理解函數的定義域，指導學生求出函數值.通過三個計價器的動畫對比剖析，引導學生深入理解定義域與對應法則是函數的兩個要素，判斷兩個函數是否相同要看這兩個要素是否相同.

（三）教學目標解析.

通過生活中實例幫助學生建立函數的概念，理解函數的定義及函數符號的含義；使學生能用集合與對應的語言描述函數，深入理解函數的兩個要素.通過從實例中抽象出函數概念的活動，培養(yǎng)學生的抽象概括能力及數學思維能力；理解函數定義域的含義，會求函數的定義域，并能將函數的定義域用集合的方式表示出來；通過函數值的求解，培養(yǎng)學生的計算能力；認識函數的兩要素，掌握判斷兩個函數是否相同的方法，培養(yǎng)學生對比分析問題的能力，學會抓住問題的關鍵.

教學過程中鼓勵學生積極、主動地參與課堂教學的整個過程，感受數學嚴謹的邏輯推理過程，通過師生的課堂問答，幫助學生建立攻克難點的自信，發(fā)現探索新知的樂趣，獲得成功的體驗.

（四）教學過程設計.

依據APOS理論，本課的教學分成四個階段：

1.操作階段：創(chuàng)設情境，問題引導.

播放動畫：3月初，小王開車來到中國石化加油站加油.請同學們仔細觀察視頻中加油計價器上數字的跳動.

回答下面四個問題：

（1）這個加油的變化過程中，有哪些量在變化，哪些沒有變化？哪個量依附于哪個量在變化？

（2）請同學們計算，當加油量為15升，36升和48升時，計價器上顯示的金額分別是多少？

（3）加油量是否一直在增大？寫出加油量的變化范圍.金額是否一直在增加？寫出金額的變化范圍.

設計意圖：

問題（1）是讓學生尋找加油過程中的兩個變量，引導學生用已有的運動變化的觀點抽象出函數概念.

問題（2）是引導學生求函數值，培養(yǎng)學生的計算能力.endprint

問題（3）因為汽車油箱容積一定，所以加油到50升時就滿了，油箱的容積決定了函數的定義域，加滿油時金額也不會再上升，初步找出加油量與金額的變化范圍，并用集合表示出來.

（4）如果把加油量看成x，把金額看成y，你能建立起x與y之間的關系嗎？

由于前三個問題的鋪墊，水到渠成，學生順利得出加油量與金額之間的函數關系，對于自變量x的取值范圍，應加以強調.

通過以上回憶、計算、推理等數學操作活動，學生對函數的概念有了感性認識.

2.過程階段：對照引例，形成概念.

在上述例子中，我們可以發(fā)現，在汽車加油的變化過程中有兩個變量：加油量x與金額y，因為油箱只有50升，即自變量x有它自己的取值范圍：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一個加油量x，按照8元/升的價格，都有唯一的金額y與之對應，我們可以建立起加油量x與金額y之間的對應關系：y=8x{0≤x≤50}.由此總結出函數的概念：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數集D，如果對于D內的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么把x叫做自變量，把y叫做x的函數，記作y=f（x）.

設計意圖：把引例中的數學問題進行壓縮、提升，將新的集合的觀點描述的函數的概念，加入學生已有認知結構中.

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化.

y=f（x）是函數概念的形式化的符號，x表示自變量，如例中的加油量，y是x的函數，如例中的金額，f表示對應法則，如例中加油量與金額之間的對應法則是單價8元/升，那么，不同的對應法則可以用不同的符號表示，如g（x），h（x），F（x）等，自變量x的取值范圍叫做函數的定義域，如例中油箱的容積為50，D={x|0≤x≤50}.

定義域與對應法則稱為函數的兩個要素.

當x=x■時，函數y=f（x）對應的值y■叫做函數在點x■處的函數值，記作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函數在x=15處的函數值.函數值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函數的值域，如金額y的取值范圍C={y|0≤y≤400}.

基于學生對函數概念的初步認識，設計了3個例題.

例1.判斷下列代數式哪些是函數，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

設計意圖：前兩小題學生能很快做出回答，分別是熟悉的一次函數及一元二次函數.學生對3、4題的判斷出現了意見分歧.有的學生仍停留在初中對函數概念的認識，認為3不是函數，因為沒有變量x，而4是函數，因為x和y都有.這時回顧函數的集合定義，強調定義中的“每一個”“唯一一個”的準確理解.從而使學生對函數概念的理解上升到理性階段.

