徐江

摘 要： 課堂追問是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常用的教學(xué)手段.有效的課堂追問既能促進學(xué)生對問題的深入思考，催生探究的意識，又有助于教學(xué)目標的實現(xiàn)，使課堂教學(xué)效果最優(yōu)化，從而整體提高課堂教學(xué)效率.如何提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性？本文從把握追問的時機、設(shè)計有效的追問練習(xí)兩大維度進行了策略實踐，并對實踐的效果進行了進一步的分析.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)課堂 有效追問 教學(xué)策略

一、研究問題的緣起

（一）教育理論的明確要求

2011年版《新課程標準》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認識發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事教學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解并掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.提問是課堂教學(xué)經(jīng)常采用的一種教學(xué)手段，其目的是引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，創(chuàng)造性地完成學(xué)習(xí)任務(wù).但是，學(xué)生的回答，往往缺乏多角度、深層次的思考，有時由于多方面的原因，思維還會處于停滯狀態(tài).這時就需教師善于運用“問”的藝術(shù)，尤其是運用“追問”激活學(xué)生的思維，啟發(fā)、引導(dǎo)他們更有深度、更有廣度地思考，不斷促進思維的創(chuàng)新.

（二）數(shù)學(xué)課堂追問低效現(xiàn)象

1.“追問”的目的性不明確.

聽到公開課上很多追問流于形式，往往不同的情景卻問相同的問題：“為什么呢？”“還有嗎？”無目的的追問和脫離教學(xué)內(nèi)容的追問，實際上是浪費學(xué)習(xí)時間，易引起學(xué)生概念混淆.

2.沒有確定好“追問”的對象.

有些課堂中即時生成或?qū)W(xué)生的思維要求較高的追問往往只有優(yōu)等生能夠說出答案，教師也沒能及時把問題涉及面廣泛化，以引起不同層次學(xué)生的思考，就匆匆以教師自己解釋的方式帶過或干脆沒了下文.

3.沒有把握好“追問”的時機.

很多教師設(shè)計的問題很好，只是沒有問在最適合的時機，當(dāng)然也沒能夠把問題的有效性最大限度地發(fā)揮出來.

4.“追問”過于“寬泛”，達不到預(yù)期效果.

在課堂教學(xué)過程中，教師往往下大力氣設(shè)計了“問”，卻因為問題的梯度太大，沒有問到點子上，把本身已經(jīng)有層次的問題，問得學(xué)生一頭霧水.

二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中追問有效性的提升策略

（一）概念闡釋

所謂追問，顧名思義就是追根究底地問.它是針對某一內(nèi)容或某一問題，為了使學(xué)生弄懂弄通，在已提出問題學(xué)生也有了一定的理解之后又再次補充和深化、窮追不舍地一問再問，直到學(xué)生能夠理解透徹甚至出新出彩地問.因此，提高課堂追問的有效性是實施課堂有效教學(xué)、實現(xiàn)教學(xué)目標的重要手段.

（二）追問有效性的提升策略

1.把握恰當(dāng)?shù)淖穯枙r機——機不可失.

（1）在錯誤時追問——撥亂反正

“學(xué)生的錯誤都是有價值的”.的確，錯誤是學(xué)生最樸實的思想、最真實的經(jīng)驗，往往是一種鮮活的教學(xué)資源，教師應(yīng)該善于挖掘和發(fā)現(xiàn)錯誤背后隱藏的教育價值，引導(dǎo)學(xué)生從錯中求知，從錯中探究.

【例1】九年級下“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)片段：

師：已知A為⊙O上一點，B為⊙O外一點，順次連接點A、B、O，得△ABO，且sinB=■，能否判定直線AB和⊙O相切？試說明理由.

（出示了題目后，許多學(xué)生大聲回答“相切”，這時老師先找一位學(xué)生說明理由。）

生1：因為sinB=■，所以△ABO是直角三角形，即OA⊥AB.所以AB是⊙O的切線.

師（追問）：為什么sinB=■，△ABO就是直角三角形呢？

生1：（理直氣壯地）因為sinB=■，所以∠B=30°，所以∠O=60°，所以∠OAB=90°，并且可以畫出相對應(yīng)的圖形（如圖1）.

圖1

師（追問）：∠B=30°，為什么就能推出∠O=60°呢？

生1：（有些不耐煩）因為是在直角三角形中，所以∠B=30°得出∠O=60°.

師（追問）：哪里說明是在直角三角形中了？若已給出△ABO是直角三角形了，還需要根據(jù)∠B=30°，∠O=60°證明∠OAB=90°嗎？

生1：這很簡單，因為sinB=■，銳角三角函數(shù)值是只能在直角三角形中求出來的，所以△ABO是直角三角形.

（許多學(xué)生已經(jīng)明白了錯誤所在，紛紛開始議論了.這時，教師找其中一名學(xué)生回答.）

師：你有其他想法嗎？

生2：還不知道是不是直角三角形，就默認是直角三角形.

師（追問）：對呀！那么sinB=■能說明什么呢？

生2：只能說明∠B=30°，其他的角度還不能確定.

