鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

有關(guān)帶電小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中擺動(dòng)或沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓弧還是旋輪線(xiàn)的問(wèn)題，顯得非常復(fù)雜，需要應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.現(xiàn)舉例分析.

【例1】如圖1所示，擺球質(zhì)量為m，帶正電，電荷量為q，擺長(zhǎng)為l，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的最大擺角為α，為使此擺的周期不受磁場(chǎng)的影響(能正常擺動(dòng))，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值有何限制？

圖1

分析:為使擺的周期不受磁場(chǎng)的影響,即能正常擺動(dòng)，需擺線(xiàn)始終拉直而不松弛，即擺線(xiàn)的拉力T≥0．因此,只需考慮擺球所受洛倫茲力f=qBv并且指向懸點(diǎn)的情形，即擺球由左端A沿圓弧向平衡位置O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，設(shè)某時(shí)刻擺角為θ，擺球速度為v，則沿?cái)[線(xiàn)方向由牛頓第二定律有

(1)

對(duì)小球從點(diǎn)A到C的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律有

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)得

(3)

可見(jiàn)，拉力T是關(guān)于速度v的一元二次函數(shù)，其圖像為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，若使函數(shù)值T≥0，即圖像與橫軸無(wú)交點(diǎn)，則應(yīng)該使判別式Δ≤0，由此可得

或者由T≥0得

(4)

(5)

(6)

代入式(4)得

(7)

所以，當(dāng)41°≤α<90°時(shí)，擺球沿圓弧運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足的條件是

那么,當(dāng)0°<α≤41°時(shí)，擺球沿圓弧運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足的條件是什么呢？

(8)

下面由式(5)和式(8)求y的極值．

圖2

(9)

把式(9)代入式(4)得

(10)

即條件為

由此可見(jiàn)，當(dāng)α很小時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度可以很大，單擺仍能正常擺動(dòng)而不致脫離圓弧軌道，這是因?yàn)楫?dāng)α角很小時(shí)，擺球運(yùn)動(dòng)速度將很小，故洛倫茲力很小，同時(shí)，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力很大，則容易滿(mǎn)足擺線(xiàn)的拉力不為零．因此,在擺角α較小的條件下，可直接對(duì)擺球從端點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程列方程

兩式聯(lián)立消去v得

利用T≥0可得

在求磁感應(yīng)強(qiáng)度極值時(shí)，也可聯(lián)立式(1)、(2)消去v得

利用T≥0，可得

整理得

對(duì)于該題，常見(jiàn)解法只得出一個(gè)結(jié)果，即式(7)，而沒(méi)有對(duì)擺角α進(jìn)行討論，顯得不全面．

由式(7)可知，當(dāng)α=90°時(shí)，得B≤0，這表明，當(dāng)B≠0時(shí)，若帶電擺球從水平位置釋放，初始階段將不沿圓弧運(yùn)動(dòng)．

【例2】如圖3所示，半圓形光滑槽在水平地面上固定不動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)沿水平方向垂直于圓面ABC.將質(zhì)量為m的帶電小球自槽口A處由靜止釋放.小球到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)，對(duì)槽恰好無(wú)壓力，則小球在以后的運(yùn)動(dòng)中對(duì)點(diǎn)C的最大壓力為

A.0 B.2mgC.4mgD.6mg

圖3

分析：該題與例1相似，則解答方法相似，可直接利用其結(jié)果，即由圓周運(yùn)動(dòng)的條件式(7)可知，若將帶電小球自槽口A處由靜止釋放，相當(dāng)于α=90°，在該條件下小球不能做圓周運(yùn)動(dòng)，原因是此時(shí)得出B≤0，即沒(méi)有磁場(chǎng).因此，當(dāng)有磁場(chǎng)即B≠0時(shí)，若帶電小球從水平位置釋放，初始階段將不能沿圓弧運(yùn)動(dòng)，那么，帶電小球?qū)⒆龊畏N運(yùn)動(dòng)呢？小球能否到達(dá)最低點(diǎn)C呢？下面進(jìn)行探討．

圖4

只有半圓的半徑足夠小，使半圓與旋輪線(xiàn)的交點(diǎn)位于半圓最低點(diǎn)的左側(cè)，小球才能經(jīng)過(guò)半圓的最低點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到半圓的右端，接著返回，從右向左運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，洛倫茲力方向背離圓心，當(dāng)再次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)壓力達(dá)到最大．所以，在一定條件下，小球從左向右運(yùn)動(dòng)可以到達(dá)半圓形軌道的最低點(diǎn)，但初始階段的運(yùn)動(dòng)軌跡為旋輪線(xiàn)．在保證小球能經(jīng)過(guò)半圓最低點(diǎn)的條件下，對(duì)該題解答如下.

當(dāng)小球從左向右運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，由于小球?qū)Σ矍『脽o(wú)壓力，則洛倫茲力方向豎直向上，由牛頓第二定律可知，洛倫茲力大小為

若碰撞過(guò)程沒(méi)有機(jī)械能損失，則機(jī)械能守恒，即

由此得

v2=2gR

因此洛倫茲力大小為f=3mg

由洛倫茲力方向豎直向上和左手定則可知小球帶正電，因此，當(dāng)小球再次返回到最低點(diǎn)時(shí)，洛倫茲力方向豎直向下，大小未變，則此時(shí)壓力最大，由牛頓第二定律可知壓力大小為

故選項(xiàng)D正確.

參考文獻(xiàn)

1 郭銓?zhuān)畮щ姅[球在磁場(chǎng)中正常擺動(dòng)的條件分析．中學(xué)物理，1999(3)

2 石長(zhǎng)盛．此題應(yīng)加以討論．中學(xué)物理，2000(9)

3 李池．對(duì)一道電磁學(xué)題目題設(shè)條件的質(zhì)疑.物理通報(bào)，2011(8)