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        關(guān)于圓錐曲線中兩垂直切線交點(diǎn)的軌跡

        2013-07-29 15:46:40李智勇,何濤瀾
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年5期
        關(guān)鍵詞:圓錐曲線交點(diǎn)結(jié)論

        李智勇,何濤瀾

        摘 要:在教學(xué)圓錐曲線過程中,有一些非常有價(jià)值的結(jié)論,對(duì)處理問題有事半功倍的效果。

        關(guān)鍵詞:圓錐曲線;互相垂直切線;交點(diǎn);結(jié)論

        筆者通過對(duì)圓錐曲線的兩條垂直切線交點(diǎn)軌跡問題的研究發(fā)現(xiàn)了下面幾個(gè)結(jié)論:

        結(jié)論1:橢圓+=1兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是

        x2+y2=a2+b2.

        證明:設(shè)M(x0,y0)為橢圓+=1①兩條互相垂直的切線的交點(diǎn),k為過M點(diǎn)所作這橢圓的切線的斜率,則這條切線的方程為y-y0=k(x-x0)②

        由①②可得b2x2+a2[y0+k(x-x0)]2-a2b2=0,

        即(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0③

        由題意可得:

        Δ=4k2(y0-kx0)2a4-4(b2+a2k2)[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

        化簡(jiǎn)得(a2-x20)k2+2x0y0k+b2-y20=0.

        當(dāng)a2≠x20時(shí),設(shè)此方程的二根為k1,k2,則k1·k2=-1,即=-1,故得x20+y20=a2+b2.

        當(dāng)a2=x20時(shí),此時(shí)切線MT⊥x軸,切線MT′⊥y軸,即x0=a,y0=b故點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2=a2+b2,即點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓.

        根據(jù)雙曲線與橢圓的相似性,可以類比得到:

        結(jié)論2:雙曲線-=1兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是

        x2+y2=a2-b2.

        當(dāng)a>b時(shí),軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓;

        當(dāng)a=b時(shí),軌跡是(0,0);

        當(dāng)a

        結(jié)論3:拋物線y2=2px兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是x=-.

        證明:切線PA的方程為y1y=p(x+x1),切線PB的方程為y2y=p(x+x2).

        ∵P(x0,y0)為這兩切線的交點(diǎn),

        ∴y1y=p(x0+x1)①

        y2y=p(x0+x1)(②

        ①÷②,得:=-,由此得x0===.

        ①-②,得:(y1-y2)y0=p(x1-x2)

        y0===,又kPA·kPB=-1,即

        ·=-1,故y1y2=-p2,則x0=-,故拋物線的兩垂直切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上,故拋物線y2=2px兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是x=-.

        (作者單位 湖北省紅安縣第一中學(xué))

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