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“有效”始終是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的永恒追求.在一定程度上，數(shù)學(xué)課堂是由無(wú)數(shù)個(gè)教與學(xué)的細(xì)節(jié)共同組成的，只有每個(gè)細(xì)節(jié)優(yōu)化，且每個(gè)細(xì)節(jié)和諧，才能保證數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效.而細(xì)節(jié)的優(yōu)化，來(lái)自于對(duì)細(xì)節(jié)反復(fù)的“打磨”，就是追求教學(xué)的合理化、智慧化、精確化、高效化.近日筆者參加了南通市優(yōu)質(zhì)課評(píng)比，課的內(nèi)容是蘇教版選修1-1“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第一節(jié)課《平均變化率》，為此對(duì)幾個(gè)核心教學(xué)細(xì)節(jié)進(jìn)行了反復(fù)思考、打磨，下面就磨課中重點(diǎn)思考的幾個(gè)細(xì)節(jié)談?wù)剬?shí)踐和體悟.

一、理清核心主線(xiàn) 清晰主動(dòng)構(gòu)建

李善良博士明確提出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須要“理清核心主線(xiàn)，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程”［1］.一堂有效的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該有一條主線(xiàn)把教師、學(xué)生雙方的理解、傾聽(tīng)、學(xué)習(xí)清晰的串起來(lái)，形成一條認(rèn)知線(xiàn)索，促進(jìn)雙方理解和感悟：對(duì)于教師來(lái)講，依照設(shè)計(jì)好的這條主線(xiàn)，能輕松的駕馭課堂，而不是零敲碎打；對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，順著這樣一條主線(xiàn)，能清晰主動(dòng)構(gòu)建起課堂所達(dá)成的教學(xué)目標(biāo).可以避免“課堂熱鬧，學(xué)生情緒高漲，但感覺(jué)是在云霧中行走，不知道這節(jié)課的目標(biāo)是什么”的尷尬，從而不會(huì)導(dǎo)致認(rèn)知的零散而造成學(xué)習(xí)效率偏低.

本節(jié)課是一節(jié)概念生成課，此概念來(lái)源于生活，有極其豐富的實(shí)際背景，要想深刻理解，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，就必須先磨好核心主線(xiàn)！筆者遵循“直通始終、明確方向、整體連續(xù)”的注意點(diǎn)，理出了下列教學(xué)核心主線(xiàn)圖：?jiǎn)栴}情境→提出問(wèn)題→學(xué)生活動(dòng)→意義建構(gòu)→數(shù)學(xué)理論→數(shù)學(xué)應(yīng)用→反思提升，教學(xué)效果證明，這是一條行之實(shí)效的核心主線(xiàn).

二、創(chuàng)設(shè)生活情境 力求貼切、經(jīng)濟(jì)

情境是一切認(rèn)知活動(dòng)的開(kāi)始，情境創(chuàng)設(shè)既要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際情況和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力創(chuàng)設(shè)出適合的、貼切的問(wèn)題情境，又要注意內(nèi)容容量，力求少而新、少而精，即情境的創(chuàng)設(shè)，要力求貼切、經(jīng)濟(jì)，而本節(jié)內(nèi)容有豐富的生活背景，適合創(chuàng)設(shè)生活問(wèn)題情境.

這節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)主要兩種設(shè)想：

設(shè)想一：

情境1：讓學(xué)生觀看過(guò)山車(chē)錄像并提出問(wèn)題：注意觀察過(guò)山車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中有哪些量在發(fā)生變化.從而通過(guò)過(guò)山車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中位移的變化、速度的變化、曲線(xiàn)的上升下降等具體可視現(xiàn)象概括為在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變量的變化情況，就是新的一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》將要研究的問(wèn)題，從而引出本章課題.

情境2：氣溫隨時(shí)間變化的快慢情況（教科書(shū)提供的案例）.

