趙艷敏　張亞?wèn)|　王芬玲

【摘 要】結(jié)合實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析的教學(xué)實(shí)踐，利用比較教學(xué)法，將數(shù)學(xué)分析作為實(shí)變函數(shù)的參照物，形象地解讀實(shí)變函數(shù)理論，加深了學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的分析及理解問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】實(shí)變函數(shù)；數(shù)學(xué)分析；比較教學(xué)法；教學(xué)改革

自從20世紀(jì)初，Lebesgue在Borel測(cè)度基礎(chǔ)上建立了Lebesgue測(cè)度和Lebesgue積分以來(lái)，實(shí)變函數(shù)在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中，如在實(shí)分析、復(fù)分析、調(diào)和分析、泛函分析、微分方程與積分方程論中，都產(chǎn)生了極大影響，它還有助于現(xiàn)代概率理論的建立，對(duì)于上世紀(jì)末才發(fā)展的分形幾何也起著引導(dǎo)作用。實(shí)變函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、研究方法均為現(xiàn)代分析的基礎(chǔ)，并滲透到數(shù)學(xué)各分支，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。然而，實(shí)變函數(shù)課程的內(nèi)容非常抽象且理論性和邏輯性較強(qiáng)，其中的許多重要概念都是用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，導(dǎo)致了學(xué)生們感覺(jué)該門(mén)課程高深莫測(cè)，“實(shí)變”學(xué)“十遍”才能懂，是“天書(shū)”等，它一直是被國(guó)內(nèi)外大學(xué)認(rèn)為是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)課程。如何將該課程化抽象為具體，化難為易并理解和掌握其構(gòu)造性的思路是實(shí)變函數(shù)教學(xué)的最高目標(biāo)。我們欲從實(shí)變函數(shù)課程與數(shù)學(xué)分析課程的密切關(guān)系出發(fā)，幫助學(xué)生借助于已熟知的Riemann積分體系理論，來(lái)學(xué)習(xí)Lebesgue積分理論及其特點(diǎn)。

1.實(shí)變函數(shù)課程與比較教學(xué)法簡(jiǎn)介

實(shí)變函數(shù)課程的中心任務(wù)是：建立n維歐幾里得空間中點(diǎn)集的測(cè)度理論和Lebesgue積分理論。通過(guò)學(xué)習(xí)這門(mén)課程，學(xué)生應(yīng)掌握近代抽象分析的基本思想、思維方式，以及系統(tǒng)掌握Lebesgue測(cè)度和Lebesgue 積分理論，且學(xué)生應(yīng)具有新角度思維能力、獨(dú)立思考能力、推理能力和邏輯判斷能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論打下夯實(shí)基礎(chǔ)。

在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中，要選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生完成對(duì)該課程由表及里的層進(jìn)認(rèn)知并理清脈絡(luò)。若只偏重知識(shí)的灌輸卻忽略對(duì)學(xué)生構(gòu)造性思維的啟發(fā)和引導(dǎo)，就不能為學(xué)生提供一個(gè)發(fā)現(xiàn)、比較、分析和辨別的思維空間，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知模糊，徒增學(xué)習(xí)該門(mén)課程的難度。鑒于實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析課程的密切關(guān)系，啟發(fā)任課教師通過(guò)比較法來(lái)講解該課程。比較，就是運(yùn)用對(duì)照的手段確定事物異同關(guān)系的思維過(guò)程的方法。比較教學(xué)法有利于引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象認(rèn)識(shí)實(shí)質(zhì)，比如通過(guò)新知與舊知的對(duì)比來(lái)促進(jìn)知識(shí)遷移，通過(guò)實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的比較，由知識(shí)的熟悉性來(lái)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，并啟發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的思考等。比較教學(xué)法也是組織學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識(shí)與實(shí)際操作、培養(yǎng)邏輯思維能力的重要手段之一，它有利于激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的興趣，并可使學(xué)生在面對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，有效地?cái)[脫陌生感，迅速找到輕松入門(mén)的途徑，增加學(xué)習(xí)主動(dòng)性，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)習(xí)效率。具體地，我們從以下幾方面來(lái)闡述利用比較教學(xué)法對(duì)傳統(tǒng)的實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)進(jìn)行改革。

