鞏誠德

摘 要：換元法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的解題方法之一，利用換元法可以將數(shù)學(xué)中的難題化繁為簡，提高數(shù)學(xué)解題的效率。教師要研究幾種換元法在高中數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用實例，以期能夠起到拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；換元法；應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想和方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上抽象和概括的考查，考查時要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解。本文通過幾種類型的數(shù)學(xué)試題分析數(shù)學(xué)換元法的實際應(yīng)用，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中的換元思想，提高數(shù)學(xué)教與學(xué)的效益，真正地實施有效教學(xué)。

一、換元法概念

在解決數(shù)學(xué)問題時，依據(jù)所需要求解問題的特征，把某個式子作為一個整體，用一個變量去代替它，這就是換元思想，其解題的方法我們稱之為換元法。換元的實質(zhì)是通過映射轉(zhuǎn)移、通過構(gòu)造元和設(shè)元，進行等量代換，將問題轉(zhuǎn)移到新對象的知識背景中去研究，把分散條件聯(lián)系起來、隱含條件顯示出來，或者把生疏的形式變換成熟悉的形式，把非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，并可使超越式轉(zhuǎn)化為有理式、高次式轉(zhuǎn)化為低次式，從而實現(xiàn)變未知為已知、化繁為簡、化難為易、便于理解，提高解題的效率。

二、換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

換元理念滲透到高中數(shù)學(xué)中，即是體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中的換元思想。下面，本文就通過換元思想來解決高中數(shù)學(xué)中的部分具體問題，闡述換元思想方法的方法論意義，表明其對培養(yǎng)與提高學(xué)生解題能力的重要作用，以供參考。

例1 三角換元與均值換元的應(yīng)用。

實數(shù)x、y滿足4x2-5xy+4y2=5 （ ①式） ，設(shè)S=x2+y2，求■+■的值。（1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

【分析】 由S=x2+y2聯(lián)想到cos2α+sin2α=1，于是進行三角換元，設(shè)x=■cosay=■sina，代入①式求S■和S■的值。

【解】設(shè)x=■cosay=■sina代入①式得：4S-5S·sinαcosα=5， 解得 S=■。

∵-1≤sin2α≤1， ∴3≤8-5sin2α≤13?！唷觥堋觥堋?。

∴■+■=■+■=■=■。

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α=■的有界性而求，即解不等式：|■|≤1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x2+y2與三角公式cos2α+sin2α=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。

例2 換元法在方程和方程組中的應(yīng)用。

換元法在解高次方程、分式方程、無理方程的過程中都可以應(yīng)用，其要點是把方程中的一些表達形式相同的部分看成一個整體并設(shè)新的字母表示，從而達到化簡方程并把原方程化歸為已經(jīng)會解的一元一次或一元二次方程的目的。

注意：換元的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造方程中表達形式相同的部分作為換元的對象。在解方程的過程中換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時，只要能達到降次目的的換元法都可以用。

解方程（x2+2x）2-14（x2+2x）-15=0。

解：設(shè)x2+2x=y，則原方程就變成y2-14y-15=0， ∴（y+1）（y-15）=0？圯y1=-1，y2=15。

當(dāng)y=-1時， x2+2x=-1？圯x2+2x+1=0？圯（x+1）2=0？圯x1=x2=-1；

當(dāng)y=15時，x2+2x=15？圯x2+2x-15=0？圯（x+5）（x-3）=0？圯x3=3，x4=-5。

即原方程的解為x1=x2=-1，x3=3，x4=-5。

說明：在這個例題中用換元法把高次方程化為低次方程，解方程就容易多了。

三、換元法給我們的啟示

換元法作為高中數(shù)學(xué)中解題的重要方法之一，通過換元方法可以讓一些非標(biāo)準(zhǔn)化的問題變得標(biāo)準(zhǔn)化，讓復(fù)雜的問題變得簡單化，對于解題可以起到很好的效果。同時，學(xué)生學(xué)會通過換元法考慮數(shù)學(xué)問題，可以有效地提升他們的數(shù)學(xué)解題效率，培養(yǎng)他們的解題能力，提高解題速度。

參考文獻：

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（甘肅省通渭縣馬營中學(xué)）