設(shè)想二：（本人試上后反復(fù)打磨，最后參加2013年3月比賽的設(shè)計(jì)）

情境1：今天到貴校來(lái)參加高中數(shù)學(xué)評(píng)優(yōu)課比賽，非常感謝學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)對(duì)我的信任和同學(xué)們對(duì)我的支持，我非常珍惜這次比賽，為了及時(shí)參加比賽，我特地請(qǐng)了我校的駕駛員小王送我來(lái)參賽.可能是因?yàn)槲冶容^興奮，一路觀察車(chē)速表，40 km/h時(shí)，就催促小王快點(diǎn)，10 min后我感覺(jué)車(chē)速?zèng)]有明顯變化，就又看了看車(chē)速為60 km/h；感覺(jué)時(shí)間比較緊，就不斷催促小王加速，年輕的小王跟我開(kāi)了個(gè)玩笑，看看前后無(wú)人無(wú)車(chē)，就使勁踩了一下油門(mén)，車(chē)子猛地往前一沖，我人一緊張，頭有點(diǎn)暈，身體（稍停頓讓學(xué)生有反應(yīng)想象的時(shí)間）往后一仰，我急忙留意了一下車(chē)速為80 km/h.同學(xué)們，前后兩次速度均變化了20 km/h，為什么第一次提速，我沒(méi)有明顯感覺(jué)車(chē)速變快，而第二次提速我有“緊張、頭暈、后仰”這些反應(yīng)呢？

情境2：（追問(wèn)）生活中有沒(méi)有類(lèi)似的例子呢？學(xué)生自由舉例（學(xué)生嘗試舉例，促使發(fā)現(xiàn)感悟內(nèi)化）.

情境3：同設(shè)想一.

【取舍理由】設(shè)想一用視頻畫(huà)面情境來(lái)感悟，長(zhǎng)處是畫(huà)面感染力強(qiáng)，能激活課堂氣氛，是一個(gè)非常好的生活實(shí)例，但未必每個(gè)學(xué)生都坐過(guò)過(guò)山車(chē)，僅靠很短的放映過(guò)程很難體會(huì)個(gè)中滋味；筆者的設(shè)想，情境1給學(xué)生講自己實(shí)實(shí)在在經(jīng)歷的一次事情，用具有潛在意義的、饒有興趣且身邊可以遇到的生活事例創(chuàng)設(shè)情境，將教學(xué)內(nèi)容自然呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用問(wèn)題抓住學(xué)生，激發(fā)其探究欲望，讓學(xué)生能身臨其中；同時(shí)“我重視這次比賽”，也從情感上消除了和學(xué)生的陌生感，以情感贏得情感，抓住學(xué)生的心靈；再次，不需要計(jì)算也不可能計(jì)算，目的主要是讓學(xué)生初步直覺(jué)感知實(shí)際生活中的一些變化快慢的問(wèn)題，了解概念產(chǎn)生的背景.情境2通過(guò)學(xué)生嘗試舉例，對(duì)學(xué)生不正確例子的“追問(wèn)”，促使舉例錯(cuò)誤的學(xué)生從思維深處不斷內(nèi)化，感悟變化快慢的實(shí)質(zhì)：要從兩個(gè)方面（如速度和時(shí)間）同時(shí)思考問(wèn)題，教師點(diǎn)評(píng)，自然順暢地過(guò)渡到情境3.南京大學(xué)鄭毓信教授指出：“情景設(shè)置不應(yīng)該僅僅起到‘敲門(mén)磚’的作用，還應(yīng)當(dāng)在課堂的進(jìn)一步開(kāi)展中自始至終發(fā)揮重要的向?qū)ё饔谩?，因而幾個(gè)情境之間一般情況下應(yīng)該是有梯度、有層次、螺旋上升，層層推進(jìn).對(duì)比兩種設(shè)想，第二個(gè)更接近生活，比較簡(jiǎn)約、適合、經(jīng)濟(jì)、實(shí)用.

三、“情境+問(wèn)題串”驅(qū)動(dòng)探究學(xué)習(xí)

人教社章建躍博士認(rèn)為“如何設(shè)法在學(xué)生學(xué)習(xí)中融入問(wèn)題解決的成分，“問(wèn)題串”是一種行之有效的方法”.“情境+問(wèn)題串”是將情境和問(wèn)題串的教學(xué)設(shè)計(jì)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，用它來(lái)引導(dǎo)、啟發(fā)、控制學(xué)習(xí)，指向數(shù)學(xué)核心概念、核心方法、核心思想的發(fā)生發(fā)展過(guò)程.好的“情境+問(wèn)題串”一定要能成為一個(gè)探究的平臺(tái)，以問(wèn)題串促進(jìn)學(xué)生活動(dòng).