對于學(xué)生做對一個題目不是難事，難的是教師發(fā)現(xiàn)錯誤后不斷追問，從而挖掘到事物的本質(zhì)的過程.追問不是一般的對話，對話是平鋪直敘地交流，而追問是對事物的深刻挖掘，是逼近事物本質(zhì)的探究，是促進學(xué)生思考的催化劑.在辨誤教學(xué)中，只是讓學(xué)生判斷對或錯是不夠的，要通過教師的有效追問，讓學(xué)生明白對或錯的成因，找出問題的癥結(jié)，從而有利于從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題.

（2）在歧義處追問——去偽存真

當(dāng)代科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾說：“歧義中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”歧義是正確的先導(dǎo)，有時歧義比正確更具有教育價值.教學(xué)中，我們可將“拒絕”隱藏在巧妙的追問中，通過追問的語氣、追問的角度引導(dǎo)學(xué)生對偏頗的解讀，讓學(xué)生自己認識并糾正錯誤，即“自識廬山真面目”.

【例2】教學(xué)“平方根”這一內(nèi)容，學(xué)生初步理解了“如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就是a的平方根”這一概念，教師安排求81、0.0625的平方根后又出示了一個判斷題：（1）9的平方根是3，（2）3是9的平方根.學(xué)生的判斷各不相同.endprint

師：你能對你的觀點加以說明嗎？

生：剛剛我們得到81的平方根是9與-9；0.0625的平方根是0.25與-0.25，所以9的平方根是3與-3，所以1題是錯的.

生：他舉的例子太特殊了，不能把所有的數(shù)都包括在內(nèi).

師追問：那你想怎么說？

生：我們可以這樣說“一個正數(shù)有兩個平方根，它們是互為相反數(shù)的關(guān)系”.

師：那對于第二個問題呢？

生：根據(jù)生1的方法，9與-9是81的平方根；0.25與-0.25是0.0625的平方根；3與-3是9的平方根.所以第二題是錯的.

生：我不這樣認為，因為3的平方等于9，所以3就是9的平方根.

師：為什么此時可以不說那個負值呢？

生：從平方根的概念上我們就可以得到“一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就是a的平方根”即：x■=a，x就是a的平方根，x可以是一個正的數(shù)也可以是一個負的數(shù).

師再次追問：你能就此題再舉一個例子嗎？

生：-4是16的平方根.

教師以自身特有的敏銳和機智在捕捉到學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的“差錯”（歧義）后，善于發(fā)現(xiàn)這“差錯”（歧義）背后的教育價值.適時追問，暴露學(xué)生的思維過程，利用學(xué)生的認知沖突，讓學(xué)生通過辯論，自己去探索產(chǎn)生錯誤的原因，引領(lǐng)他們修正錯誤，去偽存真，提升認識，從而得出正確結(jié)論.

（3）在疑難處追問——柳暗花明

由于受知識經(jīng)驗的負遷移的影響，學(xué)生的思維有時會遭遇障礙或產(chǎn)生矛盾，導(dǎo)致思維的鏈條斷裂.而有矛盾處，往往是有疑處，也是難點處，破解難點等于提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，這時需要教師的引領(lǐng).教師應(yīng)針對學(xué)生的思維矛盾沖突及時追問，啟迪學(xué)生心智，推波助瀾，鼓勵創(chuàng)新，搭建起思維跨越的平臺，以彌補斷裂處，從而開拓解題思路.

【例3】在學(xué)完“切線長定理”，共同解決了課本例題后，教師出示練習(xí)：

Rt△ABC中，∠C=90°，BC，AC，AB的長分別是a，b，c，求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

結(jié)合范例，學(xué)生很容易想到解題思路：如圖2，在設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點D、E、F，連接OD、OE、OF，則OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB.可證明四邊形0ECD為正方形，內(nèi)切圓半徑r=CD=CE，從而得到r=■.

圖2

師：還有其他答案嗎？

有位學(xué)生站起來激動地說：“我還有一種不同的答案.”

師（欣喜地）：請說說你的思路.

生：如圖3，連接OD、OE、OF，已知⊙O的半徑為r，由S■+S■+S■=S■得■ar+■br+■cr=■ab，整理得r=■.

圖3

頓時教室里一片沸騰，同一題目，怎么會有不同答案呢？有的學(xué)生列舉了一些特殊的值來驗證，如3、4、5，5、12、13等，計算結(jié)果一致，但說不出所以然來.

究竟為什么呢？學(xué)生都把渴求的目光投向了老師.教師故弄玄虛：“同學(xué)們，這兩個結(jié)果真的不一樣嗎？，能不能相互轉(zhuǎn)化？”

學(xué)生似乎有所醒悟，可還是不知如何下手.

師：這個三角形的邊有何特定關(guān)系？

生（大部分學(xué)生）：滿足勾股定理，噢，知道了！

以下是學(xué)生的兩種代表性思路：

思路1：把c=■代入r=■并經(jīng)過分母有理化得

r=■=■=■.

思路2：由a■+b■=c■變形得（a+b）■-2ab=c■即ab=■，將其代入r=■得r=■=■=■.

