☉廣東省中山市東升中學(xué) 郭 華

探索性問題的幾種類型與求解策略

☉廣東省中山市東升中學(xué) 郭 華

探索性問題是指沒有明確的結(jié)論，需要經(jīng)過分析、推斷、計(jì)算并加以證明的一種新題型.由于這類問題題型新穎，涉及面廣，綜合性強(qiáng)，難度大，不但能考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，而且能從較高層次上考查學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，一直受到高考命題者的青睞.探索性問題常以不同的形式出現(xiàn)在每年的高考數(shù)學(xué)壓軸題當(dāng)中，因而扮演著重要的角色，很多考生往往無從下筆.

從筆者多年的工作中所收集和整理的一些高考題來看，高考探索型問題主要有以下三種類型：（1）猜想歸納型，（2）存在型，（3）分類討論型.下面通過舉例談?wù)勥@類問題的解題策略.

一、猜想歸納型

猜想歸納型探索問題的解題思路是：從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，推測出結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格的證明.

（2）根據(jù)所求結(jié)果，推測出Sn的計(jì)算公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

根據(jù)①②可知，等式對(duì)任何n∈N都成立.

評(píng)析：本題考查觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法，是一道典型的猜想、歸納型探索性試題.

二、存在型

對(duì)于結(jié)論沒有明確給出，常常以“是否存在”“是否有”的形式進(jìn)行提問，暗示結(jié)論有待判斷，這類問題我們稱之為存在性問題.

存在型問題的解題思路是：先假設(shè)結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論成立；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在.分析法和反證法在解題中起著關(guān)鍵作用.

例2 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和.

由此可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)c＞0使結(jié)論成立.

三、分類討論型

當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.因此需搞清楚引起分類討論的原因是什么，在分類探索的過程中應(yīng)注意分類原則：（1）對(duì)所討論的全域分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”.（2）在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行.（3）對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)，層次分明是分類討論的基本要求.

例3 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=b1=1+lga，a2=b2=（1+lga）lga.當(dāng)n≥2時(shí)，a2，a3，...，an，...是以（1+lga）為公比的等比數(shù)列，b2，b3，…，bn，…是以lg2a為公差的等差數(shù)列，{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為sn和Tn.當(dāng)a＞且a≠1時(shí)，試比較s和T的大小關(guān)系并證明你的結(jié)論.nn

猜想當(dāng)n≥3時(shí)，sn＜Tn，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

①n=3時(shí)，已證S3＜T3正確.

評(píng)析：這是一道典型的分類討論探索性問題，結(jié)論不確定，需分n=1，n=2；n≥3.這兩大類進(jìn)行討論.而當(dāng)n≥3時(shí)又要分a＞1和＜a＜1兩種情形討論.從而問題得以完美解答.正是這類問題包含的數(shù)學(xué)思想豐富，技巧性強(qiáng)，書寫解答的量大，考生如果沒有解題信心是很難出色完成任務(wù).

從以上舉例可以發(fā)現(xiàn)，凡是解答探索性問題都遵循從一般到特殊、到猜想證明、再到分類討論、最后到歸納總結(jié)這一認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律，這其中數(shù)學(xué)歸納法扮演著重要的角色.事實(shí)證明，學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法和善于分類討論以及養(yǎng)成良好的總結(jié)習(xí)慣是解決這 類較高思維層次試題的根本前提.