例2.求下列函數的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

設計意圖：強調函數的定義域是自變量x的取值范圍.在實際問題中，定義域是由問題的實際意義所確定的，如油箱的容積為50，在用代數式表示的函數中，定義域是使代數式有意義的自變量x的取值范圍.

例3.設函數f（x）=■，試求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

設計意圖：第一題由老師求解，后面三小題可由學生板演.

通過有關函數值的計算，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.圖式階段：對比實例，深入解析.

觀察三次加油的課件：

1.2014年3月初，小王車加油，油箱50升，單價8元/升.

2.2014年3月初，小張車加油，油箱35升，單價8元/升.

3.2014年1月初，小王車加油，油箱50升，單價7元/升.

問題1：觀察1、2兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（定義域不同）

問題2：觀察1、3兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（對應法則不同）

設計意圖：回歸到汽車加油問題中，改變加油量的最大值與單價，教師引導學生從中得出判斷兩個函數為同一函數的標準：定義域與對應法則是否相同.緊隨其后設計例題.

例4.指出下列函數中，哪個與函數y=x是同一個函數：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函數的定義域與對應法則是函數的兩個要素，判斷兩個函數是否相同就是判斷兩個函數的定義域與對應法則是否相同，而與表示函數所選用的字母無關.

設計意圖：通過以上四個例題的分析求解，深化目標.學生最終形成函數概念的心智結構.

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成函數概念的初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如指對函數、三角函數等）進行完善.

緊扣本節(jié)課的重難點，設計幾道課堂練習題，幫助學生應用知識，強化訓練.

1.求下列函數的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判斷下列各組函數是否為同一函數：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后進行歸納小結，布置作業(yè).

四、設計體會

APOS理論對學生的函數概念的理解作了分層分析，真實反映了學生的心智建構過程，揭示了函數概念學習的本質.學生對本概念的理解不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的趨勢.基于APOS理論設計的本課的教學，實質是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現，學生在形成函數概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識上升到理性認識的過程.在函數的概念教學中，教師引導學生不斷探索，相互交流，培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力；引導學生自主實踐，勇于發(fā)現，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]劉超，王志軍.論核心數學概念及其教學.高中數學教與學，2011（11）.

[2]葉立軍.數學課程與教學論.浙江大學出版社.

[3]翁凱慶.數學教育概論.四川大學出版社.

[4]顧泠沅，鮑建生.數學學習的心理基礎與過程.上海教育出版社.

[5]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論（第二版）.高等教育出版社.

[6]易樹湘.基于APOS理論的函數性質教學研究.湘潭師范學院學報，2009（9）.endprint

問題（3）因為汽車油箱容積一定，所以加油到50升時就滿了，油箱的容積決定了函數的定義域，加滿油時金額也不會再上升，初步找出加油量與金額的變化范圍，并用集合表示出來.

（4）如果把加油量看成x，把金額看成y，你能建立起x與y之間的關系嗎？

由于前三個問題的鋪墊，水到渠成，學生順利得出加油量與金額之間的函數關系，對于自變量x的取值范圍，應加以強調.

通過以上回憶、計算、推理等數學操作活動，學生對函數的概念有了感性認識.

2.過程階段：對照引例，形成概念.

在上述例子中，我們可以發(fā)現，在汽車加油的變化過程中有兩個變量：加油量x與金額y，因為油箱只有50升，即自變量x有它自己的取值范圍：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一個加油量x，按照8元/升的價格，都有唯一的金額y與之對應，我們可以建立起加油量x與金額y之間的對應關系：y=8x{0≤x≤50}.由此總結出函數的概念：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數集D，如果對于D內的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么把x叫做自變量，把y叫做x的函數，記作y=f（x）.

設計意圖：把引例中的數學問題進行壓縮、提升，將新的集合的觀點描述的函數的概念，加入學生已有認知結構中.

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化.

y=f（x）是函數概念的形式化的符號，x表示自變量，如例中的加油量，y是x的函數，如例中的金額，f表示對應法則，如例中加油量與金額之間的對應法則是單價8元/升，那么，不同的對應法則可以用不同的符號表示，如g（x），h（x），F（x）等，自變量x的取值范圍叫做函數的定義域，如例中油箱的容積為50，D={x|0≤x≤50}.

