張瀚錕

摘 要：探討與分析了幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的相關(guān)問題，通過對幾何畫板在“柱、錐、臺的體積”教學(xué)中應(yīng)用的教學(xué)案例的分析和解決，具體說明了利用幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)、輔助學(xué)生學(xué)習(xí)等方面應(yīng)用的優(yōu)勢及問題。以《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》理念為指導(dǎo)，以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、人本主義心理學(xué)理論、教育傳播學(xué)理論作為理論基礎(chǔ)，從課程整合的角度，緊緊圍繞幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；抽象思維；形象思維；創(chuàng)新能力

一、問題的提出

20世紀(jì)中葉以來，數(shù)學(xué)自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前的拓展?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，一方面為數(shù)學(xué)教育的普及與傳播提供了得天獨(dú)厚的土壤，另一方面也對數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教與學(xué)的方式產(chǎn)生了重大的影響。目前，各級各類學(xué)校都在進(jìn)行信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課程整合的探索，如浙江的《信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)整合的教學(xué)模式研究》、江蘇常州的《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)科課程整合》、廣東的《信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)（新教材）教學(xué)整合實(shí)驗(yàn)研究》、北師大林君芬、余勝泉開展的《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的教學(xué)模式研究》等，都體現(xiàn)了人們對現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的重視。而從國外引進(jìn)的教育軟件“幾何畫板”以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖像功能、方便的動(dòng)畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作高中數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺之一。它為現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用提供了具體方案，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)中的最佳效果，有利于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力與創(chuàng)新能力。

二、利用幾何畫板開展數(shù)學(xué)教學(xué)理論依據(jù)

培養(yǎng)創(chuàng)新能力，首先要具備創(chuàng)造性思維?！皠?chuàng)造性思維是創(chuàng)造過程中的思維活動(dòng)，是抽象思維和形象思維兩種思維新穎靈活的有機(jī)結(jié)合?！倍鴶?shù)學(xué)學(xué)科主要是抽象思維和形象思維，它在培養(yǎng)和提高思維能力發(fā)揮著特有的功效；而從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中起著重要的作用。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重視抽象的邏輯推理演算，卻忽視了靈活發(fā)散的形象思維，從而導(dǎo)致我國中小學(xué)生的數(shù)學(xué)文化精神嚴(yán)重“缺鈣”。不難想象，一個(gè)沒有得到形象思維培養(yǎng)的人不會(huì)有很高的抽象思維能力。古代希臘數(shù)學(xué)家說：“從作圖的直觀上發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的非演繹的無理的元素，這些元素使得作圖的直觀可與音樂和藝術(shù)相媲美?！鼻疤K聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫也曾指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！边@正是數(shù)學(xué)形象思維重要性的一個(gè)縮影。因此，發(fā)展形象思維是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知能力、發(fā)展創(chuàng)新能力的一個(gè)必要的突

破口。

三、幾何畫板在高中數(shù)學(xué)重要模塊教學(xué)中的運(yùn)用

1.幾何畫板在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的內(nèi)容。近幾年，在函數(shù)的教學(xué)與解題中特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)與形的結(jié)合。幾何畫板快速直觀精確的顯示及變化的功能在解決數(shù)形結(jié)合的問題上得到了體現(xiàn)，大大提高了課堂效率，進(jìn)而起到了事倍功半的效果。

具體說來，可以用幾何畫板根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖像，并可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖像。如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2、y=x3和y=■的圖像，比較各

圖像的形狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖像，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖像也相應(yīng)地變化。如在講函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖像之間的關(guān)系；利用幾何畫板則可以不斷地分別改變A、ω、φ來觀察每一個(gè)量對函數(shù)圖形的影響，而且又可以同時(shí)改變A、ω、φ來觀察函數(shù)圖形的整體變化（如圖1）。這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性。

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圖1

幾何畫板在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“■≤■”等；再如，講解數(shù)列的極限的概念時(shí)，作出數(shù)列的圖形（即作出一個(gè)由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖像），觀察曲線的變化趨勢，并利用幾何畫板的制表功能以“項(xiàng)數(shù)、這一項(xiàng)的值、這一項(xiàng)與0的絕對值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

2.幾何畫板在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)，它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各個(gè)面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真正的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用幾何畫板將圖形動(dòng)起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系表示出來，使學(xué)生從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

