姚佳

【摘 要】數(shù)學(xué)工具在決策中起著非常重要的作用，復(fù)雜的決策問題人們通常都需要利用數(shù)學(xué)模型來將其簡單化，利用數(shù)學(xué)方法中的層次分析法和模糊綜合評價法建立模塊，遵循面向?qū)ο蟮木幊趟枷雽哟畏治龇ê湍：C合評價法都設(shè)計成一個類從而實(shí)現(xiàn)在輔助決策支持系統(tǒng)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】層次分析法；模糊綜合評價法；輔助決策支持系統(tǒng)

決策是人們進(jìn)行選擇或判斷的一種思維活動，人們幾乎每時每刻都需要決策，有些決策是簡單容易的，有些決策是復(fù)雜困難的，它們常常困擾著人們。決策是是科學(xué)也是藝術(shù)，說它是科學(xué)因?yàn)槿藗冞M(jìn)行著選擇和判斷應(yīng)當(dāng)盡可能的符合客觀實(shí)際，這就要求決策者盡可能真實(shí)的了解問題的背景、環(huán)境和發(fā)展變化規(guī)律，盡可能詳盡的占有資料，盡可能廣泛的掌握正確的決策方法和各種輔助工具。說它是藝術(shù)，因?yàn)楦鞣N選擇和判斷最終是有人作出的，決策的正確與否優(yōu)良可劣，與決策者的素質(zhì)、經(jīng)驗(yàn)、才能有很大的關(guān)系。

數(shù)學(xué)工具在決策中起著重要的作用。在復(fù)雜的決策問題面前，人們往往需要利用數(shù)學(xué)模型對實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡化，進(jìn)而對實(shí)際問題進(jìn)行系統(tǒng)分析，在決策過程中利用數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)在于：分析問題容易，目的性強(qiáng)，可進(jìn)行模擬計算，便于應(yīng)用計算機(jī)等先進(jìn)手段。由于人們的選擇和判斷往往是在某種思維下進(jìn)行的，在這個標(biāo)準(zhǔn)下做出“好的”決策，這就促成了決策有關(guān)的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支；線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、多準(zhǔn)則決策……的迅速發(fā)展，最優(yōu)化技術(shù)幾乎成了決策分析的代名詞。到了本世紀(jì)七十年代末、八十年代初，最優(yōu)化技術(shù)發(fā)展的越來越抽象，使絕大多數(shù)工程技術(shù)人員望而生畏，數(shù)學(xué)模型的規(guī)模越來越大，對計算機(jī)內(nèi)存與運(yùn)算速度越來越高，一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)分析耗資巨大，以至形成了一種數(shù)學(xué)模型的“泥潭”。在這種情況下一些有遠(yuǎn)見的運(yùn)籌學(xué)家開始冷靜地看待和正確的評價復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型對決策分析的作用，問題是顯而易見的，人們無法忽視或回避決策過程中決策者的選擇的判斷所起的決定作用。數(shù)學(xué)模型并非萬能的工具，決策中有大量的因素?zé)o法定量表示。問題的答案幾乎在明確不過了，運(yùn)籌學(xué)家們必須回到?jīng)Q策的起點(diǎn)和終點(diǎn)——人的選擇和判斷上來，認(rèn)真的研究決策思維的規(guī)律，也就是人們進(jìn)行選擇和判斷的規(guī)律。

層次分析法的步驟：（1）確定目標(biāo)和評價因素。

（2）構(gòu)造判斷矩陣。

判斷矩陣元素的值反映了人們對各元素相對重要性的認(rèn)識，一般采用1-9及其倒數(shù)的標(biāo)度方法。但當(dāng)相互比較因素的重要性能夠用具有實(shí)際意義的比值說明時，判斷矩陣相應(yīng)元素的值則取這個比值。即得到判斷矩陣S=（u）。

重要度判斷矩陣需要將每個元素作兩兩比較，可能的取值是1，2，…，9及其倒數(shù)1，1/2，1/3，…，1/9。以前者相對后者的重要度為例，標(biāo)度的具體含義如表所示。如果后者比前者重要，則取成對應(yīng)的倒數(shù)。實(shí)際使用過程中，如果不需要9級的標(biāo)度，也可以僅采用1，3，5，7，9的5級標(biāo)度，不采用2，4，6，8的過渡值。

（1）計算判斷矩陣。

計算判斷矩陣S的最大特征根λ，及其對應(yīng)的特征向量A，此特征向量就是各評價因素的重要性排序，也即是權(quán)系數(shù)的分配。

（2）一致性檢驗(yàn)。

為進(jìn)行判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)，需計算一致性指標(biāo)CI=，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。RI是用隨機(jī)的方法構(gòu)造500個樣本矩陣，構(gòu)造方法是隨機(jī)地用標(biāo)度以及它們的倒數(shù)填滿樣本矩陣的上三角各項(xiàng)，主對角線各項(xiàng)數(shù)值始終為1，對應(yīng)轉(zhuǎn)置位置項(xiàng)則采用上述對應(yīng)位置隨機(jī)數(shù)的倒數(shù)。然后對各個隨機(jī)樣本矩陣計算其一致性指標(biāo)值，對這些CI值平均即得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值。當(dāng)隨機(jī)一致性比率CR=<0.10時，認(rèn)為層次分析排序的結(jié)果有滿意的一致性，即權(quán)系數(shù)的分配是合理的；否則，要調(diào)整判斷矩陣的元素取值，重新分配權(quán)系數(shù)的值。

