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(象山市第三中學(xué) 浙江象山 315700)

每遇困難問道于圖可爾

●茅映麗胡慶彪

(象山市第三中學(xué) 浙江象山 315700)

解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)高考中占有十分重要的地位,但又是學(xué)生掌握得不太好的知識(shí)領(lǐng)域．因此，加強(qiáng)解析幾何問題特征、解法規(guī)律的研究與學(xué)習(xí)，提高分析與解決問題的能力，意義十分重大．本文給出一個(gè)能迅速、明確解決解析幾何題及給出較細(xì)步驟的方法——問道于圖法．

所謂“問道于圖法”，就是在讀解析幾何題的過程中或在讀完題目之后，先根據(jù)題意畫出一個(gè)能反映本題條件與結(jié)論的圖形，然后按照生成圖形的各個(gè)步驟，依次將“圖形語言”翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”，一旦翻譯完畢，問題也基本解決．下面舉例說明之.

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(2013年浙江省寧波市高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試文科試題)

分析本題圖形的生成步驟，如表1中的第2列所示，將各步的“圖形語言”按序翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”，如第3列所示：

表1 用“問道于圖法”解決例1

說明有時(shí)沒有必要把圖形的生成步驟(圖形語言)都一一翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”,而只需選擇其關(guān)鍵處加以翻譯．

圖1

例2如圖1，已知F為拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，若過焦點(diǎn)F的直線l交C1于點(diǎn)A,B，使拋物線C1在點(diǎn)A,B處的2條切線的交點(diǎn)M恰好在圓C2:x2+y2=8上.

(1)當(dāng)p=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求△MAB面積的最小值及取得最小值時(shí)的拋物線C1的方程.

(2013年浙江省寧波市高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試文科試題)

分析第(1)小題圖形的生成步驟，如表2中的第2列所示，將各步的“圖形語言”按序翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”，如第3列所示：

表2 用“問道于圖法”解決例2

x1+x2=4k,x1x2=-4，

(2)從第(1)小題的p=2推廣到p>0,但成圖次序依舊，可類比第(1)小題的求解而得:

x1+x2=2pk,x1x2=-p2，

(5)

接下去只要求得弦長(zhǎng)|AB|及點(diǎn)M到AB之距d, 就可得到△MAB的面積S(含p與k)，再由式(5),將p用k表示, 顯然可將S化成關(guān)于k的函數(shù)S=f(k), 最后求f(k) 的最小值(略).

在例1和例2的第(1)小題中，求解過程緊依其對(duì)應(yīng)的作圖步驟，且同步到達(dá)終點(diǎn).

(1)求p與m的值；

(2)設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(t>0)，過點(diǎn)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作PQ的垂線交拋物線C于另一點(diǎn)N，若MN是C的切線，求t的最小值．

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

(2)圖形的生成步驟，如表3中的第2列所示,將各步的“圖形語言”按序翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”，如第3列所示：

表3 用“問道于圖法”解決例3

通過例3，我們?cè)俅伟l(fā)現(xiàn)：在將“圖形語言”翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”后，離解題的終極目標(biāo)只是一步之遙了.需要指出的是，有時(shí)沒有必要把圖形的生成步驟(圖形語言)都一一翻譯成“數(shù)學(xué)符號(hào)語言”, 而只需選擇其關(guān)鍵處加以翻譯即可．

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家傅種孫教授在20世紀(jì)50年代曾經(jīng)指出:“每遇困難,即問道于0可爾.”這一方面是由于數(shù)學(xué)問題中幾乎處處涉及關(guān)于“0”的思索,偶有疏忽,便出差錯(cuò);另一方面是因?yàn)榇鷶?shù)問題中的許多結(jié)論由自然數(shù)“0”的運(yùn)算性質(zhì)所決定——問道于0可爾.因此，注重發(fā)揮數(shù)“0”的解題功能顯得十分重要，筆者認(rèn)為:對(duì)于解析幾何題而言,應(yīng)注重發(fā)揮與挖掘圖形的功能．行走在解析幾何解題路上，每遇困難,即問道于圖可爾.