宋軍梅

摘 要：數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題，或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.就高中數(shù)學(xué)中常見的幾種類型題的解題方法做了一些對(duì)比，突出數(shù)形結(jié)合思想的特征.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)圖象；應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用.

具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解決選擇題、填空題時(shí)顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，這種發(fā)展趨勢(shì)在我?guī)啄陙淼男抡n改教學(xué)中也深有體會(huì).

下面就以下幾種常見題型結(jié)合自己的教學(xué)感受做一點(diǎn)初步探討。

一、解決集合、函數(shù)問題

利用韋恩圖、數(shù)軸及常見函數(shù)圖象

例1 設(shè)A=x|-2≤x≤a，B=y|y=2x+3且x∈A，C={z|z=x2且x∈A}，若C？哿B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

點(diǎn)撥 解決集合問題首先應(yīng)看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.

【解析】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函數(shù)，

∴-1≤y≤2a+3，即B=y|-1≤y≤2a+3，

作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下：

（1）當(dāng)-2≤a≤0時(shí)，a2≤z≤4，

即C=z|a2≤z≤4，

要使C？哿B，必須且只需2a+3≥4，得a≥■，與-2≤a<0矛盾.

（2）當(dāng)0

必須且只需2a+3≥4

0≤a≤2，解得■≤a≤2.

（3）當(dāng)a>2時(shí)，0≤z≤a2，即C=z|0≤z≤a2，要使C？哿B，必須且只需a2≤2a+3

a>2，解得2

（4）當(dāng)a<-2時(shí)，A=Φ，此時(shí)B=C=Φ，則C？哿B成立，綜上所述，a的取值范是（-∞，-2）∪[■，3].

【規(guī)律小結(jié)】 （1）解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C，進(jìn)而將C？哿B用不等式這一數(shù)學(xué)語

言加以轉(zhuǎn)化，借助數(shù)形結(jié)合思想解決.

（2）韋恩圖、數(shù)軸，不僅可以使各集合之間的相互關(guān)系直觀明了，而且也便于將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合問題通過直觀形象的圖形解決，為問題的解決創(chuàng)設(shè)了有益的情境.

二、解決方程、不等式問題

利用數(shù)軸法和圖象法來解決

例2 若方程1g（x2+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

【解析】原方程等價(jià)于x2+20x=8x-6a-3

x2+20x>0

即x2+12x+3=-6a（x>0或x<-20），

由數(shù)想形，

令C：y=x2+12x+3=（x+6）2-33（x>0或x<-20），

再令l：y=-6a，

原方程有惟一解，

即直線l與拋物線C有惟一交點(diǎn)，從圖中可知，

■

當(dāng)x=-20時(shí)，y=163；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴當(dāng)3<-6a≤163，

即-27■≤a<-■時(shí)，原方程有惟一實(shí)數(shù)解.

【規(guī)律小結(jié)】（1）解決這類問題時(shí)要注意準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域.

（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解.

三、解決三角函數(shù)、平面向量問題

（1）借助單位圓及三角函數(shù)線和三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)來

解決；

（2）聯(lián)想一些特殊的圖形，用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算解題。

例3 設(shè)關(guān)于θ的方程■cosθ+sinθ+a=0在區(qū)間（0，π）內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求α+β的值.

點(diǎn)撥（1）若令x=cosθ，y=sinθ，則由題設(shè)知直線l：■x+y+a=0，與圓x2+y2=1，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ），運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系可求得a的取值范圍及α+β的值.

（2）可將原方程化為sin（θ+■）=-■，原問題可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)y=sin（x+■）的圖象與直線y=-■有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值.

【解析】（1）原方程可化為sin（θ+■）=-■，作出函數(shù)y=sin（x

+■）（x∈（0，2π））的圖象.由圖知，方程在（0，2π）內(nèi)有相異實(shí)根α，β的充要條件是…

【規(guī)律小結(jié)】（1）此題若不用數(shù)形結(jié)合法，用三角函數(shù)有界性求a的范圍，不僅過程繁瑣，而且很容易漏掉a≠-■的限制，而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a=-■時(shí)，方程只有一解.

（2）在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)（量）與圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究，可使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來.

例4 在直角坐標(biāo)系xOy中，■，■分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，■=2■+■，■=3■+k■，則k的可能值有（ ）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

所以k的可能值個(gè)數(shù)是2.

解法二：（數(shù)形結(jié)合）如圖，將A放在坐標(biāo)原點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，k），所以C點(diǎn)在直線x=3上，由圖知，只可能A、B為直角，C不可能為直角.所以k的可能值個(gè)數(shù)是2.圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數(shù)問題的一種有效的思維策略.

【規(guī)律小結(jié)】幾何圖形向量化，向量問題坐標(biāo)化，運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何中的共線、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算，把定性問題轉(zhuǎn)化為定量問題，大大降低了解題難度.

四、解決解析幾何問題

在解析幾何中的一些最值、定值等問題時(shí)，常根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合相關(guān)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使問題得到快速解決.

例5 已知P為拋物線y=■x2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），則PA+PM的最小值是_____.

【解析】如圖，拋物線y=■x2，即x2=4y的焦點(diǎn)F（0，1），記點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線l：y=-1上的射影為P′，根據(jù)拋物線的定義知，

【規(guī)律小結(jié)】在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：

（1）要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

（2）要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

（3）要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

（4）精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.作圖時(shí)，圖形相對(duì)位置不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤.

數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長(zhǎng)避短.數(shù)形結(jié)合絕不是一種孤立的解題技巧，它從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛。

（作者單位 吉林一中）