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        新課改中“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)用的一點(diǎn)思考

        2013-10-16 06:26:52宋軍梅
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年7期
        關(guān)鍵詞:應(yīng)用

        宋軍梅

        摘 要:數(shù)形結(jié)合的基本思路是:根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形,并利用圖形的特性和規(guī)律,解決數(shù)的問題,或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)成代數(shù)信息,使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.就高中數(shù)學(xué)中常見的幾種類型題的解題方法做了一些對(duì)比,突出數(shù)形結(jié)合思想的特征.

        關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;函數(shù)圖象;應(yīng)用

        數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”,把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考,也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來,解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.它能使抽象問題具體化,復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用.

        具體地說,數(shù)形結(jié)合的基本思路是:根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形,并利用圖形的特性和規(guī)律,解決數(shù)的問題;或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息,使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.

        數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛,不僅在解決選擇題、填空題時(shí)顯示出它的優(yōu)越性,而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果,數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”,但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng),這種發(fā)展趨勢(shì)在我?guī)啄陙淼男抡n改教學(xué)中也深有體會(huì).

        下面就以下幾種常見題型結(jié)合自己的教學(xué)感受做一點(diǎn)初步探討。

        一、解決集合、函數(shù)問題

        利用韋恩圖、數(shù)軸及常見函數(shù)圖象

        例1 設(shè)A=x|-2≤x≤a,B=y|y=2x+3且x∈A,C={z|z=x2且x∈A},若C?哿B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        點(diǎn)撥 解決集合問題首先應(yīng)看清元素究竟是什么,然后再把集合語言“翻譯”為數(shù)學(xué)語言,進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn),再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言,利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.

        【解析】∵y=2x+3在[-2,a]上是增函數(shù),

        ∴-1≤y≤2a+3,即B=y|-1≤y≤2a+3,

        作出z=x2的圖象,該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下:

        (1)當(dāng)-2≤a≤0時(shí),a2≤z≤4,

        即C=z|a2≤z≤4,

        要使C?哿B,必須且只需2a+3≥4,得a≥■,與-2≤a<0矛盾.

        (2)當(dāng)0

        必須且只需2a+3≥4

        0≤a≤2,解得■≤a≤2.

        (3)當(dāng)a>2時(shí),0≤z≤a2,即C=z|0≤z≤a2,要使C?哿B,必須且只需a2≤2a+3

        a>2,解得2

        (4)當(dāng)a<-2時(shí),A=Φ,此時(shí)B=C=Φ,則C?哿B成立,綜上所述,a的取值范是(-∞,-2)∪[■,3].

        【規(guī)律小結(jié)】 (1)解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C,進(jìn)而將C?哿B用不等式這一數(shù)學(xué)語

        言加以轉(zhuǎn)化,借助數(shù)形結(jié)合思想解決.

        (2)韋恩圖、數(shù)軸,不僅可以使各集合之間的相互關(guān)系直觀明了,而且也便于將各元素的歸屬確定下來,使抽象的集合問題通過直觀形象的圖形解決,為問題的解決創(chuàng)設(shè)了有益的情境.

        二、解決方程、不等式問題

        利用數(shù)軸法和圖象法來解決

        例2 若方程1g(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有惟一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.

        【解析】原方程等價(jià)于x2+20x=8x-6a-3

        x2+20x>0

        即x2+12x+3=-6a(x>0或x<-20),

        由數(shù)想形,

        令C:y=x2+12x+3=(x+6)2-33(x>0或x<-20),

        再令l:y=-6a,

        原方程有惟一解,

        即直線l與拋物線C有惟一交點(diǎn),從圖中可知,

        當(dāng)x=-20時(shí),y=163;當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴當(dāng)3<-6a≤163,

        即-27■≤a<-■時(shí),原方程有惟一實(shí)數(shù)解.

        【規(guī)律小結(jié)】(1)解決這類問題時(shí)要注意準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象,注意函數(shù)的定義域.

        (2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法,值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整,以便于作圖),然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,由圖求解.

        三、解決三角函數(shù)、平面向量問題

        (1)借助單位圓及三角函數(shù)線和三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)來

        解決;

        (2)聯(lián)想一些特殊的圖形,用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算解題。

        例3 設(shè)關(guān)于θ的方程■cosθ+sinθ+a=0在區(qū)間(0,π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β.

        (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)求α+β的值.

        點(diǎn)撥(1)若令x=cosθ,y=sinθ,則由題設(shè)知直線l:■x+y+a=0,與圓x2+y2=1,有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ),運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系可求得a的取值范圍及α+β的值.

        (2)可將原方程化為sin(θ+■)=-■,原問題可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)y=sin(x+■)的圖象與直線y=-■有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),求a的范圍及α+β的值.

        【解析】(1)原方程可化為sin(θ+■)=-■,作出函數(shù)y=sin(x

        +■)(x∈(0,2π))的圖象.由圖知,方程在(0,2π)內(nèi)有相異實(shí)根α,β的充要條件是…

        【規(guī)律小結(jié)】(1)此題若不用數(shù)形結(jié)合法,用三角函數(shù)有界性求a的范圍,不僅過程繁瑣,而且很容易漏掉a≠-■的限制,而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a=-■時(shí),方程只有一解.

        (2)在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時(shí),若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中,將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究,可使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來.

        例4 在直角坐標(biāo)系xOy中,■,■分別是與x軸,y軸平行的單位向量,若直角三角形ABC中,■=2■+■,■=3■+k■,則k的可能值有( )

        A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

        所以k的可能值個(gè)數(shù)是2.

        解法二:(數(shù)形結(jié)合)如圖,將A放在坐標(biāo)原點(diǎn),則B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,k),所以C點(diǎn)在直線x=3上,由圖知,只可能A、B為直角,C不可能為直角.所以k的可能值個(gè)數(shù)是2.圖形直觀地表現(xiàn)出來,這是解決三角函數(shù)問題的一種有效的思維策略.

        【規(guī)律小結(jié)】幾何圖形向量化,向量問題坐標(biāo)化,運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何中的共線、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算,把定性問題轉(zhuǎn)化為定量問題,大大降低了解題難度.

        四、解決解析幾何問題

        在解析幾何中的一些最值、定值等問題時(shí),常根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合相關(guān)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使問題得到快速解決.

        例5 已知P為拋物線y=■x2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影為M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0),則PA+PM的最小值是_____.

        【解析】如圖,拋物線y=■x2,即x2=4y的焦點(diǎn)F(0,1),記點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1上的射影為P′,根據(jù)拋物線的定義知,

        【規(guī)律小結(jié)】在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí),需做到以下四點(diǎn):

        (1)要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征;

        (2)要恰當(dāng)設(shè)參,合理用參,建立關(guān)系,做好轉(zhuǎn)化;

        (3)要正確確定參數(shù)的取值范圍,以防重復(fù)和遺漏;

        (4)精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”,使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化,便于問題求解.作圖時(shí),圖形相對(duì)位置不準(zhǔn)確,易造成結(jié)果錯(cuò)誤.

        數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)和直觀性,發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范與嚴(yán)密性,兩者相輔相成,揚(yáng)長(zhǎng)避短.數(shù)形結(jié)合絕不是一種孤立的解題技巧,它從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn),這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它的應(yīng)用非常廣泛。

        (作者單位 吉林一中)

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