師：可見，兩個結(jié)果都是正確的，它們僅是外在形態(tài)上的差異，其本質(zhì)是一致的，是能“歸一”的.

再次追問：同學(xué)們，既然兩個結(jié)果僅是外在形態(tài)上的差異，你能從這兩個式子相等發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生面面相覷，然后似有所悟，動手整理，不一會學(xué)生歡呼雀躍：證明出勾股定理.以下是他們的共同成果.

由r=■和r=■得■=■，整理得（a+b-c）（a+b+c）=2ab，即（a+b）■-c■=2ab，化簡得a■+2ab+b■-c■=2ab，即a■+b■=c■.

好課是問出來的，課堂追問真的能追出一片精彩，三次追問，激起學(xué)生的活性因子，催化出學(xué)生的求解思路.教師有意識的追問，不僅促使學(xué)生積極主動思考，還不經(jīng)意間培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究能力.

（4）在意外時追問——推波助瀾

蘇霍姆林斯基曾說：“教學(xué)的技巧并不在于預(yù)見課的所有細節(jié)，在于根據(jù)當(dāng)時的具體判斷，巧妙地在學(xué)生的不知不覺中作出相應(yīng)的變動.”高超地捕捉學(xué)生思維閃光點的能力是教師教學(xué)水平的集中體現(xiàn).其實這些意外事件是學(xué)生獨立思考后瞬間的創(chuàng)造，是張揚個性的最佳途徑.因此，面對學(xué)生的“意外”，我們應(yīng)耐心傾聽，睿智追問，開啟學(xué)生智慧.

【例4】在《數(shù)學(xué)》七年級上“一元一次方程的應(yīng)用”時的教學(xué)片段：

師：小強和小明每天堅持跑步，小強每秒跑6米，小明每秒跑4米，如果他們站在200米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？

生1：設(shè)x秒后兩人相遇，則所列方程為（6+4）x=200或6x+4x=200.

生2：老師，可不可以用方程6×2x-2x=200來解？

師：（很意外，停頓了片刻追問）你是怎么想的？

生2：假如小明也是每秒跑6米，那么兩人x秒內(nèi)所跑的路程為6×2x米，實際上小明每秒比小強少跑2米，因此再減去2x米就正好是兩人在x秒內(nèi)所跑的路程和200米.

師：真是與眾不同的想法，還有類似創(chuàng)意的思考嗎？

生3：也可以列為4×2x+2x=200.

這是一個精彩、有價值而又令人回味的教學(xué)片段.學(xué)生提出的問題很新穎且富有價值，完全在教師的意料之外.教師及時抓住意外進行追問，因勢利導(dǎo)，順水推舟，引導(dǎo)學(xué)生深入研究和思考，讓課堂在看似不和諧的表象中生成精彩.endprint

2.設(shè)計有效的追問練習(xí)——對癥下藥.

（1）設(shè)置“陷阱”練習(xí)——步步為營

所謂初中數(shù)學(xué)“陷阱題”，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時容易“上當(dāng)受騙”的題目.“陷阱題”與常規(guī)題不同，它具有較大的迷惑性和較好的隱蔽性.通過對這類題目的訓(xùn)練和考查，很容易發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維上存在的缺陷，教師此時再結(jié)合有效追問，不僅可以及時糾正學(xué)生當(dāng)前的錯誤，而且可以矯正學(xué)生知識掌握不準確、考慮問題不全面等不良思維習(xí)慣.

【例5】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx■+■x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.

（先讓學(xué)生獨立計算一會，然后再請學(xué)生回答）

生1：由于方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=（■）■-4k≥0，解得k≤2.

師追：不錯，不知還有沒有別的什么條件要滿足的呢？

生2：哦，因為題目說是關(guān)于x的一元二次方程，所以說二次項系數(shù)k≠0，即答案是k≤2且k≠0.

師追：很好，還有要補充的嗎？

生3：（興奮）還必須使■x中的被開方數(shù)2k+4x≥0，這樣才有意義，所以結(jié)果應(yīng)該是-2≤k≤2，且k≠0.

師追：（鼓掌）非常好.還有要進一步補充的嗎？

眾生：沒有啦！

師追：誰來總結(jié)一下這個題的解題思路？

生4：（舉手回答）首先，因為關(guān)于x的一元二次方程kx■+■x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=（■）■-4k≥0，得k≤2..其次題中還有兩個隱含條件：其一，原方程是一元二次方程，二次項系數(shù)必須不為0，所以k≠0；其二，方程中還出現(xiàn)了二次根式，其被開方數(shù)必須大于或等于0，所以2k+4≥0，解得k≥-2，最后綜合得到k的取值范圍是-2≤k≤2，且k≠0；

師：非常精彩的回答，以后這類隱含的條件陷阱可千萬別再掉進去哦.

