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文［1］中給出圓錐曲線的三個(gè)性質(zhì)，整理如下：

性質(zhì)1：（文［1］性質(zhì)12）與圓錐曲線焦點(diǎn)弦IJ所過焦點(diǎn)同側(cè)的頂點(diǎn)是B，另一頂點(diǎn)是A.焦點(diǎn)弦端點(diǎn)I、J與A連線分別交相應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，則N、B、I三點(diǎn)共線，M、B、J三點(diǎn)共線（拋物線的另一頂點(diǎn)A在無(wú)窮遠(yuǎn)處）.

性質(zhì)3：（文［1］性質(zhì)17）橢圓的焦點(diǎn)弦所在直線被橢圓及短軸直線所分向量比之和為定值；雙曲線的焦點(diǎn)弦所在直線被雙曲線及虛軸直線所分向量比之和為定值；拋物線的焦點(diǎn)弦所在直線被拋物線及頂點(diǎn)處切線所分向量比之和為定值.

推廣1.2：給定拋物線y2=2px及平行動(dòng)弦EF，設(shè)動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡所在直線q（平行于x軸）交拋物線于D點(diǎn)，在直線q上取N、M兩點(diǎn)（M在拋物線內(nèi)），使DM=DN，過點(diǎn)N作與EF平行的直線l，過點(diǎn)M任意作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，作直線BC∥q交l于C，則A、D、C共線.

圖1

推廣2.2：如圖1，給定y2=2px及平行動(dòng)弦EF，設(shè)動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡所在直線q（平行于x軸）交拋物線于D點(diǎn)，在直線上q上取M、N兩點(diǎn)（M在拋物線內(nèi)）使DM=DN,過點(diǎn)M任意作兩直線分別交橢圓（雙曲線）于A、B；R、S點(diǎn).延長(zhǎng)AR、SB交于點(diǎn)H，則H點(diǎn)軌跡為過點(diǎn)N與EF平行的直線.

證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），平行動(dòng)弦EF所在直線方程為x=ky+d（k為定值，d為變量），與y2=2px（p＞0）聯(lián)立，消去x，得y2-2pky-2pd=0.

以D點(diǎn)為新坐標(biāo)原點(diǎn)，NM所在直線為x′軸，過D點(diǎn)與EF平行的直線為y′軸建立新坐標(biāo)系.

在新坐標(biāo)系中，設(shè)M（x0，0），N（-x0，0），A（xA，yA），B（xB，yB），

聯(lián)立①、②得y′2-2p（k2+1）my′-2p（k2+1）x0=0，

同理可設(shè)直線RS方程為x′=ty′+x0，得

即證H點(diǎn)軌跡為過點(diǎn)N與EF平行的直線.

推廣1.1可由推廣2.1導(dǎo)出：推廣1.1中的弦DH、AB是過點(diǎn)M的兩弦，由推廣2.1，HB、AD延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在l上，又HB交l于點(diǎn)S，故S、D、A三點(diǎn)共線，同理R、D、B三點(diǎn)共線.

推廣1.2可由推廣2.2導(dǎo)出：推廣1.2中的弦AB、射線DM是過點(diǎn)M的兩弦（射線與拋物線另一交點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處），由推廣2.1，AD延長(zhǎng)線與B點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處連線（過B點(diǎn)平行于q的直線BC）的交點(diǎn)在l上，又BC交l于點(diǎn)C，故A、D、C三點(diǎn)共線.

推廣2.1的證明與推廣2.2類似，由于篇幅限制，此處略.

圖2

聯(lián)立直線HN和直線OQ方程，得其交點(diǎn)

圖3

推廣3.2：如圖3，給定拋物線及平行動(dòng)弦EF，動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡所在直線q（平行于x軸）交拋物線于D點(diǎn)，記過D點(diǎn)平行于動(dòng)弦EF的直線為DQ，過q上任一點(diǎn)K的弦所在直線被拋物線及直線DQ所分向量比之和為定值-1.

推廣3.2的證明方法與推廣3.1類似，本文不再給出.

結(jié)論

1.聞杰.圓錐曲線結(jié)構(gòu)思想與解題策略［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2010.

2.丁振年.對(duì)圓錐曲線兩個(gè)性質(zhì)的推廣的再推廣［J］.昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2003，5：18-20.