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文［1］作者利用貝努利不等式得到命題1：設(shè)x1，x2，…，xk為實(shí)數(shù)，k為正整數(shù)，且x1+x2+…+xk=1，

在另證命題1之前先介紹一下凸函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：

1.若函數(shù)y=f（x）在定義域D上二階可導(dǎo)，則y=f（x）在D上為下凸函數(shù)的充分必要條件是f″（x）≥0.

筆者利用下凸函數(shù)的性質(zhì)另證命題1.

命題1得證.

利用下凸函數(shù)的性質(zhì)可以將命題1推廣為：

定理1 設(shè)x1，x2，…，xk為實(shí)數(shù)，k為正整數(shù)，且x1+x2+…+xk=1，α=2（tt≥1且t∈R），求證：

事實(shí)上，令f（x）=xα，則f″（x）=α（α-1）xα-2=2（t2t-1）x2t-2=2（t2t-1）（x2）t-1≥0.所以，由性質(zhì)1知，f（x）在R上為下凸函數(shù).于是，由性質(zhì)2知，

下面筆者再將文［1］的命題2推廣為：

事實(shí)上，當(dāng)x1，x2，…，xk全不為零，由［2］的權(quán)方和不等式知，

綜上，定理2成立.

最后，筆者介紹一個(gè)稍微弱一點(diǎn)的定理：

定理3 設(shè)x1，x2，…，xk為正實(shí)數(shù)，a1，a2，…，ak為正實(shí)數(shù)，且x1+x2+…+xk=1，則

（1）當(dāng)α＞1或α＜0時(shí)，

（2）當(dāng)0＜α＜1時(shí)，

（1）的證明：事實(shí)上，由［2］的權(quán)方和不等式知，

（2）的證明：事實(shí)上，由［2］的權(quán)方和不等式知，

當(dāng)0＜α＜1時(shí)，a1x1α+a2x2α+…+akxkα

1.趙思林，李正泉.2009年清華大學(xué)自主招生一題的簡(jiǎn)解與推廣［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2010（11）：53.

2.沈文選.走進(jìn)教育數(shù)學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：323.