例如：二面角的平面角的概念，是“二面角”這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是，讓學(xué)生在理解這一概念的本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，自然地形成二面角的平面角的概念。為此，我們可以采用幾何畫板設(shè)計(jì)如圖2所示的二面角。α-L-β，使得射線OA，OB能分別在半平面α，β內(nèi)繞棱上一點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)半平面α，β繞L自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)二面角α-L-β確定之后，通過OA，OB分別在α，β緩緩轉(zhuǎn)動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，必須使OA，OB與L成定角。從而進(jìn)一步提出：這個(gè)定角多大時(shí)，才能合理地、科學(xué)地用∠AOB的大小來描述二面角的兩個(gè)半平面的張合程度呢？此時(shí)演示動(dòng)畫，使得OA，OB都與L垂直時(shí)停頓閃爍，就不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定角為90°時(shí)就比較合理、科學(xué)（如圖3）。這樣二面角的平面角這一概念的屬性（過棱L上一點(diǎn)O；OA，OB分別在半平面α，β；OA⊥L，OB⊥L）得到了充分的顯示，概念的形成水到渠成。

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3.幾何畫板在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，幾何畫板又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動(dòng)態(tài)的對象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動(dòng)某一對象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來研究兩個(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手（如圖4）。

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圖4

先讓學(xué)生猜測P點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖4，學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時(shí)老師還可以改變PF1+PF2的值，使得PF1+PF2=F1F2，滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，甚至還可以得到PF1+PF2

以上是教學(xué)中的典型實(shí)例，在這幾個(gè)例子中充分運(yùn)用幾何畫板的動(dòng)畫、移動(dòng)、平移、旋轉(zhuǎn)、標(biāo)識向量等高級功能，從中我們看到幾何畫板對高中數(shù)學(xué)教學(xué)是十分有利的。只要我們發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，潛心研究，就能不斷地加深對幾何畫板的理解和應(yīng)用，不斷開發(fā)出適用于教學(xué)的優(yōu)秀課件。

四、高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例及案例分析

基于以上對幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用的具體分析，下面筆者以“北師大版高中數(shù)學(xué)必修2第七節(jié)《簡單幾何體的面積和體積》”為例進(jìn)行較為詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計(jì)。

課題：柱、錐、臺的體積

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

（一）背景

北師大版高中數(shù)學(xué)必修2第七節(jié)《簡單幾何體的面積和體

積》，是在學(xué)生掌握了前幾節(jié)的內(nèi)容，具有一定的空間想象能力的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生學(xué)會(huì)一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法。關(guān)于柱、錐、臺、球的體積公式，課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們只給出公式，要求學(xué)生理解公式中的各個(gè)量詞表示的意義，會(huì)套用公式進(jìn)行計(jì)算，而不要求對公式進(jìn)行證明。但與過去不同的是我們希望學(xué)生在運(yùn)用過程中自然掌握這些公式，目的是想培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析、解決實(shí)際問題的能力。運(yùn)用幾何畫板輔助教學(xué)，使立體圖形直觀化，可以幫助學(xué)生自然掌握公式，這就是筆者選擇本課題的實(shí)際背景。

（二）目標(biāo)

（1）知識與能力：自然掌握柱、錐、臺、球的面積和體積計(jì)算公式，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；靈活運(yùn)用“割、補(bǔ)、轉(zhuǎn)”的方法，提高分析、解決實(shí)際問題的能力。

（2）過程與方法：滲透把有關(guān)立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的數(shù)學(xué)思想和類比的思想方法。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：使信息技術(shù)與課程進(jìn)行有效的整合，提高學(xué)習(xí)效率，并使得抽象問題形象化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：

柱、錐、臺的體積。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：

組合體體積的計(jì)算。

（四）說明

柱、錐、臺的體積在《立體幾何初步》中是重點(diǎn)內(nèi)容，其在傳承數(shù)學(xué)幾何思想上具有獨(dú)到的作用。本課題的拓展性強(qiáng)，運(yùn)用多媒體技術(shù)，使對圖形割補(bǔ)變換以動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)，速度快，立體感強(qiáng)，整合效果好，具有不可替代的作用。

二、教學(xué)實(shí)施過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境

（1）回顧我們在初中學(xué)習(xí)過哪些幾何體的體積的計(jì)算，它們的體積公式是什么。

初中學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱的體積計(jì)算公式，其公式是：

V=Sh S——底面積 h——高

（2）還記得初中時(shí)你們的數(shù)學(xué)老師是如何驗(yàn)證棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的嗎？

（3）對幾何體的體積你有哪些認(rèn)識？

教師引導(dǎo)學(xué)生交流，討論回答。

①幾何體占有空間部分的大小，就是幾何體的體積。

②完全相同的幾何體的體積相等。

③一個(gè)幾何體的體積等于它的各個(gè)部分的體積之和。

④體積相等的幾何體叫等積體，等積體不一定形狀相同。

⑤一般棱柱的體積如何計(jì)算。引起學(xué)生思考。

（二）探究一般棱柱和錐體的體積如何計(jì)算

（1）關(guān)于棱柱和圓柱的體積

設(shè)有一個(gè)n棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長方體，它們的底面積都等于S，高都等于h，它們的下底面都在同一平面上，如下圖：