☉山東省萊西市第四中學(xué) 崔明月

等腰三角形中的漏解、多解和錯(cuò)解

☉山東省萊西市第四中學(xué) 崔明月

等腰三角形中關(guān)于邊角求解的分類討論問題，一直是令同學(xué)們頭疼的一個(gè)問題，有時(shí)忘記分類討論，導(dǎo)致漏解；有時(shí)得出兩個(gè)答案，又因沒有檢驗(yàn)是否滿足三角形內(nèi)角和定理和三邊關(guān)系，導(dǎo)致多解．下面我們舉例分析這類問題，看其有何規(guī)律．

一、關(guān)于等腰三角形角度的求解

例1 若等腰三角形有一個(gè)角是70°，則其他兩個(gè)角的度數(shù)是_______．

答案：55°和55°；40°和70°

例2 若等腰三角形有一個(gè)角是120°，則其他兩個(gè)角的度數(shù)是_______．

答案：30°

例3 若等腰三角形有一個(gè)角是60°，則其他兩個(gè)角的度數(shù)是_______．

答案：60°和60°

規(guī)律總結(jié)：已知等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理可以求出其他兩角的度數(shù)，什么情況下有兩解？什么情況下只有一個(gè)解？當(dāng)?shù)妊切我粋€(gè)內(nèi)角為鈍角（如例2）或直角或60°的角（如例3）的時(shí)候，求其余各角只有一個(gè)解；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角為銳角且這個(gè)銳角（如例1）不等于60°時(shí)，求其余各角有兩解．

二、關(guān)于等腰三角形邊的求解問題

例4 等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則它的周長為________．

答案：17cm

例5 等腰三角形的周長是16，若其中一邊長是5，那么另外兩邊長分別是________．

答案：6、5或5.5、5.5

規(guī)律總結(jié)：已知等腰三角形的兩邊（沒有指明底和腰時(shí)）求其另一邊或其周長，可根據(jù)等腰三角形的定義求得，什么情況下有兩解？什么情況下只有一個(gè)解？根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，檢驗(yàn)求得的兩組結(jié)果是否滿足“兩腰之和大于底邊”，來判斷解的情況．（如例4中，三邊可為3cm、3cm、7cm或7cm、7cm、3cm，但是“3cm、3cm、7cm”不滿足三邊關(guān)系，所以答案是一個(gè)解；例5的兩個(gè)結(jié)果滿足三角形的三邊關(guān)系，所以是兩組解）．

下面我們看看這兩條規(guī)律在運(yùn)用中出現(xiàn)的問題.

1.漏解

例6 已知等腰三角形的兩邊長分別為4和6，則該等腰三角形的周長為__________.

錯(cuò)解：該等腰三角形的周長為16.

剖析：由于題目中并沒有明確4和6誰是底邊長、誰是腰長，所以應(yīng)分以下兩種情形考慮.

⑴當(dāng)?shù)走呴L為6、腰長為4時(shí)，該等腰三角形的周長為14.⑵當(dāng)?shù)走呴L為4、腰長為6時(shí)，該等腰三角形的周長為16.同學(xué)們只想到了情形⑵，因而導(dǎo)致漏解.正解：該等腰三角形的周長為14或16.例7 等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它的另兩個(gè)角是__________.

錯(cuò)解：它的另兩個(gè)角分別為50°、50°.

剖析：因?yàn)轭}中并未指明80°的角是頂角還是底角，所以應(yīng)分以下兩種情況全面分析.

（1）當(dāng)80°的角是頂角時(shí)，該等腰三角形的底角是50°.

（2）當(dāng)80°的角是底角時(shí)，該等腰三角形的另兩個(gè)角中，一個(gè)角是底角，度數(shù)為80°，另一個(gè)角是頂角，其度數(shù)為180°-80°×2=20°.

正解：該等腰三角形的另兩個(gè)角分別為50°、50°或80°、20°.

2.多解

例8 已知等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則該等腰三角形的周長為____________.

錯(cuò)解：該等腰三角形的周長為12或15.

剖析：（1）當(dāng)該等腰三角形的腰長為6、底邊長為3時(shí)，其周長為15.

（2）當(dāng)該等腰三角形的腰長為3、底邊長為6時(shí)，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”，可知周長為12這種情形是不存在的，因此這里的“12”是多余的.

正解：該等腰三角形的周長為15.

例9 已知等腰三角形ABC的一個(gè)外角是80°，則與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是______.

錯(cuò)解：與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是40°或100°.

剖析：“等腰三角形ABC的一個(gè)外角是80°”中的外角只能是與頂角相鄰的外角，不可能是與底角相鄰的外角.若它是與底角相鄰的外角，則兩底角都應(yīng)是100°，這就會(huì)使得△ABC的內(nèi)角和大于180°，這與“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，因此這里的“100°”是多余的解.

3.錯(cuò)解

例10 由等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A引腰BC邊上的高AD，其長恰好等于腰BC長的一半，試求∠BAC的度數(shù).

錯(cuò)解：如圖1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.

所以∠B=∠BAD=45°，∠C=∠CAD=45°，所以∠BAC=90°.

剖析：錯(cuò)解誤將“頂點(diǎn)A”當(dāng)作“頂角A”，因此而出錯(cuò).這就要求我們在解題時(shí)必須認(rèn)真讀題，深入審題，正確地理解題意.由于題中已指明BC為腰，所以這里的頂角應(yīng)是∠B或∠C.

圖1

圖2

圖3

正解：不妨設(shè)∠C為頂角.

（1）當(dāng)高AD在三角形內(nèi)部時(shí)（如圖2）.

（2）當(dāng)高AD在三角形外部時(shí)（如圖3）.

注意：對于此題，如果只考慮高AD在三角形內(nèi)部的情況，則會(huì)出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤.

通過上面的例子可以看出，在解決等腰三角形的邊、角計(jì)算問題時(shí)，我們一定要認(rèn)真分析題目中已知的邊和角，分清是哪兩個(gè)角相等，哪兩條邊相等，并注意是一解還是兩解，防止多解、漏解、錯(cuò)解.