教師針對學(xué)生某些不良習(xí)慣（粗心、片面、混亂等），設(shè)置一些針對性“思維型陷阱”，并讓學(xué)生經(jīng)歷：陷入“陷阱”——沖出“陷阱”——再陷入“陷阱”——再從新“陷阱”中沖出來——這一過程，使學(xué)生的認識過程經(jīng)歷了螺旋式上升過程，完善了認知結(jié)構(gòu)，掌握了擺脫“陷阱”的方法，深化了認知過程.并引導(dǎo)學(xué)生分析陷入“陷阱”的原因，使學(xué)生“吃一塹”、“長一智”，從中訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、有序、靈活變通的全面思維素質(zhì).為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的思維基礎(chǔ).

（2）設(shè)置一題多解練習(xí)——小題“大”做

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，還要求發(fā)展學(xué)生的能力，培養(yǎng)他們良好的個性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣.在實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的過程中，當(dāng)學(xué)生獲得一定成果時教師適當(dāng)?shù)刈穯柡屯卣挂?，可以激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強烈欲望，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，這對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠的影響.

【例6】在復(fù)習(xí)“數(shù)與式”專題時的一個教學(xué)片段：

師：已知a、b滿足ab=1，那么■+■=？搖 ？搖？搖？搖請同學(xué)們獨立思考2分鐘后交流.

生1：答案是1.因為a、b滿足ab=1，所以可以用特值法.取a=1，b=1代入原式，得■+■=1.

師：很好，“小題小做”，特殊值法是解決這道填空題很好的選擇.但是，還有其他方法嗎？

生2：由ab=1得a=■，代入所求式子得：■+■=■+■=■+■=1.

生3（興奮地）：把b=■代入所求式子得到的結(jié)果應(yīng)該也是1.因為在■+■中a、b調(diào)換位置后得到的式子與原來的式子是一樣的.

師：對，很好，這兩位同學(xué)觀察得很仔細.本題所求式子中有兩個未知數(shù)a和b，利用已知條件，通過“代入”，把兩個未知數(shù)變成了一個未知數(shù)，最后還得到了一個常數(shù).他們運用的是我們數(shù)學(xué)上常用的什么思想？

眾生：消元.

這時學(xué)生的“消元”意識被激活了，接著又出現(xiàn)了另外一種思路：

生4：將1=ab代入所求式子得：■+■=■+■=■+■=1.

此時，教室里響起了熱烈的掌聲.

師（欣賞地）：很好.這種方法非常巧妙.誰還有不同的方法？

生5：

先通分，得：■+■=■+■=■=■，

再把1=ab代入得■=■=1，

教室里又一次響起熱烈的掌聲.

一位一直低頭演算的學(xué)生忽然站起來說：我還有一種方法.

教師：那說說你的方法.

生6：■+■=■+■=■+■=1.

課室里再一次響起熱烈的掌聲.

然后老師帶領(lǐng)學(xué)生挖掘出蘊含在各種方法中的共性——利用已知條件，通過“代入”達到“消元”的目的.

學(xué)生在課堂上高漲的參與熱情讓老師感慨良多.如果老師在學(xué)生講出“特值法”后就不再追問“還有其他的方法嗎”，就不能激發(fā)學(xué)生找到后面的多種解法，浪費一個很好地練習(xí)“一題多解”的機會，而適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以溝通知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解，促進思維的靈活性，提高解決問題的能力，讓其品嘗到學(xué)習(xí)成功的快樂.

（3）設(shè)置一題多變練習(xí)——八面玲瓏

【例7】《數(shù)學(xué)》八年級下“特殊四邊形的專題復(fù)習(xí)”教學(xué)片段：

問題1：如圖7，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是AD邊上的中點，請在對角線BD上找一點M，使得AM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖7

師：同學(xué)們，以前有沒有遇見過類似的問題？

生（齊答）：有，“將軍飲馬”問題.

師（追問）：誰來說說，這個將軍該怎么走，為什么要這樣走？endprint

生1：……兩點之間線段最短.

師：這位同學(xué)對基礎(chǔ)知識的理解非常到位.那么，同學(xué)們對上面這道題有思路了嗎？

生2：利用菱形的對稱性，因點A關(guān)于BD的對稱點是點C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的長就為最短距離，并且最短距離CE的長是3■.

師（追問）：你是如何求的，請說明解題過程？

生3：因為∠ADC=60°，易證△ADC是等邊三角形，而點E為AD中點，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

師：看來，問題的解決是利用了直角三角形的性質(zhì).下面我們將題目稍作變化.

（追問）問題2：如圖8，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是DC邊上的中點，請在AC上找一點M，使得DM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖8

師：本題中，DM+ME的最小值即BE的長，又該如何求呢？

生4：老師，現(xiàn)在BE不在直角三角形中，需要構(gòu)造一個直角三角形.

師（追問）：講得好，沒有直角三角形的時候，要學(xué)會構(gòu)造個直角三角形.那么如何構(gòu)造呢？

生5：如圖9，連接AE，因為E是等邊三角形一邊上的中點，所以∠EAC=30°，從而有∠EAB=90°.這樣，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，則由勾股定理可得BE=3■.

（緊接著，其他同學(xué)又借助不同的輔助線構(gòu)造出直角三角形）

圖9

師：真是八仙過海，各顯神通！同學(xué)們都很會思考，也把握住了解題的關(guān)鍵，即構(gòu)造一個所求邊所在的直角三角形.好！讓我們再做進一步研究.

