☉江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮河實(shí)驗(yàn)學(xué)校 萬偉東

中學(xué)數(shù)學(xué)中的解題教學(xué)及案例分析

☉江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮河實(shí)驗(yàn)學(xué)校 萬偉東

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，對學(xué)生而言，學(xué)數(shù)學(xué)最直接、最顯著的表現(xiàn)就是做數(shù)學(xué)題.數(shù)學(xué)解題過程是個體思維能力作用于數(shù)學(xué)活動的心理過程，是一種思維活動，解題切入點(diǎn)不同，運(yùn)用思維方法不同，體現(xiàn)出來的思維水平也不同.培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力，事實(shí)上要靠學(xué)生自己去經(jīng)歷的一個實(shí)踐、感悟、內(nèi)化的過程，數(shù)學(xué)解題過程大致包括審題、解題計(jì)劃的制定、解題結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、解答的表達(dá)和解題后的反思等環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)也可以根據(jù)這些環(huán)節(jié)進(jìn)行.下面就這些環(huán)節(jié)談?wù)勛约旱囊恍┮娊夂涂捶?

一、尋求解題途徑

有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃.

（一）理解題意、廣泛聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

例1 已知如圖1所示的五角星形ABCDE.

求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

在學(xué)生充分發(fā)表看法的基礎(chǔ)上，可對解題思路作以下歸納.

1.考慮到角的和是180°的有關(guān)定理，可作以下嘗試：（1）互補(bǔ)；（2） 同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）三角形的內(nèi)角和定理.針對這一問題應(yīng)該從何下手？

圖1

2.要證明五個角的度數(shù)和等于180°，聯(lián)系三角形內(nèi)角和定理，可考慮將其轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角，從而達(dá)到目的.通過觀察圖形，由△BGD和△EFC，聯(lián)想到三角形的外角定理，得∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，又在△AFG中運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，可達(dá)到目的.

3.聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理，多邊形外角和定理以及多邊形內(nèi)角和定理.

（二）重視一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性，從而提高學(xué)生的發(fā)散思維能力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“要從數(shù)學(xué)的多角度去分析問題、解決問題，以提高學(xué)生的說理論證水平.”根據(jù)這一要求，要引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行對題目的全方位思考的專題討論，實(shí)踐證明，這對開發(fā)智力、啟迪學(xué)生思維、提高學(xué)生邏輯推理能力大有裨益.

例2 如圖2，OA、OB是⊙O半徑，OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP延長線交⊙O于Q，過Q作⊙O的切線，交OA延長線于R，求證：RP=RQ.

圖2

分析：解題的關(guān)鍵是運(yùn)用等角來證等邊.

分析一：連OQ；

分析二：過點(diǎn)B作⊙O的切線；

分析三：延長AO交⊙O于C；

分析四：延長BO交⊙O于C，連CQ；

分析五：延長AO交⊙O于C，連BC、CQ；

分析六：過R作RC∥BQ交⊙O切線BC于C點(diǎn).

以上六種方法是從不同點(diǎn)出發(fā)作輔助線，但都是圍繞一個目的，構(gòu)造基本圖形，不過有些圖形直觀、熟悉，有些隱蔽、陌生，用的知識點(diǎn)少一些.所以對同一問題的角度進(jìn)行觀察、思考、聯(lián)想，從而可得到不同的解題方法，再對各解法加以比較，找出較好的解法，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性、流暢性和獨(dú)特性，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

（三）重視變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的活躍性，從而提高解題能力

變式教學(xué)是對數(shù)學(xué)中的定理和問題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，從而暴露問題本質(zhì)的特點(diǎn)，提示不同知識點(diǎn)的聯(lián)系.通過變式教學(xué)，使一題多用，多題組合，給人以新鮮感，喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，拓展他們的創(chuàng)新思維.

例3 如圖3，PA為⊙O切線，A為切點(diǎn)，PCB是⊙O割線，

求證：（1）△PAC∽△PBA.（2）PA2=PC·PB.

變式1：基本圖形不變，當(dāng)

PCB過圓心O時，新的結(jié)論是：△BAC為直角三角形.如圖4（2）.

變式2：此基本圖形不變，添∠BAC平分線AM交BP于D，則有結(jié)論：PA=PD.如圖4（1）.

變式3：此基本圖形不變，增添∠APB的平分線，交AB、AC于F、E，則有結(jié)論：（1）AE=AF.（2）△AEP∽△BFP.（3）△PCE∽△PAF.如圖4（3）.

變式4：此基本圖形不變，同時增添∠BAC、∠APB平分線，AM、PF，則有結(jié)論：（1）AM⊥PF.（2）FN=NE.（3）AN=ND.如圖4（4）.

圖3

圖4

在課本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，通過變式題對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使學(xué)生掌握變式題與原題的內(nèi)在聯(lián)系以及本質(zhì)，達(dá)到一把鑰匙開多把鎖的效果，這不僅能培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，拓展他們思維空間.

二、解后反思

長期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)表明，不少同學(xué)在完成作業(yè)或進(jìn)行解題訓(xùn)練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，就是解題后的反思.一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過反復(fù)思考，苦思冥想解出答案之后，就心滿意足了，而不再去思考、探索.這道題考查了我們哪些方面的概念、知識和能力？解答的每一步推理是否合理？這道題有沒有其他的解法？多種方法中哪一種比較簡單？把這道題的條件或結(jié)論進(jìn)一步推廣又會如何？等等.

為了幫助學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的這種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高解題技巧，在教學(xué)時，可選擇一些多種解法的習(xí)題，給學(xué)生訓(xùn)練.

例4 已知：如圖5，AB切⊙O于點(diǎn)B，BC⊥AO.求證：∠CBD＝∠ABD.

這道題可以引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，有四種證法（證明過程從略）.

圖5

證法一：如圖5（1），延長AO交⊙O于點(diǎn)E，并連EB，則∠ABD＝∠DEB，∠DBE＝90°.

證法二：如圖5（2），過D作⊙O的切線DE交AB于E，則DE⊥AO，∠ABD＝∠BDE.

證法三：如圖5（3），延長BC交⊙O于點(diǎn)E，并連ED，則∠ABD＝∠DEB，由垂徑定理可得∠CBD＝∠DEB.

證法四：如圖5（4），連BO并延長BO交⊙O于點(diǎn)E，連DE，則∠ABD＝∠DEB＝∠EDO，∠EDB＝90°.

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)重要而艱巨的任務(wù)，但不能急于求成，不能盲目地搞題海戰(zhàn)術(shù).習(xí)題的訓(xùn)練要有針對性，講求質(zhì)量，講求效益.在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，逐步使學(xué)生的思維能力由單向性發(fā)展為多向性，讓學(xué)生在解題過程中獲得樂趣、產(chǎn)生靈感、悟出解題的正確思路和方法.

1.董開福.中學(xué)數(shù)學(xué)教材分析.昆明：云南教育出版社，1999.

2.張一民.中學(xué)數(shù)學(xué)教法研究.昆明：云南教育出版社，2001.

3.廣西教育學(xué)院教研室，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，編.講解·閱讀·練習(xí)·討論——中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師章保羅教學(xué)經(jīng)驗(yàn).南寧：廣西人民出版社，1984.