2.實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析課程的關(guān)系

實(shí)變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的最為重要的基礎(chǔ)課之一，作為數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，它是數(shù)學(xué)分析課程的延續(xù)和發(fā)展。再者，學(xué)好實(shí)變函數(shù)課程對(duì)于數(shù)學(xué)分析知識(shí)的深入理解有著非常重要的作用，數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)最為重要的基礎(chǔ)課，同時(shí)也是數(shù)學(xué)專業(yè)考研、考博的必考課程，可見(jiàn)其地位之重。實(shí)變函數(shù)課程是其拔高課程，因此要以扎實(shí)的數(shù)學(xué)分析知識(shí)為基礎(chǔ)，采用比較的教學(xué)方式更容易為學(xué)生所接受，這種教學(xué)方法的實(shí)施事實(shí)上也是對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的回顧和更深層次的解釋。

一般來(lái)說(shuō)，實(shí)變函數(shù)課程開(kāi)設(shè)于大學(xué)三年級(jí)上學(xué)期，采用聯(lián)系數(shù)學(xué)分析知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，也更容易讓學(xué)生在思想上重視（因?yàn)閿?shù)學(xué)分析是考研的必考課程），學(xué)習(xí)積極性更高。由于實(shí)變函數(shù)課程的極抽象性和難學(xué)難教的現(xiàn)狀，我們認(rèn)為一種高效的教學(xué)方法，一定要首先能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生充分發(fā)揮主體作用。只有這樣，理論上高效的教學(xué)方法方能達(dá)到真正的高效。

2.1比較教學(xué)法的引入

我們注意到實(shí)變函數(shù)課程是數(shù)學(xué)分析課程的后續(xù)課程，如果能充分利用二者之間的關(guān)聯(lián)性，采用比較教學(xué)法，讓學(xué)生由熟知的數(shù)學(xué)分析理論知識(shí)自然過(guò)渡到較為抽象難學(xué)的實(shí)變函數(shù)知識(shí)是一種行之有效的教學(xué)方法。針對(duì)實(shí)變函數(shù)的“難教難學(xué)”，抓住它的本質(zhì)—基于傳統(tǒng)分析理論的積分體系與空間理論。從問(wèn)題的根部出發(fā)，以我們熟知的傳統(tǒng)分析理論去比對(duì)實(shí)函中Lebesgue積分理論和泛函空間理論，比較它們理論思想上的異同，找到傳統(tǒng)分析理論拓廣到實(shí)分析與泛函分析的原始思路，以便由易到難、由具體到抽象地進(jìn)行學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮比較教學(xué)法在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)，注重調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和熱情。

