張治海，王善坤，李 陽(yáng)

(大連理工大學(xué) 城市學(xué)院，遼寧 大連116024)

在組合學(xué)中，組合序列的對(duì)數(shù)凸性是基本的研究課題之一。設(shè){an}n≥0是非負(fù)無(wú)限實(shí)數(shù)序列，若對(duì)于任意的n≥1 都有

成立，則稱(chēng)該序列是凸的(凹的)。若對(duì)于任意的n≥1 都有

成立，則稱(chēng)該序列是對(duì)數(shù)凸的(對(duì)數(shù)凹的)。許多著名的組合序列都是對(duì)數(shù)凸的。組合序列的對(duì)數(shù)凸性與組合序列的對(duì)數(shù)凹性、TP 矩陣、PF 序列等密切相關(guān)。本文研究帶有參數(shù)的組合序列廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)數(shù)凸性。

1 廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)及相關(guān)工具簡(jiǎn)介

1.1 廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)

中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn定義為三項(xiàng)式(x2+x +1)n展開(kāi)式中xn的系數(shù)［1］。由多項(xiàng)式定理可以得出它的顯式表達(dá)式為

中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn在計(jì)數(shù)組合學(xué)中表示從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(n，0)僅使用(1，0)，(1，1)，(1，-1)步的格路數(shù)。

Sun［2］在研究組合序列的同余性質(zhì)時(shí)引入了廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)，其定義為三項(xiàng)式(x2+bx+c)n中xn的系數(shù)，即

式中，b，c 為非負(fù)整數(shù)。由于

因此廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)可以看成是中心三項(xiàng)式系數(shù)及中心二項(xiàng)式系數(shù)的一般化。Wilf［3］給出了廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn的發(fā)生函數(shù)

由此可以得到遞歸關(guān)系［4］

1.2 Riordan 矩陣

Riordan 矩陣是無(wú)限下三角矩陣，該矩陣可以用一對(duì)函數(shù)(g(x)，f(x))來(lái)表示。Riordan 矩陣第k 列元素的發(fā)生函數(shù)Ck(x)為

式中，g(0)=1，f(0)≠0。

設(shè)R=［rn，k］n，k≥0為Riordan 矩陣，且R=(g(x)，f(x))，則Riordan 矩陣R 可以通過(guò)序列A={an}n≥0和Z={zn}n≥0來(lái)刻畫(huà)，即

設(shè)A 序列的發(fā)生函數(shù)為A(x)，Z 序列的發(fā)生函數(shù)為Z(x)，則A(x)和Z(x)與g(x)和f(x)滿(mǎn)足關(guān)系

1.3 Aigner-Catalan-Riordan 矩陣

設(shè)矩陣

是無(wú)限下三角矩陣，其滿(mǎn)足遞歸關(guān)系

式中，zj，aj，k為非負(fù)整數(shù)，且當(dāng)k ＞j≥0 時(shí)aj，k=0。無(wú)限下三角矩陣T=［tn，k］n，k≥0稱(chēng)為Aigner -Catalan-Riordan 矩陣。

設(shè)矩陣T=［tn，k］n，k≥0為Aigner - Catalan -Riordan 矩陣，則稱(chēng)矩陣

為Aigner-Catalan-Riordan 矩陣T=［tn，k］n，k≥0的系數(shù)矩陣。容易看出Aigner-Catalan-Riordan 矩陣是廣義的Riordan 矩陣。

2 廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)數(shù)凸性

定義1 廣義中心三項(xiàng)式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0是無(wú)限下三角矩陣，其遞歸定義為

式中，b，c 為非負(fù)整數(shù)。

定理1 廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)是廣義中心三項(xiàng)式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0的第0 列元素。

證明 由Riordan 矩陣的定義可得廣義中心三項(xiàng)式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0是Riordan 矩陣的特例，且其A 序列與Z 序列分別為

其A 序列與Z 序列的發(fā)生函數(shù)分別為

設(shè)T(b，c)=(g(x)，f(x))，則由A(x)和Z(x)與g(x)和f(x)之間滿(mǎn)足的關(guān)系可得

由f(0)=c 可以解得

將式g(x)與廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)的發(fā)生函數(shù)進(jìn)行比較，可得廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)是廣義中心三項(xiàng)式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0的第0 列元素，即

證畢。

定理2［5］設(shè)矩陣T=［tn，k］n，k≥0為Aigner -Catalan-Riordan 矩陣，若該矩陣的系數(shù)矩陣［ζ，A］是TP2矩陣，則矩陣T 的第0 列元素構(gòu)成對(duì)數(shù)凸序列。

證明 由廣義中心三項(xiàng)式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0的定義可得矩陣T(b，c)是Aigner-Catalan-Riordan 矩陣的特例，其系數(shù)矩陣為

易見(jiàn)當(dāng)b2≥2c 時(shí)系數(shù)矩陣［ζ，A］是TP2矩陣。最后由定理2 可得當(dāng)b≥時(shí)，廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)構(gòu)成對(duì)數(shù)凸序列。

證畢。

Zhu［6］對(duì)廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)數(shù)凸性進(jìn)行過(guò)研究，并且得出過(guò)以下定理。

定理4［6］當(dāng)b≥時(shí)，廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)構(gòu)成對(duì)數(shù)凸序列。

3 應(yīng) 用

許多組合計(jì)數(shù)問(wèn)題中都會(huì)出現(xiàn)中心Delannoy數(shù)Dn［7］，其定義為［8］

中心Delannoy 數(shù)Dn的組合解釋為從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(n，n)僅使用步(1，0)，(0，1)及(1，1)的格路數(shù)。中心Delannoy 數(shù)Dn還滿(mǎn)足遞歸關(guān)系

可以看出，從中心Delannoy 數(shù)Dn的定義出發(fā)判定該數(shù)是否具有對(duì)數(shù)凸性不是一件容易的事。但是由中心Delannoy 數(shù)Dn及廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)Tn(b，c)的定義可得Dn=Tn(3，2)。因此可以立即得到以下推論。

推論1 中心Delannoy 數(shù)構(gòu)成對(duì)數(shù)凸序列。

在前文中簡(jiǎn)介過(guò)中心二項(xiàng)式系數(shù)也是廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)的特例，因此可以立即得到關(guān)于中心二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)數(shù)凸性的推論。

推論2 中心二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成對(duì)數(shù)凸序列。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)將廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)內(nèi)嵌于廣義中心三項(xiàng)式三角矩陣中，并借助TP 理論對(duì)廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行研究，加強(qiáng)和推廣了Zhu 的結(jié)論。作為應(yīng)用，統(tǒng)一的給出中心Delannoy 數(shù)和中心二項(xiàng)式系數(shù)各自都構(gòu)成對(duì)數(shù)凸序列的結(jié)果。

廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)可以表示以中心二項(xiàng)式系數(shù)、中心三項(xiàng)式系數(shù)及中心Delannoy 數(shù)為代表的一類(lèi)組合序列。而Colored -Motzkin 數(shù)可以表示以Catalan 數(shù)、Motzkin 數(shù)、Hexagonal 數(shù)為代表的一類(lèi)組合序列。或許可以模仿研究廣義中心三項(xiàng)式系數(shù)對(duì)數(shù)凸性的方法逆向構(gòu)造三角矩陣來(lái)研究Colored-Motzkin 數(shù)的對(duì)數(shù)凸性。

［1］ANDREWS G E. Euler’s“exemplum memorabile inductionis fallacis”and q - trinomial coefficients［J］. J. Amer. Math. Soc.，1990，3(3):653 -669.

［2］SUN Z W. Congruences involving generalized central trinomial coefficients［J］. Sci. China Math.，2014，57(7):1375 -1400.

［3］WILF H S. Generatingfunctionology［M］. Boston MA :Academic Press，Inc.，1990.

［4］NOE T D. On the divisibility of generalized central trinomial coefficients［J］. J. Integer Seq.，2006，9(2):Article 06.2.7，12.

［5］WANG Y，ZHANG Z H. Log - convexity of Aigner -Catalan -Riordan numbers［J］. Linear Algebra Appl.，2014，463:45 -55.

［6］ZHU B X. Log-convexity and strong q-log-convexity for some triangular arrays［J］. Adv. in Appl. Math.，2013，50(4):595 -606.

［7］SUN Z H. Congruences concerning Legendre polynomials［J］.Proc. Amer. Math. Soc.，2011，139(6):1915-1929.

［8］CAUGHMAN J S，HAITHCOCK C R，VEERMAN J J P.A note on lattice chains and Delannoy numbers［J］. Discrete Math.，2008，308(12):2623 -2628.