王鵬

【摘要】思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn).它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)的定義域；思維品質(zhì)；培養(yǎng)

函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問(wèn)題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途.為此，筆者從函數(shù)的定義域入手，探討了如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

一、函數(shù)之解析式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的.例如，某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為100 m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式.

解 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）.

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就是說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密.因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0 即函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x），（0 這個(gè)例子說(shuō)明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響.若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性.若注意到定義域的變化，就說(shuō)明學(xué)生的解題思維過(guò)程體現(xiàn)出較好的思維嚴(yán)密性.

二、函數(shù)之最值問(wèn)題與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯?wèn)題.如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤.例如，求函數(shù)y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最值.

解 ∵y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-4.

初看結(jié)論，本題似乎沒(méi)有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒(méi)有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說(shuō)明學(xué)生思維缺乏靈活性.

其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-b2a （2）當(dāng)-b2a>q時(shí)，y=f（x）在[p，q]上是單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；

（3）當(dāng)p≤-b2a≤q時(shí)，y=f（x）在[p，q]上的最值情況是：

f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個(gè)值.

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5，∴f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，f（5）=52-2×5-3=12.

∴f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12.

∴函數(shù)y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最小值是-4，最大值是12.

這個(gè)例子說(shuō)明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過(guò)程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性.

三、函數(shù)之值域問(wèn)題與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域.例如，求函數(shù)y=4x-5+2x-3的值域.

錯(cuò)解 令t=2x-3，則2x=t2+3，

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78.

故所求的函數(shù)值域是78，+∞.

剖析 經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在＼[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1.

故所求的函數(shù)值域是＼[1，+∞）.

以上例子說(shuō)明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過(guò)程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說(shuō)，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過(guò)程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）等問(wèn)題中，若能精細(xì)地檢查思維過(guò)程，思辨函數(shù)定義域有無(wú)改變（指對(duì)定義域?yàn)镽來(lái)說(shuō)），對(duì)解題結(jié)果有無(wú)影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

【參考文獻(xiàn)】

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