2.2對(duì)課程整體脈絡(luò)的把握及分析

在講解該課程之初就要讓學(xué)生明白以下三點(diǎn)：（1）這門(mén)課程的重要性；（2）這門(mén)課程的主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)；（3）怎樣聯(lián)系數(shù)學(xué)分析的知識(shí)學(xué)好這門(mén)課程？借助于這三點(diǎn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到Riemann積分理論的局限性，比如狄利克雷函數(shù)不可積，如何讓它“可積”？進(jìn)而，如何擴(kuò)大可積函數(shù)的范圍，使積分更具普遍性？Riemann積分意義下，積分與極限可交換需要什么條件？帶領(lǐng)學(xué)生回顧之后，啟發(fā)學(xué)生思考如何去建立新的積分體系讓諸如狄利克雷函數(shù)等一些原本不可積的函數(shù)有積分意義？減弱積分與極限可交換的條件等。簡(jiǎn)單討論之后列舉實(shí)變函數(shù)課程要介紹的“新積分”—Lebesgue積分的一些優(yōu)勢(shì)，并分析它與傳統(tǒng)積分理論的異同，通過(guò)比較，讓學(xué)生更深刻也更容易地理解實(shí)變函數(shù)中定義的“新積分”的價(jià)值和意義。通過(guò)介紹基于Cantor三分集理論的美妙的分形圖形、無(wú)限集的看似很不可思議的性質(zhì)（如：比較兩個(gè)同心圓周上點(diǎn)的多少，是大圓的點(diǎn)多，還是小圓上的點(diǎn)多？全體正整數(shù)多，還是正奇（偶）數(shù)多？）等一些比較直觀的例子，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到實(shí)變函數(shù)的重要性，在激發(fā)他們學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，引起他們的重視。最后，如何讓學(xué)生能主動(dòng)地聯(lián)系數(shù)學(xué)分析的相關(guān)知識(shí)去切入到實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中呢？一定要提醒學(xué)生注意：數(shù)學(xué)分析的核心內(nèi)容就是Riemann積分理論，而實(shí)變函數(shù)的中心任務(wù)是建立一種較之這種已學(xué)習(xí)過(guò)的Riemann積分理論更加完美的微積分理論體系，并且它完全承認(rèn)之前的所有理論，只是為了克服之前理論的局限，才從新的角度出發(fā)，重新建立了能覆蓋傳統(tǒng)微積分理論的一個(gè)新理論體系。所以，實(shí)變函數(shù)課程中的內(nèi)容可以跟數(shù)學(xué)分析課程已介紹過(guò)的相應(yīng)知識(shí)進(jìn)行比對(duì)，從“熟”知識(shí)自然切入到“生”知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

我們以文獻(xiàn)[1]作為教材為例，來(lái)介紹基于數(shù)學(xué)分析中Riemann積分理論，如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容的安排和思想深入了解，從而對(duì)課程整體脈絡(luò)有較好的把握。先來(lái)看教材的目錄：第一章 集合；第二章 點(diǎn)集；第三章 測(cè)度論；第四章 可測(cè)函數(shù)；第五章 積分論；第六章 微分與不定積分。教材為什么這樣安排內(nèi)容呢？我們已經(jīng)介紹了，實(shí)變函數(shù)的中心任務(wù)是建立起一種新的積分體系，而且要兼容原來(lái)學(xué)過(guò)的Riemann積分。那么Riemann積分形式上是“ ”，由此可見(jiàn)，確定一個(gè)積分值，有兩個(gè)決定因素：一是被積函數(shù)“f”；二是積分區(qū)域“ ”。這時(shí)候，啟發(fā)學(xué)生思考，既然要新建的Lebesgue積分兼容Riemann積分，那么它的“模樣”應(yīng)該“長(zhǎng)得”跟Riemann積分相似，所以，首先研究Lebesgue積分意義下的積分區(qū)域和被積函數(shù)的性質(zhì)，而后，再引入Lebesgue積分的定義及相關(guān)性質(zhì)定理。Riemann積分的積分區(qū)域一般為實(shí)直線上的有界閉區(qū)間或 的閉連通區(qū)域；而Lebesgue積分的積分區(qū)域可以是離散的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集（例如：以建立狄利克雷函數(shù)的Lebesgue積分時(shí)，需要分別在[0，1]區(qū)間上所有有理數(shù)組成的集合和所有無(wú)理數(shù)組成的集合上進(jìn)行積分），所以我們應(yīng)審視集合的性質(zhì)，尤其是點(diǎn)集的性質(zhì)。則教材第一和第二章就集合和點(diǎn)集上的運(yùn)算及性質(zhì)做了介紹，目的就是把積分區(qū)域?qū)⒊霈F(xiàn)的一些情形講清楚。既然要在一些點(diǎn)集上進(jìn)行積分運(yùn)算，自然我們要衡量點(diǎn)集的“大小”，這時(shí)，啟發(fā)學(xué)生思考：[0，1]區(qū)間上，所有無(wú)（有）理數(shù)組成的集合的“長(zhǎng)度”是多少呢？在第三章中將重點(diǎn)介紹諸如這樣乃至更多的點(diǎn)集的“長(zhǎng)度” ，也就是集合的測(cè)度。前三章，把積分區(qū)域的相關(guān)知識(shí)介紹完了，接下來(lái)，第四章來(lái)處理被積函數(shù)。在Riemann積分體系中，要求被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，至多允許有限個(gè)間斷點(diǎn)。這類函數(shù)其實(shí)是較少的，實(shí)際中，有大量的函數(shù)都不滿足Riemann積分的要求。既然，Lebesgue積分的被積函數(shù)范圍擴(kuò)大，那么擴(kuò)大到什么程度呢？這些被積函數(shù)跟連續(xù)函數(shù)之間有什么樣的關(guān)系呢？這就是第四章要重點(diǎn)介紹的內(nèi)容。決定積分的兩大要素都介紹完了，那么第五章就該正式介紹Lebesgue積分的定義及性質(zhì)了。第六章，是要把數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茨公式推廣到Lebesgue積分情形。綜上，借助于這個(gè)在數(shù)學(xué)分析中常見(jiàn)的積分符號(hào)“ ”，可以粗略地把實(shí)變函數(shù)課程的結(jié)構(gòu)展示給學(xué)生，讓學(xué)生首先了解每一章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并且為什么會(huì)這樣安排課程內(nèi)容。如此一來(lái)，有利于增加學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，通過(guò)聯(lián)系數(shù)學(xué)分析中Riemann積分的相關(guān)內(nèi)容，可以更清晰地掌握實(shí)變函數(shù)中Lebesgue積分知識(shí)體系的脈絡(luò)。

