☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

一道《中學(xué)數(shù)學(xué)》“新題征展”題的探究

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

一、問題提出

《中學(xué)數(shù)學(xué)》雜志2010年第3期（上）的“新題征展”（113）中的一道創(chuàng)新應(yīng)用題：

如圖1，設(shè)P是⊙O：x2+y2=2上的一點(diǎn)，定點(diǎn)A（－1，0），過原點(diǎn)O作直線PA的垂線交直線x=－2于Q點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切.

（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（除去圓與x軸的交點(diǎn)），直線PQ與⊙O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由.

題目特點(diǎn)：題目是以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程給出，“定點(diǎn)”的出現(xiàn)與“直線PQ與⊙O是否保持相切的位置關(guān)系”的出現(xiàn)，給題目增加了亮點(diǎn).第二問又以存在性問題的形式展示，進(jìn)一步增強(qiáng)了題目的可讀性與探究的魅力，步步為營(yíng)，層層誘導(dǎo)解題者堅(jiān)定信心，促使持之以恒地進(jìn)行探究，是一道考查直線與圓的位置關(guān)系的好題.

圖1

二、問題探究

1.解法賞析

又kPQ·kOP=-1，所以PQ⊥OP.故直線PQ始終與⊙O相切.

點(diǎn)評(píng)：上述解法是通性通法，自然具有一般性，有利于對(duì)本題進(jìn)一步的探究.

2.剖析原題的“數(shù)”與“形”的關(guān)系

經(jīng)過認(rèn)真的思考，以逆向思維的方式將題目的“結(jié)構(gòu)”與“數(shù)據(jù)”中潛藏的關(guān)系顯化出來，其思考的過程是：

從題目的“結(jié)構(gòu)”（包含圖形）看，題中有“直線PQ與⊙O是否保持相切的位置關(guān)系”的結(jié)構(gòu)，圖形中出現(xiàn)“雙垂直圖”（PQ⊥OP與PA⊥OQ）的結(jié)構(gòu)；從題目的“數(shù)據(jù)”（包含等式）看，題中有“⊙O的方程：x2+y2=2”、“定點(diǎn)A（－1，0）”、“直線x=－2”的數(shù)據(jù)，解法中可歸納出斜率等式：kPQ·kOP=kPA·kOQ=－1.這些結(jié)論的出現(xiàn)，就會(huì)啟發(fā)對(duì)此題的進(jìn)一步思考.

反思：從上述題解題過程中，憑直覺思維和對(duì)此題的感悟，通過反思題意和解題過程，提出問題：對(duì)所涉及的定點(diǎn)與給定的直線之間是否存在什么關(guān)系？定點(diǎn)、直線與圓之間是否也有某種關(guān)系？能否將其進(jìn)一步一般化？等等.

感悟：從解決問題的特殊性進(jìn)行思考：既然“直線PQ始終與⊙O相切”，自然就會(huì)將問題特殊化，過定點(diǎn)A（－1，0）作x軸的垂線與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1），其切線方程是：－x+y=2，這時(shí)令y=0，就會(huì)得到切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－2，結(jié)合題目可知，此－2應(yīng)該是題目給出的直線x=－2與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).這就說明，定點(diǎn)與給出的直線方程之間是有一定聯(lián)系，而且也與圓之間存在一定的關(guān)系.依據(jù)上述的剖析和解法，可以將其第二問進(jìn)一步一般化.

3.原題的探究——變式設(shè)計(jì)

思路：當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與⊙O保持相切，只需證明出kPQ·kOP=－1，或直線PQ的斜率與⊙O上在點(diǎn)P處切線的斜率相同即可.

綜合變式1、2，可以得到下面結(jié)論

三、原題的推廣——類比設(shè)計(jì)

大家知道，圓中的許多性質(zhì)可以通過類比到橢圓、雙曲線中仍然是正確的，為此，對(duì)原題的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗淖?，從而得到橢圓中的類似問題.

圖2

思路：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)（除去橢圓與x軸的交點(diǎn)），直線PQ與橢圓始終保持相切的位置關(guān)系，只需要說明橢圓在點(diǎn)P的切線與直線x=－的交點(diǎn)Q恰好與原點(diǎn)O的連線經(jīng)過直線PA被橢圓所截弦的中點(diǎn)即可.

1.宮前長(zhǎng).考題無獨(dú)有偶理念蘊(yùn)藏厚重［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2011（4）：24-27.