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(嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

一道三角考題的編制與思考

●施哲明

(嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

浙江省的數(shù)學(xué)高考連續(xù)多年在解答題的第一題考查解三角知識(shí)，主要考查正弦定理、余弦定理及面積公式、三角公式恒等變形的技能與運(yùn)算能力．這類問題在已知條件、所求結(jié)論中往往會(huì)涉及三角形的邊角關(guān)系、三角形的面積以及有關(guān)最值問題．解決這類問題首先要充分利用三角形的幾何特征，畫出圖形進(jìn)行分析；其次，在邊、角混存的等式中，利用正弦定理或余弦定理，以達(dá)到邊或角的統(tǒng)一.這已經(jīng)成為師生的一種共識(shí)．然而，在2012年3月份參加一次高三數(shù)學(xué)模擬考試的命題中，筆者經(jīng)歷了一個(gè)三角試題的產(chǎn)生過程及由此帶來的一些思考，與廣大同行分享．

1 題目展示

(2012年浙江省嵊州市高三數(shù)學(xué)模擬考試試題)

2 常規(guī)解答

所以

由余弦定理,得

又已知c=1，故

再由sin2C+cos2C=1,得

從而

a=1．

說明在用面積公式的時(shí)候，用任何一個(gè)內(nèi)角都可以作為夾角．

解法2由面積公式,得

又由余弦定理，得

消去a2，得

即

c2=a2+b2-2abcosC，

b2=a2+c2，

因此

3 命制過程

如圖1，設(shè)想在△ABC中，邊c的長(zhǎng)度給定，若面積又給定，則△ABC的高就為定值，從而點(diǎn)C就在與AB平行的直線l上運(yùn)動(dòng)．若再添加a與b的某種關(guān)系，那么這個(gè)三角形可解，這樣就有了最初的題型(例2)．

圖1 圖2

第(2)小題的設(shè)想過程：在c=1的前提下，若角C也是定值呢？如圖2，由正弦定理可知，△ABC的外接圓就確定了，這樣就可以求出這個(gè)外接圓的半徑,即

設(shè)外接圓半徑為r，則由正弦定理,得

進(jìn)一步思考：若邊c的長(zhǎng)度不定，而角C是定值呢？

當(dāng)角C確定時(shí)，CA,CB就成射線狀.若再限制a,b之間的關(guān)系，則角A,B之間是否存在某種關(guān)系？這樣就有了例3：

4 2點(diǎn)思考

思考1本題的設(shè)置過程是通過幾何圖形得到的，那么能不能通過幾何的方法來完成這個(gè)題目的解答呢？經(jīng)過思考之后，筆者又給出下面的解法．

解(1)如圖3，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，則由面積可知，

設(shè)BD=t,則

b2=(1+t)2+h2,a2=t2+h2,

圖3 圖4

(2)如圖4，在AC上取一點(diǎn)E，使得EA=EB，則

cos(B-A)=cos∠CBE.

過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為D，則

設(shè)DE=t，則

即

整個(gè)解答過程中沒有用到任何三角公式，只是利用最原始的三角函數(shù)定義，結(jié)合幾何圖形來完成．或許教師在之前就有這種想法了，但是學(xué)生很難想到.

思考2學(xué)生平時(shí)習(xí)慣模仿，教師習(xí)慣運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)．可遇到這樣的問題，幾乎沒有學(xué)生會(huì)從幾何的角度來思考，這是為什么呢？這對(duì)教師來說，是成功還是失敗呢？至此，讀者可能會(huì)問，是不是僅對(duì)這個(gè)題目而言可以用這種方法呢？我們?cè)倏?012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷中的三角試題：

(1)求tanC的值；

先給出參考答案，顯然這是一種常規(guī)解法．

即

從而

說明解法1利用平時(shí)教師所教、學(xué)生所學(xué)，通過運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式所得．但是，若從幾何的角度來看這個(gè)問題，是否可行呢？

圖5 圖6

其次,△ABC的3個(gè)角都已經(jīng)固定，但是邊長(zhǎng)不定，因此可以作一系列與直線BC平行的直線(如圖6所示).若把BC固定，則三角形的3條邊都確定，從而面積也為定值，這樣也就有了第(2)小題．

基于上述分析，得到下面的幾何解法．

圖7

解法2(1)在圖7中，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D；過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E.

又設(shè)BD=t，則

在△ABE中，可得

從而在△BCE中，

在△CDB中，

故

說明(1)運(yùn)用三角函數(shù)的定義和幾何圖形均可解答此題，從避開解法的繁簡(jiǎn)而言，解法2恰好是此題的本源所在．

5 應(yīng)用舉例

例5在△ABC中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且2acosC=2b-c．求角A的值.

(2013年浙江省嵊州市高三數(shù)學(xué)模擬考試試題)

圖8

解如圖8，作BD⊥CA.設(shè)CD=t，則

t=acosC，AD=b-acosC，

而

例6在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知B=60°．

(2)若b=1，求△ABC面積的最大值．

(2013年浙江省紹興市高三數(shù)學(xué)模擬考試試題)

解(1)如圖9,作AD⊥BC于點(diǎn)D.由已知B=60°，得

tanA= tan(30°+∠CAD)=

故

A=45°．

圖9 圖10

(2)若b=1，B=60°(如圖10所示)，可知點(diǎn)B在以AC為弦的圓周上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)B在AC的中垂線上時(shí)，即△ABC為正三角形時(shí)面積為最大，且最大值為