鄧亮章

(福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，福建福州350003)

1 引言

在當(dāng)今時(shí)代，矩陣的特征值問(wèn)題是矩陣計(jì)算的一個(gè)重要方向，在眾多的領(lǐng)域中都得到了應(yīng)用。在這樣的大背景下，有必要深入地研究矩陣的特征值的估計(jì)問(wèn)題。

2 矩陣的特征值問(wèn)題概述

假如A是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換下的矩陣，如果存在 λ0∈P，存在 α∈V，α≠0，使得Aα=λ0α成立，那么，就可以說(shuō)λ0是A的一個(gè)特征值，α是A屬于特征值λ0的特征向量。

對(duì)于上式進(jìn)行轉(zhuǎn)換可以得到下式:

(A－λ0E)α=0。

這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A－λ0E|=0也就是說(shuō)，

上式左邊|A－λ0E|是λ0的n次多項(xiàng)式，將其作為A的特征多項(xiàng)式，|A－λ0E|=0將其作為A的特征方程，特征方程的所有根就是A的特征值。

在數(shù)值計(jì)算中，矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題占據(jù)著非常關(guān)鍵的地位，經(jīng)常應(yīng)用的求解方法主要涵蓋了迭代法和變換法兩種。具體來(lái)說(shuō)，迭代法是進(jìn)行一系列矩陣向量乘積而將矩陣的特征值和特征向量求解出來(lái)，經(jīng)常應(yīng)用的方法主要包括Lanczos法、Davidson法等等;變換法就是直接對(duì)矩陣進(jìn)行變換處理，借助于變換的作用，保證能夠?qū)⒕仃囎儞Q成為非常容易求解特征值、特征向量的一個(gè)新矩陣。

3 有關(guān)矩陣的特征值的一些定理及證明

假設(shè)n階方陣A的特征值是λi，αi是A的屬于特征值 λi的特征向量(i=1，2，…，n)，那么，

1)kA(k是常數(shù))的特征值是 kλi，且 αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

2)A2的特征值是λ2i，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

3)Ak的特征值是λki，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

4)AT的特征值是λi，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

5)A可逆的情況下，A－1的特征值是 λ－1i，且 αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

6)A可逆的情況下，A的伴隨矩陣A*的特征值是|A|λ－1

i，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

7)假設(shè)f(x)=a0+a1x+…+amxm)，那么，f(A)的特征值是f(λi)，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

證明:1)由于 Aαi=λiαi，因此能夠得到，(kA)αi=k(Aαi)=(kλi)αi。

2)由于Aαi=λiαi，故A2αi=A(Aαi)=A(λiαi)=λi(Aαi)= λi(λiαi)=λ2iαi。

3)同理．

4)|(λE －A)T|=|λE －AT|=|λE －A|因此能夠得到，與A與AT具有相同的特征值．

5)由于 Aαi= λiαi，且 A 可逆，因此能夠得到，A－1Aαi=A－1(λiαi)?αi=λi(A－1αi)

又|A|=λ1λ2…λn≠0(A 可逆)，因此能夠得到，λi≠0(i=1，2，…n)，從而由(1)知 A－1αi= λ－1iαi。

6)由于 A*=|A|A－1，再由1)及5)因此能夠得到結(jié)論，

7)由于 f(A)=α0E+α1A+…αmAm，因此能夠得到。

4 矩陣的特征值估計(jì)的相關(guān)例子分析

假設(shè)3階方陣的行列式|A|=6，且A有特征值一2，那么，求A*一定存在特征值;A*－2A－1有特征值;A3+4A2+8A+8E有特征值;|A3+4A2+8A+8E|的值。

解:A*的特征值為6÷(－2)=－3，而 A*－2A－1=|A|A－1－2A－1=4A－1，因此能夠得到 A*－2A－1的一個(gè)特征值為4÷(－2)= －2，

f(A)=A3+4A2+8A+8E的特征值是f(－2)=(－2)3+4(－2)2+8(－2)+8=0，

|f(A)|=|A3+4A2+8A+8E|=0。

5 矩陣的特征值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用－利用矩陣的特征值求Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)

Fibonacci數(shù)列{Fk}:0，1，1，2，3，5，…，F(xiàn)k，…滿足條件 F0=0，F(xiàn)1=l，F(xiàn)k+2=Fk+1+Fk(k=0，1，2，…) (1)

請(qǐng)解出通項(xiàng)Fk。

現(xiàn)在，可以通過(guò)運(yùn)用矩陣的工具來(lái)對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行求解。

解:

那么，上面的公式能夠轉(zhuǎn)化為矩陣的形式 αk+1=Aαk(k=1，2，…，) (2)

由(2)式進(jìn)行遞推能夠得到 αk=Akα1(k=l，2，…，) (3)

通過(guò)這種方式，求Fk的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成為求αk，也就是說(shuō)，求Ak的問(wèn)題。

令

通過(guò)這種方式，

對(duì)于任意的一個(gè)正整數(shù)k，由(6)式求得的Fk都是正整數(shù)，在k=20的情況下，F(xiàn)20=6765。

在這一個(gè)問(wèn)題里，利用矩陣的特征值理論能夠非常容易地求出Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。

6 結(jié)語(yǔ)

通常情況下，矩陣的特征值問(wèn)題是矩陣計(jì)算的一個(gè)重要方向，在眾多的領(lǐng)域中都得到了應(yīng)用。本文對(duì)于矩陣特征值的估計(jì)進(jìn)行了深入地探索，希望有利于矩陣特征值的估計(jì)以及實(shí)際應(yīng)用。

［1］鄭毓明，周 巧．矩陣數(shù)值特征的兩個(gè)定理［J］．南通職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，(2).

［2］肖艾平．矩陣AB和BA的特征值的關(guān)系［J］．科技信息，2011，(17).

［3］孔祥強(qiáng)．可對(duì)稱化矩陣特征值的Weyl型和Wielandt型擾動(dòng)界［J］．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，(3).