（追問）問題3：將正方形ABCD放置在如圖10所示的直角坐標系中，點P為AB中點，點B的坐標為（8，0），連接CP，將△BCP沿CP對折，使點B落在y軸的M點，且M的縱坐標為4.

圖10

（1）求點A的坐標；

（2）請在x軸上找一點Q，使得△CMQ的周長最短，并求出點Q坐標及最短周長.

師：請結(jié)合條件與結(jié)論思考，求A點坐標的實質(zhì)是什么？折疊又能告訴我們什么？

生6：求A點坐標就是求OA或OP的長，折疊可以得對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

師：很好！從幾何問題的解決策略來看，尋找所求元素的三角形，并研究這些元素之間的關(guān)系是最基本、最重要的方法.從這個角度分析，你找到解決問題的方法了嗎？

生7：找到了.根據(jù)對稱，可以得到MP+OP=BP+OP=8，這樣，設(shè)OP=x，則MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A點坐標應(yīng)為（-2，0）.

師：讓我們繼續(xù)思考第二個問題，假設(shè)Q在x軸上的某一位置，請畫圖試一試，看看又有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

生8：無論Q在哪里，CM的長總是不變的.

生9：這樣一來，求周長的最小值實際上就是求MQ+CQ的最小值，這與我們前面所研究的問題是一樣的.

師：請說說具體的解題過程？

生10：由于點關(guān)于x軸的對稱點M′（0，-4），則Q點就是CM′與x軸的交點，設(shè)直線CM′函數(shù)解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，則x=■，故Q點的坐標為（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周長就為CM′+CM=2■+10.

師：解釋得很好，既看到問題的本質(zhì)，又綜合運用知識求解.當(dāng)遇到類似的問題時，同學(xué)們可假設(shè)它在某個固定的位置，看看此時的情況，再逐步改變它的位置，以便發(fā)現(xiàn)哪些量是不變的，哪些量是變化的，又是怎樣在變的，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的有效辦法.

從問題1到問題2的追問，教師將問題進行了橫向遷移，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體參與性.從問題2到問題3的追問，實質(zhì)上是對問題的有效拓展，更具內(nèi)涵，既可以充分考查學(xué)生前面的學(xué)習(xí)成效，又可以充分提高學(xué)生綜合運用知識的能力.

三、研究的效果分析

（一）體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.而傳統(tǒng)教學(xué)認為：“師者，傳道、授業(yè)、解惑也.”教學(xué)時，教師往往注重自身的教，而忽視學(xué)生的學(xué)，時常扮演“老夫子”角色，成為課堂的“主角”，學(xué)生成為“配角”，使得課堂主次顛倒，學(xué)生處于被動地位.在教學(xué)中讓學(xué)生主動嘗試、自主探索、合作交流，教師根據(jù)學(xué)生情況適時引導(dǎo)、有效追問.這樣便形成了師生交往，積極互動，共同發(fā)展的過程.課堂追問教學(xué)的實施，使得學(xué)生主動學(xué)習(xí)，發(fā)自內(nèi)心深處的思考，學(xué)生的主體地位及教師的主導(dǎo)地位真正體現(xiàn)出來.

（二）點燃了學(xué)生的思維火花

由于受知識、經(jīng)驗的局限，學(xué)生對問題的認識常表現(xiàn)出孤立、膚淺的思維特征，不能進一步深層次思考問題，常常停留在表面現(xiàn)象，不能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).為此教師要善問、巧問，從一題多問、問題串等不同形式出發(fā)，強調(diào)思維的發(fā)散性，增強思維的靈活性，順其自然地激活課堂.而此時進行的“追問”主要是教師及時地提供科學(xué)的思維方法，搭設(shè)思維跳板，幫助學(xué)生拓廣思考的視角，從多個角度發(fā)散，在廣闊的空間中搜尋，并在更高層次上繼續(xù)思考，從而得到新的發(fā)現(xiàn).智慧的追問是教師對課堂教學(xué)的一種深度把握，促使學(xué)生不斷拓展和加深理解所學(xué)知識，對于揭示知識的本質(zhì)，拓寬思維廣度和深度有著重要的意義.

（三）提高了學(xué)生的探究能力

新課標強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的重心不再僅僅放在學(xué)會知識上，而是轉(zhuǎn)到學(xué)會學(xué)習(xí)、掌握方法和培養(yǎng)能力上.數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)和提高能為今后的學(xué)習(xí)鋪平道路，平時的課堂教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常在教師的引導(dǎo)、追問下就能不斷發(fā)現(xiàn)新問題并給出問題的解決方法，然后糾正方法，改進提高，最終真正解決問題.在問題的解決過程中，教師還通過不斷追問引領(lǐng)學(xué)生反思解法，改進方法，層層探究.學(xué)生探究的過程其實就是創(chuàng)新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得不是依靠教師進行強制灌輸，而是在教師的追問和引導(dǎo)下由學(xué)生主動探索、主動思考、親自體驗出來的.課堂教學(xué)中實施有效的追問能讓學(xué)生積極地參與到學(xué)習(xí)過程中，自主探索，積極思考，大膽發(fā)表自己的觀點，讓學(xué)生在自主探索中獲得不斷發(fā)展，原有的學(xué)習(xí)探究能力就會得到較大的提高.