定義域與對應法則稱為函數的兩個要素.

當x=x■時，函數y=f（x）對應的值y■叫做函數在點x■處的函數值，記作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函數在x=15處的函數值.函數值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函數的值域，如金額y的取值范圍C={y|0≤y≤400}.

基于學生對函數概念的初步認識，設計了3個例題.

例1.判斷下列代數式哪些是函數，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

設計意圖：前兩小題學生能很快做出回答，分別是熟悉的一次函數及一元二次函數.學生對3、4題的判斷出現了意見分歧.有的學生仍停留在初中對函數概念的認識，認為3不是函數，因為沒有變量x，而4是函數，因為x和y都有.這時回顧函數的集合定義，強調定義中的“每一個”“唯一一個”的準確理解.從而使學生對函數概念的理解上升到理性階段.

例2.求下列函數的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

設計意圖：強調函數的定義域是自變量x的取值范圍.在實際問題中，定義域是由問題的實際意義所確定的，如油箱的容積為50，在用代數式表示的函數中，定義域是使代數式有意義的自變量x的取值范圍.

例3.設函數f（x）=■，試求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

設計意圖：第一題由老師求解，后面三小題可由學生板演.

通過有關函數值的計算，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.圖式階段：對比實例，深入解析.

觀察三次加油的課件：

1.2014年3月初，小王車加油，油箱50升，單價8元/升.

2.2014年3月初，小張車加油，油箱35升，單價8元/升.

3.2014年1月初，小王車加油，油箱50升，單價7元/升.

問題1：觀察1、2兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（定義域不同）

問題2：觀察1、3兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（對應法則不同）

設計意圖：回歸到汽車加油問題中，改變加油量的最大值與單價，教師引導學生從中得出判斷兩個函數為同一函數的標準：定義域與對應法則是否相同.緊隨其后設計例題.

例4.指出下列函數中，哪個與函數y=x是同一個函數：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函數的定義域與對應法則是函數的兩個要素，判斷兩個函數是否相同就是判斷兩個函數的定義域與對應法則是否相同，而與表示函數所選用的字母無關.

設計意圖：通過以上四個例題的分析求解，深化目標.學生最終形成函數概念的心智結構.

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成函數概念的初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如指對函數、三角函數等）進行完善.

緊扣本節(jié)課的重難點，設計幾道課堂練習題，幫助學生應用知識，強化訓練.

1.求下列函數的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判斷下列各組函數是否為同一函數：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后進行歸納小結，布置作業(yè).

四、設計體會

APOS理論對學生的函數概念的理解作了分層分析，真實反映了學生的心智建構過程，揭示了函數概念學習的本質.學生對本概念的理解不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的趨勢.基于APOS理論設計的本課的教學，實質是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現，學生在形成函數概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識上升到理性認識的過程.在函數的概念教學中，教師引導學生不斷探索，相互交流，培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力；引導學生自主實踐，勇于發(fā)現，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]劉超，王志軍.論核心數學概念及其教學.高中數學教與學，2011（11）.

[2]葉立軍.數學課程與教學論.浙江大學出版社.

[3]翁凱慶.數學教育概論.四川大學出版社.

[4]顧泠沅，鮑建生.數學學習的心理基礎與過程.上海教育出版社.

[5]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論（第二版）.高等教育出版社.

[6]易樹湘.基于APOS理論的函數性質教學研究.湘潭師范學院學報，2009（9）.endprint

問題（3）因為汽車油箱容積一定，所以加油到50升時就滿了，油箱的容積決定了函數的定義域，加滿油時金額也不會再上升，初步找出加油量與金額的變化范圍，并用集合表示出來.

（4）如果把加油量看成x，把金額看成y，你能建立起x與y之間的關系嗎？

由于前三個問題的鋪墊，水到渠成，學生順利得出加油量與金額之間的函數關系，對于自變量x的取值范圍，應加以強調.

通過以上回憶、計算、推理等數學操作活動，學生對函數的概念有了感性認識.

2.過程階段：對照引例，形成概念.

