☉江蘇蘇州市鄭華學(xué)校 呂亞軍

初中因式分解的拓展與研究

☉江蘇蘇州市鄭華學(xué)校 呂亞軍

一、問題的提出

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形，在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.在高中數(shù)學(xué)中，我們除了會(huì)初中課本涉及的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等，但是這點(diǎn)內(nèi)容在高中教材和初中教材中都沒有講解，本文給予補(bǔ)充.

二、公式法（立方和與立方差公式）

在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

因?yàn)橐蚴椒纸馀c整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：

這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和（差），等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）乘以它們的平方和與它們積的差（和）.

運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例1 用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：

點(diǎn)評(píng)：（1）在運(yùn)用立方和（差）公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如8a3b3=（2ab）3，這里逆用了法則（ab）n=anbn；（2）在運(yùn)用立方和（差）公式分解因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號(hào).

例2 分解因式：

分析：（1）中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；（2）中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)a6-b6，可看成是（a3）2-（b3）2或（a2）3-（b2）3.

三、十字相乘法

1.x2+（p+q）x+pq型的因式分解

這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；（2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

例3 把下列各式因式分解：

點(diǎn)評(píng)：由此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.

例4 把下列各式因式分解：

點(diǎn)評(píng)：由此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.

例5 把下列各式因式分解：

分析：（1）把x2+xy-6y2看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是-6y2，一次項(xiàng)系數(shù)是y，把-6y2分解成3y與-2y的積，而3y+（-2y）=y，正好是一次項(xiàng)系數(shù).

（2）由換元思想，只要把x2+x整體看成一個(gè)字母a，可不必寫出，只當(dāng)是分解二次三項(xiàng)式a2-8a+12.

這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必須注意的是分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.

例6 把下列各式因式分解：

點(diǎn)評(píng)：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法“湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法“湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào).

一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：

（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其他方法（如十字相乘法）來分解；

（4）分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.