參考文獻：

[1]初中數(shù)學(xué)新課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.

[2]初中數(shù)學(xué)新課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.2.

[3]陳新蕓.實施有效追問構(gòu)建生命課堂——初中數(shù)學(xué)課堂有效追問研究[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2010.05.

[4]趙緒昌.把握數(shù)學(xué)課堂教學(xué)追問的時機[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010.10.

[5]陸慕萍.課堂教學(xué)如何實施有效追問.百度文庫，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint

生1：……兩點之間線段最短.

師：這位同學(xué)對基礎(chǔ)知識的理解非常到位.那么，同學(xué)們對上面這道題有思路了嗎？

生2：利用菱形的對稱性，因點A關(guān)于BD的對稱點是點C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的長就為最短距離，并且最短距離CE的長是3■.

師（追問）：你是如何求的，請說明解題過程？

生3：因為∠ADC=60°，易證△ADC是等邊三角形，而點E為AD中點，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

師：看來，問題的解決是利用了直角三角形的性質(zhì).下面我們將題目稍作變化.

（追問）問題2：如圖8，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是DC邊上的中點，請在AC上找一點M，使得DM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖8

師：本題中，DM+ME的最小值即BE的長，又該如何求呢？

生4：老師，現(xiàn)在BE不在直角三角形中，需要構(gòu)造一個直角三角形.

師（追問）：講得好，沒有直角三角形的時候，要學(xué)會構(gòu)造個直角三角形.那么如何構(gòu)造呢？

生5：如圖9，連接AE，因為E是等邊三角形一邊上的中點，所以∠EAC=30°，從而有∠EAB=90°.這樣，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，則由勾股定理可得BE=3■.

（緊接著，其他同學(xué)又借助不同的輔助線構(gòu)造出直角三角形）

圖9

師：真是八仙過海，各顯神通！同學(xué)們都很會思考，也把握住了解題的關(guān)鍵，即構(gòu)造一個所求邊所在的直角三角形.好！讓我們再做進一步研究.

（追問）問題3：將正方形ABCD放置在如圖10所示的直角坐標系中，點P為AB中點，點B的坐標為（8，0），連接CP，將△BCP沿CP對折，使點B落在y軸的M點，且M的縱坐標為4.

圖10

（1）求點A的坐標；

（2）請在x軸上找一點Q，使得△CMQ的周長最短，并求出點Q坐標及最短周長.

師：請結(jié)合條件與結(jié)論思考，求A點坐標的實質(zhì)是什么？折疊又能告訴我們什么？

生6：求A點坐標就是求OA或OP的長，折疊可以得對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

師：很好！從幾何問題的解決策略來看，尋找所求元素的三角形，并研究這些元素之間的關(guān)系是最基本、最重要的方法.從這個角度分析，你找到解決問題的方法了嗎？

生7：找到了.根據(jù)對稱，可以得到MP+OP=BP+OP=8，這樣，設(shè)OP=x，則MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A點坐標應(yīng)為（-2，0）.

師：讓我們繼續(xù)思考第二個問題，假設(shè)Q在x軸上的某一位置，請畫圖試一試，看看又有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

生8：無論Q在哪里，CM的長總是不變的.

生9：這樣一來，求周長的最小值實際上就是求MQ+CQ的最小值，這與我們前面所研究的問題是一樣的.

師：請說說具體的解題過程？

生10：由于點關(guān)于x軸的對稱點M′（0，-4），則Q點就是CM′與x軸的交點，設(shè)直線CM′函數(shù)解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，則x=■，故Q點的坐標為（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周長就為CM′+CM=2■+10.

師：解釋得很好，既看到問題的本質(zhì)，又綜合運用知識求解.當(dāng)遇到類似的問題時，同學(xué)們可假設(shè)它在某個固定的位置，看看此時的情況，再逐步改變它的位置，以便發(fā)現(xiàn)哪些量是不變的，哪些量是變化的，又是怎樣在變的，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的有效辦法.

從問題1到問題2的追問，教師將問題進行了橫向遷移，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體參與性.從問題2到問題3的追問，實質(zhì)上是對問題的有效拓展，更具內(nèi)涵，既可以充分考查學(xué)生前面的學(xué)習(xí)成效，又可以充分提高學(xué)生綜合運用知識的能力.

三、研究的效果分析

（一）體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.而傳統(tǒng)教學(xué)認為：“師者，傳道、授業(yè)、解惑也.”教學(xué)時，教師往往注重自身的教，而忽視學(xué)生的學(xué)，時常扮演“老夫子”角色，成為課堂的“主角”，學(xué)生成為“配角”，使得課堂主次顛倒，學(xué)生處于被動地位.在教學(xué)中讓學(xué)生主動嘗試、自主探索、合作交流，教師根據(jù)學(xué)生情況適時引導(dǎo)、有效追問.這樣便形成了師生交往，積極互動，共同發(fā)展的過程.課堂追問教學(xué)的實施，使得學(xué)生主動學(xué)習(xí)，發(fā)自內(nèi)心深處的思考，學(xué)生的主體地位及教師的主導(dǎo)地位真正體現(xiàn)出來.

