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        探索函數(shù)與四邊形的存在性

        2012-08-28 02:39:40江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團吳智勇
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年22期
        關(guān)鍵詞:過點動點四邊形

        ☉江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團 吳智勇

        探索函數(shù)與四邊形的存在性

        ☉江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團 吳智勇

        置幾何中的四邊形于直角坐標(biāo)系中,借助函數(shù)的知識,數(shù)形結(jié)合,研究具有某種特殊性質(zhì)四邊形的存在性,是2012年中考中出現(xiàn)頻率較高的一類綜合題.本文從2012年中考題中選取數(shù)例,說明這類綜合題解題思路的分析方法.

        圖1

        例1 (2012年福建省泉州市)如圖1,點O為坐標(biāo)原點,直線l繞著點A(0,2)旋轉(zhuǎn),與經(jīng)過點C(0,1)的二次函數(shù)y=x2+h交于不同的兩點P、Q.

        (1)求h的值.

        (2)通過操作、觀察算出△POQ面積的最小值.

        (3)過點P、C作直線,與x軸交于點B,試問:在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AOBQ是否為梯形?若是,請說明理由;若不是,請指明其形狀.試題解析:(1)將點C(0,1)代入二次函數(shù)y=x2+h中,得h=1.

        (2)操作、觀察可知當(dāng)直線l∥x軸時,其面積最小.將y=2代入二次函數(shù)y=x2+1中,得x=±2.

        (3)由特殊到一般.

        ①當(dāng)直線l∥x軸時,P(-2,2),Q(2,2),直線PC:y=-x+1交x軸于B(2,0).又A(0,2),所以四邊形AOBQ為正方形.

        ②如圖2,當(dāng)直線l不平行于x軸時,四邊形AOBQ為梯形.

        圖2

        所以點Q、B的橫坐標(biāo)相同,即AC∥BQ,且AQ不平行OB,故四邊形AOBQ為梯形

        方法點評:數(shù)學(xué)課程標(biāo)準中指出:“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶,動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”因此操作實踐型中考題將會從簡單的剪剪拼拼向通過操作或?qū)嶒瀬硖骄?、發(fā)現(xiàn)、猜想等過渡,同時也可能利用操作探究得出的結(jié)論來解決新問題,這個動向要引起注意和重視.本題就是一個典型的動手操作實踐題,通過動手操作試驗,仔細觀察,冷靜思考,多畫幾個圖形,讀幾遍題目就會找到解決問題的突破口,另外考慮一定要全面,千萬不能多解.

        例2(2012年貴州省安順市)如圖3所示,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm,點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0.

        (1)求拋物線的解析式.

        (2)如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動,同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動.

        ①移動開始后第t秒時,設(shè)△PBQ的面積為S,試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.

        ②當(dāng)S取得最大值時,在拋物線上是否存在點R,使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

        圖3

        ②當(dāng)t=3時,S取得最大值9,這時點P的坐標(biāo)(3,-12),點Q的坐標(biāo)為(6,-6).

        若以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形,有如下三種情況:

        (i)當(dāng)點R在BQ的左邊,且在PB下方時,點R的坐標(biāo)為(3,-18),將(3,-18)代入拋物線的解析式中,滿足解析式,所以存在,點R的坐標(biāo)就是(3,-18).

        (ii)當(dāng)點R在BQ的左邊,且在PB上方時,點R的坐標(biāo)為(3,-6),將(3,-6)代入拋物線的解析式中,不滿足解析式,所以點R不滿足條件.

        (iii)當(dāng)點R在BQ的右邊,且在PB上方時,點R的坐標(biāo)為(9,-6),將(9,-6)代入拋物線的解析式中,不滿足解析式,所以點R不滿足條件.

        綜上所述,點R的坐標(biāo)為(3,-18).

        方法點評:本題在已知三點位置時,探索拋物線上的一點與已知的三點組成平行四邊形,解決的方案是先弱化條件,探索平面上的一點與已知的三點組成平行四邊形,再驗證這一點是否在拋物線上,在則留下,不在則舍去,這種解題思想值得同學(xué)們細細品味.另外,說拋物線上的點R與P、B、Q三點組成平行四邊形,由于沒有指明頂點的順序,所以要分情況一一說明.

        例3(2012年山東省煙臺市)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發(fā),沿線段CD向點D運動.點P、Q的運動速度均為每秒1個單位.運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.

        (1)直接寫出點A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式.

        (2)過點E作EF⊥AD于F,交拋物線于點G,當(dāng)t為何值時,△ACG的面積最大?最大值為多少?

        (3)在動點P、Q運動的過程中,當(dāng)t為何值時,在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點H,使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形?請直接寫出t的值.

        試題解析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)寫出點A的坐標(biāo),由頂點A的坐標(biāo)設(shè)該拋物線的頂點式為y=a(x-1)2+4,然后將點C的坐標(biāo)代入,即可求得系數(shù)a的值.

        A(1,4).由題意可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+4.

        由拋物線過點C(3,0),得0=a(3-1)2+4,解得a=-1.

        所以拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.

        (2)由于A(1,4),C(3,0),可求得直線AC的解析式為y=-2x+6.

        圖4

        例4 (2012年福州市)如圖5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD∥BC,交AB于點D,連接PQ.點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),當(dāng)其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t≥0).

        圖5

        圖6

        (1)直接用含t的代數(shù)式分別表示:QB=______,PD=______.

        (2)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.并探究如何改變點Q的速度(勻速運動),使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度.

        (3)如圖6,在整個運動過程中,求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長.

        (2)由△APD∽△ACB,即可求得AD與BD的長.由BQ∥DP,可得當(dāng)BQ=DP時,四邊形PDBQ是平行四邊形,即可求得此時DP與BD的長.由DP≠BD,可判定?PDBQ不能為菱形.然后設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度,要使四邊形PDBQ為菱形,則PD=BD=BQ,列方程即可求得答案.不存在.

        由BQ∥DP,得當(dāng)BQ=DP時,四邊形PDBQ是平行四邊形,

        (3)是命題人設(shè)計本題的亮點,也是學(xué)生答題的難點.平時我們可利用幾何畫板動態(tài)演示功能,不難看出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑是一條線段,在考場上學(xué)生必須借助平時積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,靈機一動,大膽猜想結(jié)論,小心驗證結(jié)論.

        如圖7,以C為原點,以AC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

        依題意,可知0≤t≤4,當(dāng)t=0時,起點M1(即點E)的坐標(biāo)為(3,0);

        當(dāng)t=4時,終點M2(即點F)的坐標(biāo)為(1,4).

        設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b.

        直線EF的解析式為y=-2x+6.

        圖7

        圖8

        另解:如圖8,設(shè)E是AC的中點,連接ME.

        當(dāng)t=4時,點Q與點B重合,運動停止.

        設(shè)此時PQ的中點為F,連接EF.

        過點M作MN⊥AC,垂足為N,則MN∥BC.

        tan∠MEN的值不變,則點M在直線EF上.

        過F作FH⊥AC,垂足為H,則EH=2,F(xiàn)H=4.

        當(dāng)t=0時,點M與點E重合;當(dāng)t=4時,點M與點F重合.

        方法點評:試題通過點P的運動,帶來四邊形的運動,把觀察、操作、探究、計算融合在一起,將勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用等初中數(shù)學(xué)的主干知識融為一體,作為壓軸題.本題的設(shè)計新穎,不落俗套,自然流暢,梯度合理,入口寬,出口窄,需要綜合運用核心知識靈活地解決問題.在探究圖形變化過程中,考查了函數(shù)思想、方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法以及基本軌跡的識別與應(yīng)用.

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