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(青田縣教師進(jìn)修學(xué)校 浙江青田 323900)

看似平常實乃新奇構(gòu)思精巧意境高遠(yuǎn)
——一道高考試題的由來、創(chuàng)意及其解法理念探尋

●蔣海甌

(青田縣教師進(jìn)修學(xué)校 浙江青田 323900)

2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科卷第9題，考題根植于往年高考，簡潔結(jié)構(gòu)，原生形態(tài)，看似平常，實乃新奇，構(gòu)思精巧，意境高遠(yuǎn)，有著良好的考查檢測功能與較強(qiáng)的命題導(dǎo)向功效，很值得我們一同來鑒賞與探尋．

1 試題的由來

浙江省數(shù)學(xué)高考?xì)v年來對主干知識做到“重點內(nèi)容重點考，堅持不懈不動搖”．對于運用均值不等式求最值的這一高中數(shù)學(xué)重點內(nèi)容堅持“連年考查，?？汲Ｐ隆保绕涫?010年、2011年和2012年編擬考題時，精心謀劃，意蘊深遠(yuǎn)，設(shè)置“姊妹題”乃至“連環(huán)題”，題型結(jié)構(gòu)相似，題設(shè)要求相近，如同并蒂花開，別具特色，考查要求卻層層遞進(jìn)，步步深入，更加全面地考驗與測試學(xué)生運用“均值不等式”等基礎(chǔ)知識解決相應(yīng)問題的技術(shù)能力與策略水平，令人贊嘆不已，頗受好評．

例1若正實數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是______．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

例2若實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是______．

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

本題考查要求層次提升，“所求結(jié)論”并非“題設(shè)中的一部分”，但比較容易找尋到“所求結(jié)論”與“題設(shè)條件”間的關(guān)系，只要稍作“變換”與“變形”，便能直接運用“均值不等式”解決問題.由(x+y)2=x2+y2+2xy，及已知條件得

(x+y)2-xy=1,

即

從而

則

例3設(shè)x,y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______．

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題的情形與例2類似，考查的思維層次升高，不過雖然“所求結(jié)論”并非“題設(shè)中的一部分”，也不具備“關(guān)于x,y的對稱性”，但也較易尋找到“所求結(jié)論”與“題設(shè)條件”間的關(guān)聯(lián)，略作“變換”便能運用“均值不等式”解決問題.因為4x2+y2+xy=1，所以

(2x+y)2-3xy=1，

即

從而

得

即

例4若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

( )

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

本題根植于例1和例2之上，但從表面難以直接尋找到“所求結(jié)論”與“已知條件”之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)與實質(zhì)聯(lián)系，需要先作縝密的分析、深入的剖析乃至必要的轉(zhuǎn)換與化歸，方能溝通“題設(shè)條件”與“所求結(jié)論”之間的關(guān)聯(lián)，對學(xué)生的思維能力、分析問題和解決問題的能力提出了更高層次上的考查要求，力圖發(fā)揮作為選擇題中的末尾考題(共10個選擇題)的壓軸區(qū)分功能(詳細(xì)求解見下文)，同時給我們清晰地展示了2012年這一考題的由來與命制的脈絡(luò),有著極好的命題導(dǎo)向功效.

2 試題的創(chuàng)意

創(chuàng)意1試題設(shè)計匠心獨運，看似平常，實乃新奇，善作隱藏，巧作包裝，能更加有效地檢測思維的靈活性、變通性與深刻性．

創(chuàng)意2試題形態(tài)簡潔平和，入手容易，進(jìn)口寬敞，巧置疑惑，暗藏誘惑，能更加有效地檢測思想誤區(qū)、思維缺失與知識缺陷．

試題結(jié)構(gòu)簡潔平和，呈現(xiàn)方式原生形態(tài)，這樣的結(jié)構(gòu)與形態(tài)，既為不同角度的“思維切入”預(yù)設(shè)了各種不同的運行路徑，因而使問題的求解入手容易，進(jìn)口寬敞，但若不作必要的“變形”與“變換”，直接求解卻有一定的困難與障礙.同時考題的如此形態(tài)，如果對運用“均值不等式”求最值問題的“三大前提條件(一正二定三相等)”不及時檢驗與隨時檢測，極易發(fā)生如下所示的解題錯誤.由已知得

因為

所以

可見，本考題選項的編制可謂用心良苦，巧置疑惑，暗藏機(jī)關(guān)，極具預(yù)見性與誘惑性乃至帶有迷惑性與欺騙性，能夠有效地檢測學(xué)生學(xué)習(xí)的思想誤區(qū)、思維缺失與知識缺陷．

3 常見解法理念探尋

解法1由x+3y=5xy，得

解法2由x+3y=5xy，得

又由x+3y=5xy，得

5xy-x-3y=0，

即

解法4由x+3y=5xy，得

解法5令3x+4y=t(t>0)，則

代入x+3y=5xy，消去y化簡整理得

15x2-5(t+1)x+3t=0.

上式有2個正實根，從而

理念探尋“引元消元，方程轉(zhuǎn)換”．先“引元”(引入?yún)?shù)t)，再“消元”(消去y)，從而將“二元函數(shù)3x+4y”的問題順利地轉(zhuǎn)化為“關(guān)于x的一元二次方程15x2-5(t+1)x+3t=0有正數(shù)根”的問題，進(jìn)而“列出不等式組”加以求解．這種“函數(shù)、方程、不等式”三位一體、互相轉(zhuǎn)換的變換之策略，手法新穎，思維創(chuàng)新，轉(zhuǎn)換自然，看似平常，實乃新奇，從而綻放本題求解嶄新的精彩與別樣的風(fēng)采．

4 一點小建議

本考題的選項可以策劃與編擬得更具“干擾性”與“迷惑性”．由于“利用均值不等式求最值”時常常會忽略對“一正二定三相等”之3個前提條件的驗證，估計還會有一部分學(xué)生可能會按下面的錯誤思路求解：

從而

3x+4y= (x+3y)+(2x+y)=

5xy+(2x+y)≥

錯誤思路2由x+3y=5xy，得

因此，如果將本試題的選項改為：

這樣每一個答案都極具“干擾性”與“迷惑性”，能更加有效地診斷學(xué)生的思維缺失，暴露學(xué)生的思維誤區(qū)，檢測學(xué)生的思維缺陷，也就能更加有效地發(fā)揮試題的“考查功能”與“選拔功效”.

[1] 蔣海甌.關(guān)于試卷講評的“點滴見解”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012(5)：51-54.