1.設(shè)置問(wèn)題串組，探究建構(gòu)概念

結(jié)合上述三個(gè)有梯度的情景，筆者設(shè)計(jì)了問(wèn)題串組，引導(dǎo)學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，主動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)，理性構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)核心概念、領(lǐng)悟核心思想，擬以設(shè)想一中情景2授課的片段為例來(lái)說(shuō)明.

問(wèn)題串1：觀察2004年4月18日到4月20日的溫度變化，短短兩天時(shí)間，氣溫“陡增”14.8℃，人們無(wú)不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果把該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫為18.6℃進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者溫差為15.1℃，甚至超過(guò)了14.8℃，而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感嘆.這是什么原因呢？

圖1

生（幾乎齊聲）：前者變化得“太快”，后者變化得“緩慢”.

師生活動(dòng)：觀察氣溫隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)圖如圖1（以3月18日作為第一天，理解圖中A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)的含義）.

師：氣溫“陡增”的數(shù)學(xué)含義是什么呢？圖像的直觀顯示是什么？

生：（手指圖像自言自語(yǔ)）B，C之間的曲線(xiàn)較A，B之間的曲線(xiàn)更加“陡峭”.

師：好！曲線(xiàn)陡峭的程度直觀地反映了氣溫變化的快與慢，陡峭程度和人對(duì)氣溫變化快慢的感覺(jué)是完全一致的.

【設(shè)計(jì)意圖】用氣溫變化給人的感覺(jué)作為切入口，“陡增”作為突破口，引發(fā)學(xué)生思維，用曲線(xiàn)的陡峭程度去刻畫(huà)氣溫變化的快慢.

問(wèn)題串2：如何來(lái)量化這個(gè)陡峭程度呢？請(qǐng)你說(shuō)出大致的解決問(wèn)題的思路.

學(xué)生活動(dòng)：分組研討（前后4人一組），學(xué)生討論熱情高漲，思維自由流淌，個(gè)個(gè)想“表現(xiàn)”一下.

小組代表：曲線(xiàn)陡峭程度不僅跟前后兩段時(shí)間內(nèi)的溫度差有關(guān)，還與時(shí)間差有關(guān)，所以就用溫度差和時(shí)間的比值的大小來(lái)刻畫(huà)曲線(xiàn)的陡峭程度，而且第一段的比值的確是小于第二段的比值的，所以我們用比值來(lái)刻畫(huà)是合理的.

教師心理：小組學(xué)生代表一口氣說(shuō)完，不僅說(shuō)出解決問(wèn)題的方案，而且闡述了理由，雖與我預(yù)設(shè)的有所差別，但考慮方向完全可取，本以為要“搭橋”提示，沒(méi)想到學(xué)生回答的很好，我就順?biāo)浦?

師（追問(wèn)）：能說(shuō)出具體的解決過(guò)程嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生你一言我一語(yǔ)相互補(bǔ)充完善，師生協(xié)作一起形成“氣溫隨時(shí)間變化關(guān)系”表.

師（追問(wèn)）：如何計(jì)算氣溫在區(qū)間［1，32］和區(qū)間［32，34］上的平均變化率？

【設(shè)計(jì)意圖】促使學(xué)生活動(dòng)后，自主發(fā)現(xiàn)可以用氣溫的平均變化率來(lái)近似地刻畫(huà)氣溫的變化快慢、曲線(xiàn)的陡峭程度.

問(wèn)題串3：我們把氣溫曲線(xiàn)圖看作是某個(gè)函數(shù)f（x）的圖像，取它的某個(gè)區(qū)間［x1，x2］對(duì)應(yīng)得曲線(xiàn)段PQ，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是兩個(gè)端點(diǎn)，類(lèi)似于氣溫在區(qū)間［t1，t2］上的平均變化率的概念，函數(shù)在區(qū)間［x1，x2］上的平均變化率能用一個(gè)什么樣的代數(shù)式表示？

【設(shè)計(jì)意圖】由氣溫平均變化率概念抽象推廣到一般函數(shù)平均變化率概念，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.