2.3檢驗(yàn)課堂教學(xué)效果

任何教學(xué)方法的改革都是為了學(xué)生能更好地掌握知識(shí)，那么比較教學(xué)法在實(shí)際的實(shí)變函數(shù)課堂教學(xué)中是否能達(dá)到預(yù)期的效果？我們一定要對(duì)課堂教學(xué)效果進(jìn)行檢驗(yàn)，看學(xué)生是否真正掌握了關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)，以及學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的把握，對(duì)構(gòu)造性證明題有無(wú)思路？對(duì)哪些知識(shí)掌握的不夠好？為什么？哪些知識(shí)點(diǎn)對(duì)比起來(lái)進(jìn)行教學(xué)的效果較好？哪些并沒(méi)有想象的那么好？原因是什么？怎么改進(jìn)？ 諸如以上所涉及到的課堂教學(xué)實(shí)際中可能出現(xiàn)的問(wèn)題，我們都要通過(guò)與學(xué)生交流，批改作業(yè)等看到問(wèn)題的所在，進(jìn)行反思，從而更好地改進(jìn)細(xì)節(jié)，進(jìn)一步提升教學(xué)效果。

3.總結(jié)

利用比較教學(xué)法進(jìn)行實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)的目標(biāo)是：對(duì)傳統(tǒng)的實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)法進(jìn)行改革，基于學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)分析理論，借助于比較教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)啟思路，輕松學(xué)習(xí)。其中的關(guān)鍵點(diǎn)是：將實(shí)變函數(shù)課程與熟知的數(shù)學(xué)分析課程相關(guān)知識(shí)（尤其是Lebesgue積分體系與Riemann積分體系的建立過(guò)程、相關(guān)性質(zhì)等）相對(duì)照和比較，充分發(fā)揮比較教學(xué)法的優(yōu)勢(shì)，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造性思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)泛函分析等課程打下良好基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008.

[3]那湯松，陳建功.實(shí)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.