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        巧妙求解抽象函數(shù)定義域

        2013-04-29 16:46:44周學(xué)慧
        今日湖北·中旬刊 2013年7期
        關(guān)鍵詞:法則定義域

        周學(xué)慧

        摘 要 求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題的求解方法利用口訣為:“定義域不變,法則的作用范圍也不變。”進(jìn)行求解。關(guān)鍵是要找到法則的作用范圍。

        關(guān)鍵詞 抽象函數(shù) 定義域 法則 作用范圍 復(fù)合函數(shù) 取值范圍。

        求抽象函數(shù)的定義域是高一學(xué)生接觸到函數(shù)以后遇到的比較頭痛的問(wèn)題,函數(shù)對(duì)于剛剛接觸這部分知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)就很抽象,而抽象函數(shù)沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式,正是因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)表現(xiàn)形式的抽象性讓學(xué)生們感到很迷惑,使同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)感覺(jué)無(wú)從下手。而求抽象函數(shù)定義域在高考中一般以選擇.填空的形式出現(xiàn),不能忽視。因此,我在解決此類問(wèn)題時(shí)總結(jié)了一句口訣,用口訣讓學(xué)生們進(jìn)行記憶既簡(jiǎn)單又加深了學(xué)生們的理解。

        口訣為:“定義域不變,法則的作用范圍也不變?!?/p>

        一、已知f(x)的定義域,求f[g(x)]的定義域

        例1 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,1],求函數(shù)f(x+1)的定義域。

        在解決這道題時(shí)我利用口訣“定義域不變,法則的作用范圍不變?!狈治鋈缦拢簩?duì)于函數(shù)f(x),法則f只對(duì)x發(fā)生作用,x的取值范圍就是法則f的作用范圍,即法則f的作用范圍在[-2,1]。從函數(shù)f(x) 到f(x+1),法則沒(méi)有發(fā)生改變,因此法則的作用范圍仍然在[-2,1],而在函數(shù)f(x+1)中,法則是對(duì)x+1發(fā)生了作用, x+1在法則f的作用范圍內(nèi),所以對(duì)于函數(shù)f(x+1),有-2≤x+1≤1。最后求函數(shù)f(x+1)的定義域,只需將這里的x范圍求出即可。因此,本題函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-3,0]。

        【點(diǎn)評(píng)】此類問(wèn)題的解題關(guān)鍵就是求出法則的作用范圍。再根據(jù)口訣“定義域不變,法則的作用范圍不變。”求解。

        二、已知f[g(x)]的定義域,求f(x)的定義域

        例2 已知函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-2,1],求函數(shù)f(x)的定義域。

        分析:先從求法則的作用范圍入手作為解題突破口,對(duì)于函數(shù)f(x+1),法則f對(duì)x+1發(fā)生作用,x+1的范圍就是法則的作用范圍。因?yàn)槎x域?yàn)閇-2,1],對(duì)于函數(shù)f(x+1),有-2≤x≤1,所以-1≤x+1≤2,因此得出法則f的作用范圍在[-1,2]。從函數(shù)f(x+1)到f(x),法則沒(méi)有改變,所以作用范圍也不變,仍然在[-1,2],而對(duì)于函數(shù)f(x),法則是對(duì)x發(fā)生作用,所以x也應(yīng)該在法則的作用范圍內(nèi),因此-1≤x≤2。本題函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,2]。

        三、已知f[g(x)] 的定義域,求f[h(x)] 的定義域

        例3 已知函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)閇-2,1],求函數(shù)f(x+1)的定義域

        分析:求出法則f的作用范圍,本題就得以解決。對(duì)于函數(shù)f(x-1),法則f對(duì)x-1發(fā)生作用,x-1的范圍就是法則的作用范圍。因?yàn)槎x域?yàn)閇-2,1],對(duì)于函數(shù)f(x-1),有-2≤x≤1,所以-3≤x-1≤0,因此得出法則f的作用范圍在[-3,0]。從函數(shù)f(x-1)到f(x+1),法則沒(méi)有改變,所以作用范圍也不變,仍然在[-3,0],而對(duì)于函數(shù)f(x+1),法則是對(duì)x+1發(fā)生作用,所以x+1在法則的作用范圍內(nèi),即-3≤x+1≤0,因此,-4≤x≤-1,本題函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-4,-1]。

        【點(diǎn)評(píng)】 解決第三類題型無(wú)需通過(guò)求函數(shù)f(x)作為求解橋梁,也可以把函數(shù)f(x+1)的定義域求出,關(guān)鍵就是求出法則的作用范圍,再通過(guò)口訣“定義域不變,法則的作用范圍也不變。”求解完成。

        練習(xí):

        1、已知函數(shù)f()的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)f(x)的定義域及函數(shù)f(x-1)的定義域

        2、已知函數(shù)f()的定義域?yàn)閇1,2],求函數(shù)f(x)的定義域及函數(shù)f(2x)的定義域。

        3、已知函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,2],求函數(shù)f()的定義域及函數(shù)f(x+1)的定義域

        4、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-3,5],求g(x)= f(-x)+f()的定義域。

        答案:( 1 ) [1,2] [ 2,3]

        ( 2 ) [1,4] [0.5,2]

        ( 3 ) [-] [-1,4]

        ( 4 ) [-]

        【說(shuō)明】 對(duì)于練習(xí)題4,求有限個(gè)抽象函數(shù)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域,先求出每個(gè)函數(shù)的定義域,再求它們的交集。

        下面是歷年各省市高考模擬題中出現(xiàn)的此類題目:

        1、(山東省萊蕪五中2013屆高三4月模擬數(shù)學(xué)(理)試題)

        已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇3,6],則函數(shù)y=的定義域?yàn)?( )

        A、[,+∞) B、[,2) C、[,+∞) D、[,2)

        【答案】B

        2、【北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,2],若f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,且f(1+m)+f(m)<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

        【答案】 [-0.5,1]

        3、【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考】定義R在上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)時(shí),f(x)=2x+,則f(log220 )=( )

        A、1 B、 C、-1 D、-

        【答案】C

        4、(2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)文):A是由定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)%o(x)組成的集合:(1)對(duì)任意x∈[1,2],都有%o(2x)∈[1,2];(2)存在常數(shù)L(0

        (作者單位:貴州省六盤(pán)水市第三中學(xué))

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