平均一致性指標(biāo)RI可以預(yù)先計算好，作為參數(shù)表備用。論文預(yù)先計算了n從1到30的 值（如表2.2所示），最多支持進(jìn)行30個指標(biāo)屬于同一層次的重要度排序。實(shí)際使用過程中，絕大多數(shù)情況下n<10。

模糊綜合評價：模糊集合理論（fuzzysets）的概念于1965年由美國自動控制專家查德（L.A.Zadeh）教授提出，用以表達(dá)事物的不確定性。這種方法是一種基于模糊數(shù)學(xué)的綜合評價方法。該綜合評價法根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的隸屬度理論把定性評價轉(zhuǎn)化為定量評價，即用模糊數(shù)學(xué)對受到多種因素制約的事物或?qū)ο笞龀鲆粋€總體的評價。它具有結(jié)果清晰，系統(tǒng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，能較好地解決模糊的、難以量化的問題，適合各種非確定性問題的解決。

模糊綜合評價的步驟：

（1）確定評價對象的因素論域。

假設(shè)同一個層次共有p個評價指標(biāo)，u=

（2）確定評語等級論域。

（3）建立模糊關(guān)系矩陣R。

矩陣R中第i行第j列元素rij，表示某個被評事物從因素ui來看對vj等級模糊子集的隸屬度。一個被評事物在某個因素ui方面的表現(xiàn)，是通過模糊向量（R|u）=（r，r，......，r）來刻畫的，而在其他評價方法中多是由一個指標(biāo)實(shí)際值來刻畫的，因此，從這個角度講模糊綜合評價要求更多的信息。

（1）確定評價因素的權(quán)向量。

（2）合成模糊綜合評價結(jié)果向量。

利用合適的算子將A與各被評事物的R進(jìn)行合成，得到各被評事物的模糊綜合評價結(jié)果向量B。即：

其中b是由A與R的第j列運(yùn)算得到的，它表示被評事物從整體上看對vj等級模糊子集的隸屬程度。

（3）對模糊綜合評價結(jié)果向量進(jìn)行分析。

本文使用實(shí)際中最常用的最大隸屬度原則來確定最后的評價等級。

上述兩種數(shù)學(xué)方法在輔助決策支持系統(tǒng)中的應(yīng)用如下：

AHP模塊：遵循面向?qū)ο蟮木幊趟枷?，AHP同樣被設(shè)計成一個類，單獨(dú)存放在文件extensions/AHP.php中。這里僅給出部分的具體實(shí)現(xiàn)的代碼。其中矩陣特征值的計算采用的是PHP版本的JAMA庫。此外，為了保持精度，AHP重要度矩陣的浮點(diǎn)數(shù)取值，如1/9，1/7等，采用字符串的形式存儲入庫。所以在此處，需要把這些字符串轉(zhuǎn)為相應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)后再計算。

//采用PHP版本的JAMA庫的特征分解函數(shù)，直接計算特征值和特征向量

模糊綜合評價模塊：遵循面向?qū)ο蟮木幊趟枷耄：C合評價同樣被設(shè)計成一個類，單獨(dú)存放在文件extensions/FuzzyEval.php中。這里也僅給出部分具體實(shí)現(xiàn)的代碼。

//data是二維數(shù)組，表示原始數(shù)據(jù)（或求值后的數(shù)據(jù)），行數(shù)為葉子結(jié)點(diǎn)數(shù)，列數(shù)為分級數(shù)（或采樣點(diǎn)數(shù)）

//weight是二維數(shù)組，表示權(quán)重，weight[i]是i級指標(biāo)權(quán)重數(shù)組，weight[0]總是只有一個元素，weight[0][0]總是1

//itemcount是二維數(shù)組，表示需要每一級需要匯總的元素行數(shù)（下級元素個數(shù)），itemcount[i]是i級指標(biāo)的下屬元素個數(shù)數(shù)組

//systemtype是一個數(shù)，取值0表示定性分級評估，取值1表示定量評估

public function __construct（$data，$weight，$itemcount，$systemtype）{

$this->weight=$weight；

$this->itemcount=$itemcount；

$this->systemtype=$systemtype；

$this->row=count（$data）；

$this->col=count（$data[0]）；】

本文分別闡述了層次分析法（AHP）和模糊綜合評價法，介紹了AHP的相關(guān)概念以及具體的步驟；對模糊綜合評價決策的數(shù)學(xué)模型做了詳細(xì)的描述，給出建模的步驟以及運(yùn)用這兩種方法在輔助決策支持系統(tǒng)中起到的作用，并給出了實(shí)現(xiàn)輔助決策支持系統(tǒng)運(yùn)用到這兩個模塊的相關(guān)代碼，通過對這兩種方法的有效利用我們可以實(shí)現(xiàn)輔助決策支持系統(tǒng)的一些相關(guān)技術(shù)應(yīng)用。輔助決策系統(tǒng)在我們?nèi)粘５墓ぷ髦械膽?yīng)用非常廣泛，通過人機(jī)交互的方式進(jìn)行半結(jié)構(gòu)化或非結(jié)構(gòu)化的決策從而起到輔助決策的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]郭金玉，張忠彬，孫慶云.層次分析法的研究與應(yīng)用[M].中國安全科學(xué).

[2]儲敏.層次分析法忠判斷矩陣的構(gòu)造問題 [J].南京：南京理工大學(xué)，2005，9，12.

[3]許雪燕.模糊綜合評價模型的研究及應(yīng)用[J].西南石油大學(xué)，2012，1，16.

[4]吳迎學(xué)，陳潔余，龐燕.決策分析中兩種模糊綜合評價模型的應(yīng)用[M].中南林學(xué)院學(xué)報，2006（06）.