點(diǎn)評(píng)：以上三組“問(wèn)題串”由淺入深，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，經(jīng)歷了三個(gè)不同層次，即“實(shí)際生活中的平均變化率—圖形中的平均變化率—函數(shù)的平均變化率”，通過(guò)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)核心概念、核心思想的發(fā)現(xiàn)、揭示、概括和理解的過(guò)程.

2.重組挖掘例題，探究反思提高

有價(jià)值的例題常具有三性：?jiǎn)栴}類(lèi)型的典型性、答題過(guò)程的規(guī)范性、學(xué)后反思的探究性.通過(guò)對(duì)例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪剑ㄋ伎?、追?wèn)、變題、重組、拓展）的訓(xùn)練，挖掘顯現(xiàn)概念的內(nèi)涵及其外延，展示“普通”題目背后的“精彩”，讓學(xué)生在課堂上享受探究的快樂(lè)，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)概念意義的建構(gòu)，同時(shí)在對(duì)問(wèn)題的探究中，產(chǎn)生新的疑問(wèn)和需求，為下一節(jié)瞬時(shí)變化率的講解作鋪墊.

教科書(shū)中共安排四個(gè)例題，其中例1、例2兩題是平均變化率在生活中的應(yīng)用；例3、例4是平均變化率在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用.筆者在參加比賽時(shí)，考慮到例1、例2兩題均是平均變化率在生活中的應(yīng)用，它們的平均變化率又恰好一正一負(fù)，故在處理這兩個(gè)例題時(shí)將“例2”調(diào)整為“例1的練習(xí)”，使之互為補(bǔ)充；例4是一次函數(shù)，例3是二次函數(shù)，從函數(shù)次數(shù)和學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，決定把例4改為例2；考慮到例3中是將其屬性延伸，既承上又啟下，這樣一來(lái)就將教材中的“例3”就調(diào)整為最后一個(gè)例題.這種設(shè)計(jì)既突出了教材的“綱”的功能，又體現(xiàn)了教者對(duì)教材的“個(gè)性化解讀”以及“二次開(kāi)發(fā)”性，并為建模提供有力的材料，使學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度建立模型.

圖2

例1 嬰兒小遠(yuǎn)從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖2所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月，小遠(yuǎn)體重的平均變化率.

思考1：如何解釋從出生到第三個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為1（kg/月）？

思考2：本例中兩個(gè)平均變化率的數(shù)值不同的實(shí)際意義是什么？

（改編）練習(xí)：如圖3，水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積V（t）=5×2－0.1t（單位：cm3），計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率.

圖3

追問(wèn)1：保持其他條件不變，第一個(gè)10 s內(nèi)乙容器中水的體積的平均變化率為多少？你能口算嗎？

追問(wèn)2：正負(fù)值分別表示什么實(shí)際意義？

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生進(jìn)一步理解平均變化率的實(shí)際意義，感悟數(shù)學(xué)源于生活，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的意識(shí).

例2（1）已知函數(shù)f（x）=2x+1，分別計(jì)算f（x）在區(qū)間［-3，-1］，［0，5］上的平均變化率.

（2）已知函數(shù)g（x）=-2x，分別計(jì)算g（x）在區(qū)間［-3，-1］，［0，5］上的平均變化率.

設(shè)問(wèn)1：若在區(qū)間［-4，2］，［3，7］，…上述平均變化率分別怎樣？

設(shè)問(wèn)2：若在區(qū)間［m，n］，上述平均變化率分別怎樣？

師生活動(dòng)（完成下表）：

追問(wèn)1：你從例2中發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間［m，n］上的平均變化率有什么特點(diǎn)？