（二）點燃了學(xué)生的思維火花

由于受知識、經(jīng)驗的局限，學(xué)生對問題的認識常表現(xiàn)出孤立、膚淺的思維特征，不能進一步深層次思考問題，常常停留在表面現(xiàn)象，不能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).為此教師要善問、巧問，從一題多問、問題串等不同形式出發(fā)，強調(diào)思維的發(fā)散性，增強思維的靈活性，順其自然地激活課堂.而此時進行的“追問”主要是教師及時地提供科學(xué)的思維方法，搭設(shè)思維跳板，幫助學(xué)生拓廣思考的視角，從多個角度發(fā)散，在廣闊的空間中搜尋，并在更高層次上繼續(xù)思考，從而得到新的發(fā)現(xiàn).智慧的追問是教師對課堂教學(xué)的一種深度把握，促使學(xué)生不斷拓展和加深理解所學(xué)知識，對于揭示知識的本質(zhì)，拓寬思維廣度和深度有著重要的意義.

（三）提高了學(xué)生的探究能力

新課標強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的重心不再僅僅放在學(xué)會知識上，而是轉(zhuǎn)到學(xué)會學(xué)習(xí)、掌握方法和培養(yǎng)能力上.數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)和提高能為今后的學(xué)習(xí)鋪平道路，平時的課堂教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常在教師的引導(dǎo)、追問下就能不斷發(fā)現(xiàn)新問題并給出問題的解決方法，然后糾正方法，改進提高，最終真正解決問題.在問題的解決過程中，教師還通過不斷追問引領(lǐng)學(xué)生反思解法，改進方法，層層探究.學(xué)生探究的過程其實就是創(chuàng)新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得不是依靠教師進行強制灌輸，而是在教師的追問和引導(dǎo)下由學(xué)生主動探索、主動思考、親自體驗出來的.課堂教學(xué)中實施有效的追問能讓學(xué)生積極地參與到學(xué)習(xí)過程中，自主探索，積極思考，大膽發(fā)表自己的觀點，讓學(xué)生在自主探索中獲得不斷發(fā)展，原有的學(xué)習(xí)探究能力就會得到較大的提高.

參考文獻：

[1]初中數(shù)學(xué)新課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.

[2]初中數(shù)學(xué)新課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.2.

[3]陳新蕓.實施有效追問構(gòu)建生命課堂——初中數(shù)學(xué)課堂有效追問研究[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2010.05.

[4]趙緒昌.把握數(shù)學(xué)課堂教學(xué)追問的時機[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010.10.

[5]陸慕萍.課堂教學(xué)如何實施有效追問.百度文庫，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint

生1：……兩點之間線段最短.

師：這位同學(xué)對基礎(chǔ)知識的理解非常到位.那么，同學(xué)們對上面這道題有思路了嗎？

生2：利用菱形的對稱性，因點A關(guān)于BD的對稱點是點C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的長就為最短距離，并且最短距離CE的長是3■.

師（追問）：你是如何求的，請說明解題過程？

生3：因為∠ADC=60°，易證△ADC是等邊三角形，而點E為AD中點，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

師：看來，問題的解決是利用了直角三角形的性質(zhì).下面我們將題目稍作變化.

（追問）問題2：如圖8，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是DC邊上的中點，請在AC上找一點M，使得DM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖8

師：本題中，DM+ME的最小值即BE的長，又該如何求呢？

生4：老師，現(xiàn)在BE不在直角三角形中，需要構(gòu)造一個直角三角形.

師（追問）：講得好，沒有直角三角形的時候，要學(xué)會構(gòu)造個直角三角形.那么如何構(gòu)造呢？

生5：如圖9，連接AE，因為E是等邊三角形一邊上的中點，所以∠EAC=30°，從而有∠EAB=90°.這樣，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，則由勾股定理可得BE=3■.

（緊接著，其他同學(xué)又借助不同的輔助線構(gòu)造出直角三角形）

圖9

師：真是八仙過海，各顯神通！同學(xué)們都很會思考，也把握住了解題的關(guān)鍵，即構(gòu)造一個所求邊所在的直角三角形.好！讓我們再做進一步研究.

（追問）問題3：將正方形ABCD放置在如圖10所示的直角坐標系中，點P為AB中點，點B的坐標為（8，0），連接CP，將△BCP沿CP對折，使點B落在y軸的M點，且M的縱坐標為4.

圖10

（1）求點A的坐標；

（2）請在x軸上找一點Q，使得△CMQ的周長最短，并求出點Q坐標及最短周長.

