周方旦

[摘 要]導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)有許多方面的應(yīng)用，有不等式方面的，有函數(shù)的單調(diào)性方面的，有解決有關(guān)參數(shù)方面的，甚至有一些特殊的應(yīng)用。教師要充分挖掘?qū)?shù)的運(yùn)用功能，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù)；運(yùn)用；例談

一、判斷函數(shù)的單調(diào)性

分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單詞性，主要是根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)關(guān)系在區(qū)間（a、b）內(nèi)，如果f（x）>0，那么f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增：如果f（x）<0那么f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2】已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d，它的圖像過點(diǎn)P（0，2）且在點(diǎn)M（-1f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0

（1）求函數(shù)f（x）的解析式

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

分析：為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號(hào)，本題先利用已知條件求出b、c、d的值。

解：（1）由函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）可知d=2

f（x）=x3+bx2+cx+2f′（x）=3x+2bx+c

因?yàn)閒（x）在點(diǎn)M（-1f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0

所以3-2b+c=6即2b-c+3=0

而點(diǎn)M既在已知函數(shù)圖像上又在切線上

故有f（-1）=-1+b-c+2=-6+7即b-c=0

2b-c+3=0

由2b-c+3=0b-c=0 得b=c=-3

故f（x）=x3-3x2-3x+2

評注：充分挖掘出點(diǎn)M的三種作用，即在已知圖象上，在切線上及曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間不可寫成并集的形式。

三、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解不等式問題

【例3】設(shè)函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值

（1）求a、b的值

（2）若對任意的x∈[0，3]都有f（x）

分析：對于（2），首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最大值，根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造新的不等式，進(jìn)而求解。

解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1及x=2時(shí)取極值，有f′（1）=0，f′（2）=0

即6+6a+3b=024+12a+3b=0 解得a=-3，b=4

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c

所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（3）=9+8c

則當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）最大值為f（3）=9+8c

因?yàn)閷τ谌我鈞∈[0，3]都有f（x）

所得c<-1或c>9因此c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）

評注：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式的知識(shí)，考綜合分析問題的能力，此類問題為高考熱點(diǎn)。

責(zé)任編輯 一 覺