追問(wèn)2：為什么一次函數(shù)在任意區(qū)間上的平均變化率都是直線(xiàn)的斜率k？

拓展：我們把氣溫曲線(xiàn)圖看著是某個(gè)函數(shù)f（x）的圖像，取它在某個(gè)區(qū)間［x1，x2］對(duì)應(yīng)得曲線(xiàn)段PQ，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是兩個(gè)端點(diǎn)，聯(lián)想直線(xiàn)y=kx+b任意區(qū)間上的平均變化率都等于斜率k，函數(shù)f（x）在區(qū)間［t1，t2］上的平均變化率有什么幾何意義？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】挖掘出一次函數(shù)在某閉區(qū)間上的平均變化率的幾何意義，拓展到一般函數(shù)在閉區(qū)間上的幾何意義

例3已知函數(shù)f（x）=x2，分別計(jì)算f（x）在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）［1，3］；（2）［1，2］；（3）［1，1.1］；（4）［1，1.001］.

設(shè)問(wèn)1：若在區(qū)間［1，1.0001］，［1，1.00001］，…上述平均變化率分別怎樣？

設(shè)問(wèn)2：若在區(qū)間［1，1+Δx］，上述平均變化率分別怎樣？師生活動(dòng)（完成下表）：

追問(wèn)1：當(dāng)左端點(diǎn)取值1保持不變，右端點(diǎn)取值不斷接近1時(shí)，平均變化率怎么變化？

圖4

追問(wèn)2：如圖4，由直線(xiàn)AB，轉(zhuǎn)到直線(xiàn)AC，再轉(zhuǎn)到直線(xiàn)AD、AE…時(shí)，直線(xiàn)變化趨勢(shì)怎樣？

【設(shè)計(jì)意圖】與后續(xù)的“瞬時(shí)變化率”以及“導(dǎo)數(shù)的概念”接軌，滲透了數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)也起到了一定的鋪墊作用.

點(diǎn)評(píng)：以上四個(gè)看似簡(jiǎn)單的例習(xí)題，但卻是反復(fù)推敲精選細(xì)挑的.通過(guò)重組、改編、提問(wèn)、探究，從例習(xí)題中拋出問(wèn)題，讓學(xué)生積極探究，通過(guò)活動(dòng)探究使知識(shí)得以拓展完善，使解題方法得以磨練，思維得以升華，因而探究例題教學(xué)也是一個(gè)高效課堂不可或缺的重要細(xì)節(jié).

四、滲透思想方法，內(nèi)化升華素質(zhì)

發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，滲透思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂.這節(jié)課筆者主要在以下三個(gè)環(huán)節(jié)適時(shí)對(duì)學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想方法：首先，在知識(shí)形成過(guò)程中，設(shè)計(jì)問(wèn)題串1至問(wèn)題串3，借助氣溫曲線(xiàn)圖來(lái)直觀反映氣溫變化的快慢，反過(guò)來(lái)通過(guò)平均變化率來(lái)精確刻畫(huà)曲線(xiàn)的陡峭程度，通過(guò)問(wèn)題的解決知識(shí)的形成，滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.其次，在問(wèn)題探索、解決過(guò)程中揭示數(shù)學(xué)思想方法，例2、例3及由此精心設(shè)計(jì)的思考、追問(wèn)、變題、重組、拓展，先計(jì)算一次函數(shù)在一些特殊數(shù)值閉區(qū)間上的平均變化率，歸納猜想出一次函數(shù)在任意閉區(qū)間上的平均變化率，進(jìn)而挖掘出一次函數(shù)平均變化率的幾何意義、任意函數(shù)平均變化率的幾何意義，使學(xué)生切身嘗試解決問(wèn)題的一般規(guī)律方法：“特殊→一般→特殊→一般”.再次，筆者在“課堂小結(jié)，雙管齊下”師生交流環(huán)節(jié)中，請(qǐng)學(xué)生談?wù)劊哼@堂課你學(xué)到了哪些主要知識(shí)，體會(huì)到哪些思想方法？目的是在小結(jié)和回顧中提煉概括數(shù)學(xué)思想方法，可以把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到一個(gè)更高的層面，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)從感性到理性的飛躍，其最終目的是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題，所以“滲透思想方法，內(nèi)化升華素質(zhì)”也是有效課堂必須具有且認(rèn)真打磨的核心細(xì)節(jié).

1.李善良.理清核心主線(xiàn) 優(yōu)化教學(xué)過(guò)程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（10）.