在上述例子中，我們可以發(fā)現，在汽車加油的變化過程中有兩個變量：加油量x與金額y，因為油箱只有50升，即自變量x有它自己的取值范圍：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一個加油量x，按照8元/升的價格，都有唯一的金額y與之對應，我們可以建立起加油量x與金額y之間的對應關系：y=8x{0≤x≤50}.由此總結出函數的概念：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數集D，如果對于D內的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么把x叫做自變量，把y叫做x的函數，記作y=f（x）.

設計意圖：把引例中的數學問題進行壓縮、提升，將新的集合的觀點描述的函數的概念，加入學生已有認知結構中.

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化.

y=f（x）是函數概念的形式化的符號，x表示自變量，如例中的加油量，y是x的函數，如例中的金額，f表示對應法則，如例中加油量與金額之間的對應法則是單價8元/升，那么，不同的對應法則可以用不同的符號表示，如g（x），h（x），F（x）等，自變量x的取值范圍叫做函數的定義域，如例中油箱的容積為50，D={x|0≤x≤50}.

定義域與對應法則稱為函數的兩個要素.

當x=x■時，函數y=f（x）對應的值y■叫做函數在點x■處的函數值，記作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函數在x=15處的函數值.函數值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函數的值域，如金額y的取值范圍C={y|0≤y≤400}.

基于學生對函數概念的初步認識，設計了3個例題.

例1.判斷下列代數式哪些是函數，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

設計意圖：前兩小題學生能很快做出回答，分別是熟悉的一次函數及一元二次函數.學生對3、4題的判斷出現了意見分歧.有的學生仍停留在初中對函數概念的認識，認為3不是函數，因為沒有變量x，而4是函數，因為x和y都有.這時回顧函數的集合定義，強調定義中的“每一個”“唯一一個”的準確理解.從而使學生對函數概念的理解上升到理性階段.

例2.求下列函數的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

設計意圖：強調函數的定義域是自變量x的取值范圍.在實際問題中，定義域是由問題的實際意義所確定的，如油箱的容積為50，在用代數式表示的函數中，定義域是使代數式有意義的自變量x的取值范圍.

例3.設函數f（x）=■，試求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

設計意圖：第一題由老師求解，后面三小題可由學生板演.

通過有關函數值的計算，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.圖式階段：對比實例，深入解析.

觀察三次加油的課件：

1.2014年3月初，小王車加油，油箱50升，單價8元/升.

2.2014年3月初，小張車加油，油箱35升，單價8元/升.

3.2014年1月初，小王車加油，油箱50升，單價7元/升.

問題1：觀察1、2兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（定義域不同）

問題2：觀察1、3兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（對應法則不同）

設計意圖：回歸到汽車加油問題中，改變加油量的最大值與單價，教師引導學生從中得出判斷兩個函數為同一函數的標準：定義域與對應法則是否相同.緊隨其后設計例題.

例4.指出下列函數中，哪個與函數y=x是同一個函數：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函數的定義域與對應法則是函數的兩個要素，判斷兩個函數是否相同就是判斷兩個函數的定義域與對應法則是否相同，而與表示函數所選用的字母無關.

設計意圖：通過以上四個例題的分析求解，深化目標.學生最終形成函數概念的心智結構.

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成函數概念的初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如指對函數、三角函數等）進行完善.

緊扣本節(jié)課的重難點，設計幾道課堂練習題，幫助學生應用知識，強化訓練.

1.求下列函數的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判斷下列各組函數是否為同一函數：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后進行歸納小結，布置作業(yè).

四、設計體會

APOS理論對學生的函數概念的理解作了分層分析，真實反映了學生的心智建構過程，揭示了函數概念學習的本質.學生對本概念的理解不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的趨勢.基于APOS理論設計的本課的教學，實質是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現，學生在形成函數概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識上升到理性認識的過程.在函數的概念教學中，教師引導學生不斷探索，相互交流，培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力；引導學生自主實踐，勇于發(fā)現，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]劉超，王志軍.論核心數學概念及其教學.高中數學教與學，2011（11）.

[2]葉立軍.數學課程與教學論.浙江大學出版社.

[3]翁凱慶.數學教育概論.四川大學出版社.

[4]顧泠沅，鮑建生.數學學習的心理基礎與過程.上海教育出版社.

[5]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論（第二版）.高等教育出版社.

[6]易樹湘.基于APOS理論的函數性質教學研究.湘潭師范學院學報，2009（9）.endprint