師：請結(jié)合條件與結(jié)論思考，求A點坐標的實質(zhì)是什么？折疊又能告訴我們什么？

生6：求A點坐標就是求OA或OP的長，折疊可以得對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

師：很好！從幾何問題的解決策略來看，尋找所求元素的三角形，并研究這些元素之間的關(guān)系是最基本、最重要的方法.從這個角度分析，你找到解決問題的方法了嗎？

生7：找到了.根據(jù)對稱，可以得到MP+OP=BP+OP=8，這樣，設(shè)OP=x，則MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A點坐標應(yīng)為（-2，0）.

師：讓我們繼續(xù)思考第二個問題，假設(shè)Q在x軸上的某一位置，請畫圖試一試，看看又有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

生8：無論Q在哪里，CM的長總是不變的.

生9：這樣一來，求周長的最小值實際上就是求MQ+CQ的最小值，這與我們前面所研究的問題是一樣的.

師：請說說具體的解題過程？

生10：由于點關(guān)于x軸的對稱點M′（0，-4），則Q點就是CM′與x軸的交點，設(shè)直線CM′函數(shù)解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，則x=■，故Q點的坐標為（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周長就為CM′+CM=2■+10.

師：解釋得很好，既看到問題的本質(zhì)，又綜合運用知識求解.當(dāng)遇到類似的問題時，同學(xué)們可假設(shè)它在某個固定的位置，看看此時的情況，再逐步改變它的位置，以便發(fā)現(xiàn)哪些量是不變的，哪些量是變化的，又是怎樣在變的，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的有效辦法.

從問題1到問題2的追問，教師將問題進行了橫向遷移，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體參與性.從問題2到問題3的追問，實質(zhì)上是對問題的有效拓展，更具內(nèi)涵，既可以充分考查學(xué)生前面的學(xué)習(xí)成效，又可以充分提高學(xué)生綜合運用知識的能力.

三、研究的效果分析

（一）體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.而傳統(tǒng)教學(xué)認為：“師者，傳道、授業(yè)、解惑也.”教學(xué)時，教師往往注重自身的教，而忽視學(xué)生的學(xué)，時常扮演“老夫子”角色，成為課堂的“主角”，學(xué)生成為“配角”，使得課堂主次顛倒，學(xué)生處于被動地位.在教學(xué)中讓學(xué)生主動嘗試、自主探索、合作交流，教師根據(jù)學(xué)生情況適時引導(dǎo)、有效追問.這樣便形成了師生交往，積極互動，共同發(fā)展的過程.課堂追問教學(xué)的實施，使得學(xué)生主動學(xué)習(xí)，發(fā)自內(nèi)心深處的思考，學(xué)生的主體地位及教師的主導(dǎo)地位真正體現(xiàn)出來.

（二）點燃了學(xué)生的思維火花

由于受知識、經(jīng)驗的局限，學(xué)生對問題的認識常表現(xiàn)出孤立、膚淺的思維特征，不能進一步深層次思考問題，常常停留在表面現(xiàn)象，不能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).為此教師要善問、巧問，從一題多問、問題串等不同形式出發(fā)，強調(diào)思維的發(fā)散性，增強思維的靈活性，順其自然地激活課堂.而此時進行的“追問”主要是教師及時地提供科學(xué)的思維方法，搭設(shè)思維跳板，幫助學(xué)生拓廣思考的視角，從多個角度發(fā)散，在廣闊的空間中搜尋，并在更高層次上繼續(xù)思考，從而得到新的發(fā)現(xiàn).智慧的追問是教師對課堂教學(xué)的一種深度把握，促使學(xué)生不斷拓展和加深理解所學(xué)知識，對于揭示知識的本質(zhì)，拓寬思維廣度和深度有著重要的意義.

（三）提高了學(xué)生的探究能力

新課標強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的重心不再僅僅放在學(xué)會知識上，而是轉(zhuǎn)到學(xué)會學(xué)習(xí)、掌握方法和培養(yǎng)能力上.數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)和提高能為今后的學(xué)習(xí)鋪平道路，平時的課堂教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常在教師的引導(dǎo)、追問下就能不斷發(fā)現(xiàn)新問題并給出問題的解決方法，然后糾正方法，改進提高，最終真正解決問題.在問題的解決過程中，教師還通過不斷追問引領(lǐng)學(xué)生反思解法，改進方法，層層探究.學(xué)生探究的過程其實就是創(chuàng)新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得不是依靠教師進行強制灌輸，而是在教師的追問和引導(dǎo)下由學(xué)生主動探索、主動思考、親自體驗出來的.課堂教學(xué)中實施有效的追問能讓學(xué)生積極地參與到學(xué)習(xí)過程中，自主探索，積極思考，大膽發(fā)表自己的觀點，讓學(xué)生在自主探索中獲得不斷發(fā)展，原有的學(xué)習(xí)探究能力就會得到較大的提高.

參考文獻：

[1]初中數(shù)學(xué)新課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.

[2]初中數(shù)學(xué)新課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.2.

[3]陳新蕓.實施有效追問構(gòu)建生命課堂——初中數(shù)學(xué)課堂有效追問研究[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2010.05.

[4]趙緒昌.把握數(shù)學(xué)課堂教學(xué)追問的時機[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010.10.

[5]陸慕萍.課堂教學(xué)如何實施有效追問.百度文庫，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint