☉江蘇省寶應(yīng)縣城北初級(jí)中學(xué) 沈洪華

淺談二次函數(shù)圖像問題的處理

☉江蘇省寶應(yīng)縣城北初級(jí)中學(xué) 沈洪華

二次函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的必考點(diǎn).解決此類問題時(shí)，如果能引入函數(shù)的圖像，?？墒菇忸}事半功倍.下面就此類問題中圖像的運(yùn)用提出幾點(diǎn)建議，以期對(duì)同學(xué)們有所幫助.

圖1

一、識(shí)圖

例1 二次函數(shù)y=a（x+m）2+n的圖像如圖1所示，則一次函數(shù)y=mx+n的圖像經(jīng)過（ ）.

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

解析：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在第四象限，所以－m＞0，n＜0，所以m＜0，即一次函數(shù)y=mx+n的圖像經(jīng)過二、三、四象限，故選C.

例2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖2所示，那么一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大致是圖3中的（ ）.

圖2

圖3

解析：因二次函數(shù)圖像開口向下，所以a＜0.

因二次函數(shù)圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以c=0.所以一次函數(shù)y=bx+c過第二四象限且經(jīng)過原點(diǎn)，反比例函數(shù)y=位于第二四象限，縱觀各選項(xiàng)，故選C.

點(diǎn)評(píng)：解題中做好“識(shí)圖“，不僅要熟練二次函數(shù)圖像，還要熟練如一次函數(shù)的圖像、反比例函數(shù)的圖像等.

二、用圖

例3 二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像如圖4所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為（ ）.

A.－3 B.3 C.－6 D.9

圖4

又一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根，所以△=b2－4am≥0，即12a－4am≥0，即12－4m≥0，解得m≤3，故m的最大值為3.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)際考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解題中如能運(yùn)用好已知中所給的函數(shù)圖像，則可使解題思路順利形成.

三、構(gòu)圖

例4 設(shè)A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=－（x+1）2+a上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）.

A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2

C.y3＞y2＞y1D.y3＞y1＞y2

解析：因函數(shù)的解析式是y=－（x+1）2+a，如圖5，知對(duì)稱軸是x=－1，所以點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn)A′是（0，y1）.

那么點(diǎn)A′、B、C都在對(duì)稱軸的右邊，而對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而減小，于是y1＞y2＞y3.故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造出二次函數(shù)圖像，心中有圖，解題就不會(huì)碰壁.

圖5

四、變圖

圖6

（1）求原拋物線的解析式；

分析：（1）利用P與P′（1，3）關(guān)于x軸對(duì)稱，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可.

（2）根據(jù)已知得出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比.

解：（1）因?yàn)镻與P′（1，3）關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．